1．會用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象；


2．會用配方法或公式法求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的頂點坐標(biāo)與對稱軸，并掌握其性質(zhì)；(重點)


3．二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．(難點)





一、情境導(dǎo)入


火箭被豎直向上發(fā)射時，它的高度h(m)與時間t(s)的關(guān)系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．經(jīng)過多長時間火箭達(dá)到它的最高點？





二、合作探究


探究點一：化二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式


把拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，所得圖象的解析式為y＝x2－3x＋5，則( )


A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3


C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21


解析：y＝x2－3x＋5化為頂點式為y＝(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(11,4).將y＝(x－eq \f(3,2))2＋eq \f(11,4)向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，即為y＝x2＋bx＋c.則y＝x2＋bx＋c＝(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(19,4)，化簡后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故選A.


方法總結(jié)：二次函數(shù)由一般式化為頂點式，平移時遵循“左正右負(fù)，上正下負(fù)”，逆向推理則相反．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第4題


探究點二：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與性質(zhì)


【類型一】 二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的綜合


在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝mx＋m和函數(shù)y＝mx2＋2x＋2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是( )





解析：A、B中由函數(shù)y＝mx＋m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝mx2＋2x＋2開口方向朝下，對稱軸為x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＞0，則對稱軸應(yīng)在y軸右側(cè)，故A、B選項錯誤；C中由函數(shù)y＝mx＋m的圖象可知m＞0，即函數(shù)y＝mx2＋2x＋2開口方向朝上，對稱軸為x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＜0，則對稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，故C選項錯誤；D中由函數(shù)y＝mx＋m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y＝mx2＋2x＋2開口方向朝下，對稱軸為x＝－eq \f(b,2a)＝－eq \f(2,2m)＝－eq \f(1,m)＞0，則對稱軸應(yīng)在y軸右側(cè)，與圖象相符，故D選項正確．故選D.


方法總結(jié)：熟記一次函數(shù)y＝kx＋b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)等．


【類型二】 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)


若點A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三點在拋物線y＝x2－4x－m的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( )


A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3


C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2


解析：∵二次函數(shù)y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴開口向上，對稱軸為x＝－eq \f(b,2a)＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最?。帧連(－3，y2)，C(－1，y3)都在對稱軸的左側(cè)，而在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故選C.


方法總結(jié)：當(dāng)二次項系數(shù)a＞0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；a＜0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減?。?br/>

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升” 第3題


【類型三】 二次函數(shù)圖象的位置與各項系數(shù)符號的關(guān)系


已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(－1，0)，且頂點在第一象限．有下列四個結(jié)論：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－eq \f(b,2a)＞0；④abc＞0.其中正確的結(jié)論是________．


解析：由拋物線的開口方向向下可推出a＜0，拋物線與y軸的正半軸相交，可得出c＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號，b＞0，∴abc＜0；∵對稱軸在y軸右側(cè)，對稱軸為－eq \f(b,2a)＞0；由圖象可知：當(dāng)x＝1時，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正確．


方法總結(jié)：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題


【類型四】 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的最值


已知二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a－1的最小值為2，則a的值為( )


A．3 B．－1 C．4 D．4或－1


解析：∵二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝eq \f(4ac－b2,4a)＝eq \f(4a（a－1）－42,4a)＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故選C.


方法總結(jié)：求二次函數(shù)的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第1題


探究點三：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與幾何圖形的綜合應(yīng)用


如圖，已知二次函數(shù)y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過A(2，0)、B(0，－6)兩點．


(1)求這個二次函數(shù)的解析式；


(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．





解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－2＋2b＋c＝0，,c＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝－6.))


∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝－eq \f(1,2)x2＋4x－6；


(2)∵該拋物線對稱軸為直線x＝－eq \f(4,2×（－\f(1,2)）)＝4，


∴點C的坐標(biāo)為(4，0)，


∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，


∴S△ABC＝eq \f(1,2)×AC×OB＝eq \f(1,2)×2×6＝6.


變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題


三、板書設(shè)計








本節(jié)課所學(xué)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)可以看作是y＝ax2，y＝a(x－h(huán))2，y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)的歸納與綜合，讓學(xué)生初步體會由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律.

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初中數(shù)學(xué)湘教版九年級下冊電子課本

1.2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

版本： 湘教版

年級： 九年級下冊

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