《直角三角形全等的判定》教學(xué)設(shè)計第一章  三角形的證明2．直角三角形（二） 一、學(xué)情分析及內(nèi)容解析學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理“HL”之前，已經(jīng)掌握了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺規(guī)作三角形，且在一系列的實踐活動中，積累了一定的探索與推理經(jīng)驗，已經(jīng)具備了進(jìn)一步探索并證明判定直角三角形全等定理的基礎(chǔ)。本節(jié)課探索直角三角形全等的判定定理的過程中，通過探究活動，使學(xué)生在實踐中學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的好素材。三角形全等是貫穿這一章的主線，是初中階段證明線段相等和角相等的主要工具。 而探索斜邊與直角邊長度之比則是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，這節(jié)課有利于學(xué)生形成完整的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的能力，是學(xué)習(xí)后續(xù)幾何課程的基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課內(nèi)容是三角形全等的最后一部分內(nèi)容，也是很重要的一部分內(nèi)容，凸顯直角三角形的特殊性質(zhì)。本課時在學(xué)生現(xiàn)有知識和活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，提出具體教學(xué)及學(xué)習(xí)任務(wù)：經(jīng)歷探索直角三角形全等條件的過程，用尺規(guī)完成已知一條直角邊和斜邊作直角三角形，掌握判定直角三角形全等的條件，能熟練選擇判定方法判定兩個直角三角形全等，并解決一些簡單的實際問題。在探索證明直角三角形全等判定定理“HL”的同時，進(jìn)一步鞏固命題的相關(guān)知識也是本節(jié)課的任務(wù)之一。三、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：①能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性。②熟練利用“斜邊、直角邊”定理判定兩個直角三角形是否全等，解決一些簡單的實際問題。     2．能力目標(biāo)：①進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力。 ② 經(jīng)歷探索直角三角形全等條件的過程，進(jìn)一步掌握證明幾何問題和解決簡單實際問題 的方法。     3、情感目標(biāo)①讓學(xué)生理解事物的特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)及能力。②通過定理的證明，范例的分析過程的教學(xué)，培養(yǎng)觀察分析問題、把實際問題抽象概括成數(shù)學(xué)問題、并加以論證解決的能力。③通過“HL”定理的推導(dǎo)滲透變換的思想，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的思維能力，拓寬學(xué)生的知識面，并使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體驗數(shù)學(xué)推理證明的樂趣，獲得成功的喜悅。 四、教學(xué)重點、難點 ：  重點：掌握“HL”定理的推導(dǎo)過程；運用直角三角形全等解決一些簡單的實際問題。      難點：“HL”定理的獲得與證明以及如何用幾何語言有條理的，清晰的闡述自己的觀點。五、教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用本課采用師生互動的方式，以多媒體手段輔助教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生獲得判定直角三角形全等的條件以及正確應(yīng)用“HL”定理的方法。  六、學(xué)法指導(dǎo)充分利用素材和活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷畫圖操作、觀察、比較、猜想、證明等活動，體驗“從特殊------一般”的幾何知識探究的過程。 七、教學(xué)準(zhǔn)備：圓規(guī)，直尺，三角板，小剪刀，多媒體。八、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；第二環(huán)節(jié)：操作思考，交流發(fā)表；第三環(huán)節(jié)：對話分享，點撥指導(dǎo)；第四環(huán)節(jié)：應(yīng)用新知，解決問題；第五環(huán)節(jié)：課時小結(jié)，盤點收獲；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，鞏固提高。第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題我們曾從折紙的過程中得到啟示，作等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對等角”。通過聽兩位同學(xué)的錄音，回顧當(dāng)時是如何證明“等邊對等角”這個定理的。（播放錄音）思考：我們除了添加底邊上的中線或頂角的角平分線外，能否通過作等腰三角形底邊的高來證明“等邊對等角”？學(xué)生添加輔助線：做底邊上的高（如圖1）。在實際的教學(xué)過程中，有學(xué)生對上述添加輔助線的方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點在于“在證明△ABD≌△ACD時，具備的相等條件是“兩邊及其中一邊的對角相等”．而我們在前面學(xué)習(xí)全等的時候知道，兩個三角形，如果有兩邊及其一邊的對角相等，這兩個三角形是不一定全等的．可以畫圖（圖2）說明．(如圖所示在ABD和△ACD中，AB=AC,AD=AD，∠D=∠D，但△ABD與△ACD不全等)” ．      教師追問：當(dāng)相等的一組邊所對的角是直角呢？及“在兩個直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形是否全等？”從而引入課題。〖設(shè)計意圖〗 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引發(fā)思考、質(zhì)疑，引入新課。第二環(huán)節(jié)：操作思考，交流發(fā)表；從特殊情況研究：當(dāng)相等的斜邊均為5，相等的直角邊均為4時 ，這兩個三角形全等嗎？換組數(shù)再試試。操作與探究：1、已知一條直角邊和斜邊，求作一個直角三角形。想一想，怎么畫？同學(xué)們相互交流，學(xué)生上講臺分享作圖思路。如圖，已知線段a和c（a＜c），直角∠α，利用尺規(guī)作出Rt△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c.（不寫作法，保留作圖痕跡）   2、把畫好的直角三角形剪下來，和同桌的比比看，這些直角三角形有怎樣的關(guān)系？3、通過探究，作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？由此你是否發(fā)現(xiàn)判定直角三角形全等的一種“特有”方法？嘗試用數(shù)學(xué)語言歸納、概括由此獲得的猜想。猜想：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。  〖設(shè)計意圖〗 通過尺規(guī)作圖、剪圖、比較圖的操作探究過程，讓學(xué)生大膽提出猜想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)語言歸納、概括的能力。第三環(huán)節(jié)：對話分享，點撥指導(dǎo)（1）．“HL”定理的證明，由師生共析完成。已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′證明：在Rt△ABC中，∠C=90°∴BC=AB2一AC2(勾股定理)．同理：在Rt△ A' B' C'中，B'C'2=A'B'2一A'C'2 (勾股定理)．又∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴ BC2 = B'C'2又∵BC>0,B'C'>0∴ BC = B'C'∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'   (SSS) 或 (SAS)．教師用多媒體演示：直角三角形全等的判定定理： 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．    這一定理可以簡單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．符號語言：在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，AB=A'B'  AC=A'C' ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL)注：“HL”是僅適用于直角三角形的特殊方法.〖設(shè)計意圖〗 師生共析，證明“斜邊、直角邊”定理，掌握定理的文字和幾何符號語言。第四環(huán)節(jié)：應(yīng)用新知，解決問題小試牛刀：1、如圖，AD⊥BD于D，AC⊥BC于C，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABD≌△Rt△BAC，則還需要添加一個條件是                。                    追問：若不限定判定全等的條件，還可以添加什么條件？這是一個開放性問題，答案不唯一，需要我們靈活地運用公理和已學(xué)過的定理，觀察圖形，積極思考，并在獨立思考的基礎(chǔ)上，通過同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案．(教師一定要提供時間和空間，讓同學(xué)們認(rèn)真思考，勇于向困難提出挑戰(zhàn))2、下列條件，不能判定兩個直角三角形全等是（  ）      A.兩條直角邊對應(yīng)相等            B.一個銳角和斜邊對應(yīng)相等 C.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等      D.兩個銳角對應(yīng)相等學(xué)以致用：例1：如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生先口述理由，然后寫出完整的證明過程，教師規(guī)范步驟。〖設(shè)計意圖〗為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論在實際中的應(yīng)用，教學(xué)中就要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的語言清楚地表達(dá)自己的想法，并能按要求將推理證明過程寫出來。3、如圖，點A,E,F,C在同一直線上，AE=CF，過點E,F分別作 DE⊥AC,BF⊥AC,連接AB,CD,且AB=CD.求證：BF=DE. 以下是排亂的證明過程：①在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CDAF=CE,② ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,   ∴∠BFA=∠DEC=90 °.③∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.   即AF=CE.  ④∴BF=DE.⑤∴ Rt△ABF≌Rt△CDE  (HL).你認(rèn)為證明步驟正確的順序為                  。                                          4、已知：如圖，AC、BD相交于點P,AC⊥BC于C，BD⊥AD于D，且AD=BC.求證：AC=BD.（一題多解，優(yōu)化方案）師生活動：學(xué)生板演，寫出完整的證明過程，教師點評。〖設(shè)計意圖〗為了讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固“斜邊、直角邊”定理的應(yīng)用。梳理知識，歸納總結(jié)：(1)  判定兩個直角三角形全等的方法有哪些？(2)  在證明兩個直角三角形全等時,其他方法都需要三個條件,而“HL”只有兩個條件,你怎么看？(3)  在課堂上,我們探究HL定理經(jīng)歷了怎樣的過程？通過這個過程,你有什么感受和體會？師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)。〖設(shè)計意圖〗為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)結(jié)論在實際中的應(yīng)用回顧研究方法及獲得的新知，形成知識體系。例題再探：例1'：如圖，有兩個長度相同的滑梯EF、BC，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，把△EDF沿水平方向向左平移使得D與B重合，兩個滑梯的位置關(guān)系如何？遷移拓展：如圖，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一條線段PQ＝AB，P、Q 兩點分別在線段AC上和過A點且垂直于AC的射線AD上運動，問P點運動到什么位置時（1） PQ⊥AB？ （2）△ABC才能和△APQ全等？ 小明的第（2）問解答過程如下：解：當(dāng)P運動到AP＝BC時，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC與Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；答：當(dāng)AP＝5cm時，△ABC才能和△APQ 全等你同意小明的解答嗎？說說你的想法。師生活動：判定三角形全等的關(guān)鍵是找對應(yīng)邊和對應(yīng)角，由于本題沒有說明全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，因此要分類討論，以免漏解．學(xué)生小組討論交流，利用幾何畫板講解此題，得出正確答案。〖設(shè)計意圖〗為了讓學(xué)生體會動點問題解題策略，及分類討論思想，進(jìn)一步鞏固新知，提高分析解決問題的能力。定理證明再探：分析：AC=A'C',無論RTΔABC和RTΔA'B'C'的位置如何。我們總可以通過作旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱變換得到新圖形，如圖，使A'C'和AC重合，點Ｂ和點B'分別在AC的兩側(cè)。證明：∵ ∠ACB=∠A'C'B'=90°∴ B、C、B'三點共線∵ AB=A'B'， AC⊥BB'∴ BC=B'C'（等腰三角形三線合一）又∵ AC=A'C'（公共邊）∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'（SSS）第五環(huán)節(jié)：課時小結(jié)，盤點收獲；本節(jié)課我們討論了在一般三角形中兩邊及其一邊對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等．而當(dāng)一邊的對角是直角時，這兩個三角形是全等的，從而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理解決了一系列具體的、開放性的問題，不僅進(jìn)一步掌握了推理證明的方法，而且發(fā)展了同學(xué)們演繹推理的能力。本節(jié)課里我們有操作探究、猜想驗證、合作交流、質(zhì)疑批判、創(chuàng)新思考……同學(xué)們的表現(xiàn)很棒，很值得繼續(xù)發(fā)揚(yáng)廣大．請同學(xué)們參看下面的某個提示用一句話總結(jié)你的收獲與感悟：1、我學(xué)會了……2、我發(fā)現(xiàn)了……3、我想給同學(xué)們的溫馨提示是……4、我想進(jìn)一步研究的問題是……5、本節(jié)課使我感到最困難的是……師生活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)。〖設(shè)計意圖〗 從知識點、數(shù)學(xué)思想方法以及情感態(tài)度等多方面談收獲與感悟，提高了學(xué)生對新知識的理解與感悟。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，鞏固提高。習(xí)題1．6第1、2、3、5題〖設(shè)計意圖〗考查學(xué)生尋找“HL”條件證明兩個三角形全等，并運用全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)行分析、解決問題的能力。九、教學(xué)反思直角三角形全等的判定,是在學(xué)生已經(jīng)掌握了判定三角形全等的基礎(chǔ)上進(jìn)行的,這是基于對直角三角形進(jìn)行系統(tǒng)研究的需要,也是為了突出判定兩個直角三角形全等有特殊的方法。直角三角形是特殊的三角形，關(guān)于一般三角形全等的判定方法，對直角三角形都適用，而對于判定一般三角形全等不能使用的“SSA”方法，對于直角三角形是否正確？引發(fā)思考和質(zhì)疑。本節(jié)課采用了動手操作以及討論交流等方法，通過提出問題，思考問題，分析問題，解決問題的系列活動，正確把握一般特殊之間關(guān)系。同時通過學(xué)生自己親自動手畫圖、疊合的方法，力求激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵學(xué)生進(jìn)行大膽的猜想，進(jìn)而獲得直角三角形全等的判定定理，從中滲透轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，從而形成命題，定理，然后應(yīng)用定理解決實際生活中的問題，從而增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力；同時學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切生活，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活又運用于生活。本課設(shè)計了一個開放性的練習(xí)題：何添加條件能證得兩個直角三角形全等，同時再一次復(fù)習(xí)了一般三角形全等的判定方法和特殊直角三角形全等的判定方法。最后的一個動點拓展題，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)知識，應(yīng)用知識的能力。本節(jié)課的教學(xué)主要通過操作探究、分組討論以及合作交流等方式來進(jìn)行，有效的增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識，提高了學(xué)生對新知識的理解與感悟，因而本節(jié)課收到了很好的教學(xué)效果，達(dá)到了教學(xué)目的。 十、案例評析劉老師設(shè)計的這節(jié)課，通過兩段音頻回顧舊知，引入課題，形式新穎，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，教學(xué)設(shè)計結(jié)構(gòu)合理、自然，并且精心設(shè)計了學(xué)生活動，例題、習(xí)題有代表性。1、直角三角形是特殊的三角形,、找兩個直角全等的條件，學(xué)生最容易想到的是借助判定一般三角形全等的條件，本節(jié)課緊緊抓住了這一點，學(xué)生回顧一般三角形全等的判定條件，也為本節(jié)課學(xué)習(xí)“斜邊、直角邊”定理埋下伏筆，隨著三角形的特殊化，判定三角形全等的條件是否發(fā)生改變?這成為學(xué)生關(guān)注的焦點，依據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生會想到圖形特殊化后，判定全等的條件可能會發(fā)生改變，由此可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。2、在第二環(huán)節(jié)中，教師及時引導(dǎo)學(xué)生思考：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等兩個三角形全等嗎?如果這個角是直角呢?請試一試.接著,通過尺規(guī)作圖進(jìn)行驗證，通過推理進(jìn)行證明。這一設(shè)計向?qū)W生滲透了由一般到特殊地研究問題的方法，有助于學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗。設(shè)置了一個較為開放的練習(xí)題，讓學(xué)生添加條件使兩個三角形全等，這個問題既能幫助學(xué)生回顧一般三角形全等的判定條件，同時也鞏固了本節(jié)課學(xué)習(xí)的“斜邊、直角邊”定理。3、教無定法，貴在得法。這節(jié)課的引入方式非常新穎，教師根據(jù)自己學(xué)生的學(xué)情靈活選擇教學(xué)方案，關(guān)注學(xué)生的已有認(rèn)知，充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的困難，幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的提出問題，借助圖形直觀突破難點，規(guī)范地使用符號語言，強(qiáng)調(diào)全等概念、勾股定理等核心數(shù)學(xué)知識的重要作用，體會特殊到一般及合情推理與演繹推理的相互作用等。

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