課題
1.2 直角三角形（1）
單元
第一章
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級
八年級
學(xué)習(xí)
目標(biāo)
知識與技能：掌握直角三角形的性質(zhì)和判別條件，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用；了解逆命題、互逆命題及逆定理、互逆定理的含義并能例舉出相關(guān)的例子；
過程與方法：通過探究直角三角形的性質(zhì)和判定，進(jìn)一步掌握推理證明的方法,拓展演繹推理能力,培養(yǎng)思維能力；
情感態(tài)度與價值觀：在探究中進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展運用數(shù)學(xué)的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學(xué)活動的意識．.
重點
直角三角形的性質(zhì)和判定定理，互逆命題、互逆定理的概念.
難點
綜合運用直角三角形的性質(zhì)及判定解決實際問題.
教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動
學(xué)生活動
設(shè)計意圖
新知導(dǎo)入
同學(xué)們，在上前面的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了直角三角形的有關(guān)內(nèi)容，下面請同學(xué)們回答：
問題1.什么是直角三角形？
答案：有一個內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形.
問題2.直角三角形的兩個銳角有怎樣的關(guān)系？
答案：直角三角形的兩個銳角互余.
學(xué)生根據(jù)老師的提問回答問題.
通過回顧直角三角形的知識，為直角三角形的性質(zhì)及判定的探究做好鋪墊
新知講解
下面，讓我們一起完成下面的問題：
想一想：直角三角形的兩個銳角為什么互余呢？
已知：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
求證：∠A+∠B＝90°.
證明：在Rt△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C＝90°.
又∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°.
即：直角三角形的兩個銳角互余.
思考：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎？為什么？
答案：是直角三角形
已知：如圖所示，在△ABC中，∠A+∠B＝90°.
求證：△ABC是直角三角形
歸納：直角三角形的性質(zhì)與判定
定理：直角三角形的兩個銳角互余.
幾何語言：
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.
幾何語言：
在△ABC中，
∵∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.
練習(xí)1：如圖，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于點D，AE為∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù)．
解：由題意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－30°－70°＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
說一說：在上學(xué)期，我們通過數(shù)方格和割補法得到了勾股定理，誰能說一說勾股定理的內(nèi)容呢？
歸納：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
幾何語言：
∵△ABC直角是三角形，且∠C＝90°，
∴AC2+BC2=AB2.
探究：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形呢？
已知：如圖所示，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求證：△ABC是直角三角形
證明：如圖，作Rt△A′B′C′，
使∠A′＝90°A′B′＝AB,A′C′＝AC,
則A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2，
∴BC2＝B′C′2.
∴BC＝B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的對應(yīng)角相等）.
因此，△ABC是直角三角形.
歸納：定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
幾何語言：
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
練習(xí)2：如圖，已知∠ABD=90°，AB=8m，AD=17m，DC=20m，BC=25m．
（1）求BD的長度；（2）求四邊形ABCD的面積．
解：（1）在∴△ABD中，
∵∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2，
即：82+BD2=172，
∴BD=15（m）；
(2)∵BD=15m，DC=20m，BC=25m，
∴BD2+DC2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴四邊形ABCD的面積=AB×BD+CD×BD
=×8×15+×20×15
=210(m2)．
議一議：觀察下的兩組定理，它們的之間有怎樣的關(guān)系？
定理：直角三角形的兩個銳角互余.
定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
答案：它們的條件和結(jié)論交換了位置
再觀察下面三組命題：
（1）如果兩個角是對頂角，那么它們相等；
如果兩個角相等，那么它們是對頂角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；
如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.
（3）一個三角形中相等的邊所對的角相等；
一個三角形中相等的角所對的邊相等.
每組中兩個命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎？
答案：它們的條件和結(jié)論交換了位置
歸納：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
追問：你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等,那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎?
答案：如果兩個有理數(shù)的相等平方相等,那么這兩個有理數(shù)相等.第一個命題是真命題，它的逆命題是假命題.
指出：一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題.
強(qiáng)調(diào)：判斷一個命題是真命題需要進(jìn)行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉反例就可以．
歸納：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理．
比如：定理：直角三角形的兩個銳角互余.與定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形，是互逆定理
又如：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方與定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，是互逆定理
練習(xí)3：說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：
(1)五邊形是多邊形；
(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等.
解：(1)逆命題：多邊形是五邊形，
原命題是真命題，逆命題是假命題；
(2)逆命題：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，
原命題是真命題，逆命題也是真命題．
學(xué)生在老師的引導(dǎo)下進(jìn)行證明.
學(xué)生認(rèn)真思考，得出猜想后，小組合作進(jìn)行證明，然后班內(nèi)交流，并認(rèn)真聽老師的講評.
學(xué)生歸納直角三角形在角上的性質(zhì)及判定方法，并將其轉(zhuǎn)化為符號語言.
學(xué)生獨立進(jìn)行推理計算，然后班內(nèi)交流，并認(rèn)真聽老師的點評.
學(xué)生回答勾股定理的內(nèi)容及幾何語言表達(dá)形式.
學(xué)生認(rèn)真思考，在同伴討論的基礎(chǔ)上進(jìn)行證明，然后班內(nèi)交流，并認(rèn)真聽老師的點評.
學(xué)生歸納出回答勾股定理逆定理的內(nèi)容及幾何語言表達(dá)形式.
學(xué)生獨立完成后，班內(nèi)交流，然后仔細(xì)聽老師的講評.
學(xué)生認(rèn)真觀察，找出關(guān)系，然后仔細(xì)聽老師的講解
學(xué)生獨立完成練習(xí)，然后班內(nèi)交流，老師講評.
探究并證明直角三角形在角上的性質(zhì)
探究并證明直角三角形在角上的判定定理.
歸納直角三角形在角上的性質(zhì)及判定，并掌握其幾何語言.
應(yīng)用直角三角形在角上的性質(zhì)進(jìn)行計算，提高學(xué)生的應(yīng)用能力.
引導(dǎo)學(xué)生回顧勾股定理的內(nèi)容.
探究直角三角形在邊上的判定，即勾股定理的逆定理.
歸納直角三角形在邊上的判定方法，并掌握其幾何語言.
提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用能力..
掌握互逆命題、互逆定理的概念.
提高所學(xué)知識的應(yīng)用能力.
課堂練習(xí)
1．一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個三角形一定是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
2．已知下列命題：
①若>1，則a>b；
②若a＋b＝0，則|a|＝|b|；
③等邊三角形的三個內(nèi)角都相等；
④底角相等的兩個等腰三角形全等．
其中原命題與逆命題均為真命題的個數(shù)是( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
答案：A
學(xué)生自主完成課堂練習(xí)，做完之后班級內(nèi)交流.
借助練習(xí)，檢測學(xué)生的知識掌握程度，同時便于學(xué)生鞏固知識.
拓展提高
已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC邊上的中線AD＝12cm.求證：AB＝AC.
證明：∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝BC＝×10＝5(cm)．
在△ABD中，
∵AB＝13cm，AD＝12cm，BD＝5cm，
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴△ABD為直角三角形．
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，
∴AB＝AC.
在師的引導(dǎo)下完成問題.
提高學(xué)生對知識的應(yīng)用能力
中考鏈接
下面讓我們一起賞析一道中考題：
(2018·青島) 如圖，三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點E為AB中點．沿過點E的直線折疊，使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F．已知EF=32，則BC的長是（ ）
答案：B
在師的引導(dǎo)下完成中考題.
體會所學(xué)知識在中考試題運用.
課堂總結(jié)
在課堂的最后，我們一起來回憶總結(jié)我們這節(jié)課所學(xué)的知識點：
問題1、說一說直角三角形在角上的性質(zhì)與判定？
答案：性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.
判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.
問題2、說一說直角三角形在邊上的性質(zhì)與判定？
答案：性質(zhì)：勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
判定：勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
問題3、什么是互逆命題、互逆定理？
答案：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別 是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．
如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理．
跟著老師回憶知識，并記憶本節(jié)課的知識.
幫助學(xué)生加強(qiáng)記憶知識.
作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)
教材第17頁習(xí)題1.5第1、2題
能力作業(yè)
教材第18頁習(xí)題1.5第3、5題
學(xué)生課下獨立完成.
檢測課上學(xué)習(xí)效果.
板書設(shè)計
課題：1.2 直角三角形（1）
教師板演區(qū)
學(xué)生展示區(qū)
1、直角三角形的性質(zhì)與判定
2、勾股定理及逆定理
3、互逆命題
4、互逆定理
借助板書，讓學(xué)生知道本節(jié)課的重點。

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