第1課時 二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的圖象與性質(zhì)








1．會用描點法畫二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的圖象，理解拋物線的概念；(重點)


2．掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并會應用其解決問題．(重點)





一、情境導入





自由落體公式h＝eq \f(1,2)gt2(g為常量)，h與t之間是什么關系呢？它是什么函數(shù)？它的圖象是什么形狀呢？


二、合作探究


探究點一：二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的圖象


已知y＝(k＋2)xk2＋k是二次函數(shù)．


(1)求k的值；


(2)畫出函數(shù)的圖象．


解析：根據(jù)二次函數(shù)的定義，自變量x的最高次數(shù)為2，且二次項系數(shù)不為0，這樣能確定k的值，從而確定表達式，畫出圖象．


解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k為二次函數(shù)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＋k＝2，,k＋2≠0，))解得k＝1；


(2)當k＝1時，函數(shù)的表達式為y＝3x2，用描點法畫出函數(shù)的圖象．


列表：


描點：(－1，3)，(－eq \f(1,2)，eq \f(3,4))，(0，0)，(eq \f(1,2)，eq \f(3,4))，(1，3)．


連線：用光滑的曲線按x的從小到大的順序連接各點，圖象如圖所示．





方法總結：列表時先取原點(0，0)，然后在原點兩側對稱地取四個點，由于函數(shù)y＝ax2(a≠0)圖象關于y軸對稱的兩個點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，所以先計算y軸右側的兩個點的縱坐標，左側對應寫出即可．


變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題


探究點二：二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的性質(zhì)


已知點(－3，y1)，(1，y2)，(eq \r(2)，y3)都在函數(shù)y＝x2的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是________．


解析：方法一：把x＝－3，1，eq \r(2)分別代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，則y1>y3>y2；





方法二：如圖，作出函數(shù)y＝x2的圖象，把各點依次在函數(shù)圖象上標出．由圖象可知y1>y3>y2；


方法三：∵該圖象的對稱軸為y軸，a>0，∴在對稱軸的右邊，y隨x的增大而增大，而點(－3，y1)關于y軸的對稱點為(3，y3)．又∵3>eq \r(2)>1，∴y1>y3>y2.


方法總結：比較二次函數(shù)中函數(shù)值的大小有三種方法：①直接把自變量的值代入解析式中，求出對應函數(shù)值進行比較；②圖象法；③根據(jù)函數(shù)的增減性進行比較，但當要比較的幾個點在對稱軸的兩側時，可根據(jù)拋物線的對稱軸找出某個點的對稱點，轉(zhuǎn)化到同側后，然后利用性質(zhì)進行比較．


變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題


探究點三：二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的圖象與性質(zhì)的簡單應用


已知函數(shù)y＝(m＋2)xm2＋m－4是關于x的二次函數(shù)．


(1)求滿足條件的m的值；


(2)m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？


解析：由二次函數(shù)的定義知：m2＋m－4＝2且m＋2≠0；拋物線有最低點，則拋物線開口向上，即m＋2>0.


解：(1)由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－4＝2，,m＋2≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2或m＝－3，,m≠－2，))∴當m＝2或m＝－3時，原函數(shù)為二次函數(shù)；


(2)若拋物線有最低點，則拋物線開口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴取m＝2.∴這個最低點為拋物線的頂點，其坐標為(0，0)．當x>0時，y隨x的增大而增大．


方法總結：二次函數(shù)必須滿足自變量的最高次數(shù)是2且二次項的系數(shù)不為0；函數(shù)有最低點即開口向上．


變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第9題


三、板書設計








教學過程中，強調(diào)學生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)y＝ax2(a>0)的圖象與性質(zhì)，培養(yǎng)學生動手、動腦、探究歸納問題的能力.x
－1
－eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)
1
…
y＝3x2
3
eq \f(3,4)
0
eq \f(3,4)
3
…

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1.2 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

版本： 湘教版

年級： 九年級下冊

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