第1課時 直角三角形的性質(zhì)與判定





1．復(fù)習(xí)直角三角形的相關(guān)知識，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；


2．學(xué)習(xí)并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運(yùn)用其解決問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))











一、情境導(dǎo)入


古埃及人曾經(jīng)用下面的方法畫直角：將一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后按如圖所示的方法用樁釘釘成一個三角形，他們認(rèn)為其中一個角便是直角．你知道這是什么道理嗎？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：直角三角形的性質(zhì)與判定


【類型一】 判定三角形是否為直角三角形


具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是( )


A．∠A＋∠B＝∠C


B．∠A－∠B＝∠C


C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3


D．∠A＝∠B＝3∠C


解析：由直角三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個角的度數(shù)，再判斷其形狀．A中∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，同理，B，C中均為直角三角形，D選項(xiàng)中∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形．故選D.


方法總結(jié)：在判定一個三角形是否為直角三角形時要注意直角三角形中有一個內(nèi)角為90°.


【類型二】 直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用


如圖①，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.





(1)猜測∠1與∠2的關(guān)系，并說明理由．


(2)如果∠A是鈍角，如圖②，(1)中的結(jié)論是否還成立？


解析：(1)根據(jù)垂直的定義可得△ABD和△BCE都是直角三角形，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，從而得解；(2)根據(jù)垂直的定義可得∠D＝∠E＝90°，然后求出∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，再根據(jù)∠3、∠4是對頂角解答即可．


解：(1)∠1＝∠2.∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；


(2)結(jié)論仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(對頂角相等)，∴∠1＝∠2.


方法總結(jié)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同角或等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．


探究點(diǎn)二：勾股定理


【類型一】 直接運(yùn)用勾股定理





已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D.求：


(1)AC的長；


(2)S△ABC；


(3)CD的長．


解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據(jù)CD·AB＝BC·AC即可求出CD.


解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝12cm；


(2)S△ABC＝eq \f(1,2)CB·AC＝30cm2；


(3)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(60,13)cm.


方法總結(jié)：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，利用兩種方法表示出同一個直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個方程，再解這個方程即可．


【類型二】 分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用


在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC周長．


解析：本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出；(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運(yùn)用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出．


解：此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：





(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(152－122)＝9，在Rt△ACD中，CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(132－122)＝5，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14，∴△ABC的周長為15＋13＋14＝42；


(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq \r(AC2－AD2)＝eq \r(132－122)＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長為15＋13＋4＝32.


∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時，△ABC的周長為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，△ABC的周長為32.


方法總結(jié)：在題目未給出具體圖形時，應(yīng)考慮三角形是銳角三角形還是鈍角三角形，凡符合題設(shè)的情況都要考慮，體現(xiàn)了分類討論思想，這是解無圖幾何問題的常用方法．


探究點(diǎn)三：勾股定理的逆定理


【類型一】 判斷三角形的形狀


如圖，正方形網(wǎng)格中有△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為( )





A．直角三角形


B．銳角三角形


C．鈍角三角形


D．以上答案都不對


解析：∵正方形小方格邊長為1，∴BC＝eq \r(42＋62)＝2eq \r(13)，AC＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13)，AB＝eq \r(12＋82)＝eq \r(65).在△ABC中，∵BC2＋AC2＝52＋13＝65，AB2＝65，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故選A.


方法總結(jié)：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．


【類型二】 利用勾股定理的逆定理證明垂直關(guān)系


如圖，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝eq \f(1,4)AD，求證：CE⊥EF.





證明：連接CF，設(shè)正方形的邊長為4.∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，AF＝eq \f(1,4)AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.由勾股定理得EF2＝12＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，F(xiàn)C2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，∴∠FEC＝90°，即EF⊥CE.


方法總結(jié)：利用勾股定理的逆定理可以判斷一個三角形是否為直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個主要方法．


【類型三】 運(yùn)用勾股定理的逆定理解決面積問題


如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四邊形ABCD的面積．





解析：連接AC，根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理的逆定理可證△ACD為直角三角形，然后代入三角形面積公式將△ABC和△ACD這兩個直角三角形的面積求出，兩者面積相加即為四邊形ABCD的面積．


解：連接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC為直角三角形．∵AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10.在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(1,2)×6×8＋eq \f(1,2)×10×24＝144.


方法總結(jié)：此題將求四邊形面積的問題轉(zhuǎn)化為求兩個直角三角形面積和的問題，既考查了對勾股定理逆定理的掌握情況，又體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題時的應(yīng)用．


探究點(diǎn)四：互逆命題與互逆定理


寫出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題．


(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；


(2)垂直于同一條直線的兩直線平行；


(3)相等的角是內(nèi)錯角；


(4)有一個角是60°的三角形是等邊三角形．


解析：分別找出各命題的題設(shè)和結(jié)論將其互換即可．


解：(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．真命題；


(2)如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線(在同一平面內(nèi))．真命題；


(3)內(nèi)錯角相等．假命題；


(4)等邊三角形有一個角是60°.真命題．


方法總結(jié)：一個定理不一定有逆定理，只有當(dāng)它的逆命題為真命題時，它才有逆定理．


三、板書設(shè)計


1．直角三角形的性質(zhì)與判定


直角三角的兩個銳角互余；有兩個角互余的三角形是直角三角形．


2．勾股定理及勾股定理的逆定理


直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．





本節(jié)課充分發(fā)揮了學(xué)生動手操作能力、分類討論能力、交流能力和空間想象能力，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)思考的魅力和知識創(chuàng)新的樂趣，突顯教學(xué)過程中的師生互動，使學(xué)生真正成為主動學(xué)習(xí)者.





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2 直角三角形

版本： 北師大版

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