初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊第一章 三角形的證明1 等腰三角形第4課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版八年級下冊第一章 三角形的證明1 等腰三角形第4課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)，共3頁。教案主要包含了情境導(dǎo)入，合作探究，板書設(shè)計(jì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。



1．學(xué)習(xí)并掌握等邊三角形的判定方法，能夠運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問題；(重點(diǎn)、難點(diǎn))


2．理解并掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))











一、情境導(dǎo)入


觀察下面圖形：





師：等腰三角形中有一種特殊的三角形，你知道是什么三角形嗎？


生：等邊三角形．


師：對，等邊三角形具有和諧的對稱美．今天我們來學(xué)習(xí)等邊三角形，引出課題．


二、合作探究


探究點(diǎn)一：等邊三角形的判定


【類型一】 三邊都相等的三角形是等邊三角形


已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．


解析：把已知的關(guān)系式化為兩個完全平方的和等于0的形式求解．


解：移項(xiàng)得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，


∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，


∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，


∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，


∴a＝b＝c.


故△ABC是等邊三角形．


方法總結(jié)：(1)幾個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個非負(fù)數(shù)都等于零；(2)有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．


【類型二】 三個角都是60°的三角形是等邊三角形





如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC.試判定△ODE的形狀，并說明你的理由．


解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DOE＝60°，從而可得△ODE是等邊三角形．


解：△ODE是等邊三角形，


理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.


∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.


∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.


∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.


∴△ODE是等邊三角形．


方法總結(jié)：證明一個三角形是等邊三角形時(shí)，如果較易求出角的度數(shù)，那么就可以分別求出這個三角形的三個角都等于60°，從而判定這個三角形是等邊三角形．


【類型三】 有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形


如圖，在△EBD中，EB＝ED，點(diǎn)C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延長線上一點(diǎn)，AB＝BC.試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．





解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根據(jù)等邊對等角及三角形外角性質(zhì)，可求得∠CBE＝eq \f(1,2)∠ECB.再由BE⊥CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，從而得出△ABC是等邊三角形．


解：△ABC是等邊三角形．


理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.


又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.


∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝eq \f(1,2)∠ECB.


∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.


又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋eq \f(1,2)∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.


又∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形．


方法總結(jié)：(1)已知一個三角形中兩邊相等，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個三角形中有一個角等于60°.(2)已知一個三角形中有一個角等于60°，要證明這個三角形是等邊三角形，有兩種思考方法：①證明另外兩個角也等于60°；②證明這個三角形中有兩邊相等．





探究點(diǎn)二：含30°角的直角三角形的性質(zhì)


【類型一】 利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長








如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是( )


A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm


解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.故選D.


方法總結(jié)：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．


【類型二】 與角平分線有關(guān)的綜合運(yùn)用


如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于( )


A．3 B．2


C．1.5 D．1





解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝eq \f(1,2)PC＝eq \f(1,2)×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故選C.


方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．


【類型三】 利用含30°角的直角三角形解決實(shí)際問題


某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，這種草皮每平方米的售價(jià)是a元，求購買這種草皮至少需要多少元？





解析：作BD⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半求BD，即△ABC的高．運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算面積求解．


解：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥CA交CA的延長線于點(diǎn)D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq \f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×50×20＝500(m2)．∵這種草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．


方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵在于作出CA邊上的高，根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)求BD的長，正確的計(jì)算出△ABC的面積．


三、板書設(shè)計(jì)


1．等邊三角形的判定


三邊都相等的三角形是等邊三角形；


三個角都是60°的三角形是等邊三角形；


有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．


2．含30°角的直角三角形的性質(zhì)


在直角三角形中，如果一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．





本節(jié)課借助于教學(xué)活動的展開，有效地激發(fā)了學(xué)生的探究熱情和學(xué)習(xí)興趣，從而引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究以及合作交流等活動探究并歸納出本節(jié)課所學(xué)的新知識，有助于學(xué)生思維能力的提高．不足之處是部分學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力還有待于在今后的教學(xué)和作業(yè)中進(jìn)一步的訓(xùn)練得以提高.