湘教版九年級(jí)下冊(cè)第1章 二次函數(shù)1.5 二次函數(shù)的應(yīng)用第1課時(shí)教案

這是一份湘教版九年級(jí)下冊(cè)第1章 二次函數(shù)1.5 二次函數(shù)的應(yīng)用第1課時(shí)教案，共3頁(yè)。教案主要包含了情境導(dǎo)入，合作探究，板書設(shè)計(jì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第1課時(shí) 拋物線形二次函數(shù)





1．掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題．


2．利用二次函數(shù)解決拱橋及運(yùn)動(dòng)中的有關(guān)問題．


3．能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策．














一、情境導(dǎo)入


某大學(xué)的校門是一拋物線形的水泥建筑物(如圖所示)，大門的寬度為8米，兩側(cè)距地面4米高處各掛有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請(qǐng)你確定校門的高度是多少？


二、合作探究


探究點(diǎn)一：建立二次函數(shù)模型


【類型一】運(yùn)動(dòng)軌跡問題


某學(xué)校初三年級(jí)的一場(chǎng)籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時(shí)離地面高eq \f(20,9)米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米．


(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？


(2)此時(shí)，若對(duì)方隊(duì)員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？





解析：這是一個(gè)有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)(頂點(diǎn))和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就是比較當(dāng)x＝1時(shí)函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大?。?br/>

解：(1)由條件可得到球出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為A(0，eq \f(20,9))，B(4，4)，C(7，3)，其中B是拋物線的頂點(diǎn)．設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－h(huán))2＋k，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，可得y＝－eq \f(1,9)(x－4)2＋4.將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式，得左邊＝右邊，即點(diǎn)C在拋物線上，所以此球一定能投中．


(2)將x＝1代入解析式，得y＝3.因?yàn)?.1＞3，所以蓋帽能獲得成功．


【類型二】拱橋、涵洞問題


(2014·湖北潛江)如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2米．水面下降1米時(shí)，水面的寬度為________米．





解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線為y＝ax2，把點(diǎn)(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－eq \f(1,2)，∴y＝－eq \f(1,2)x2，當(dāng)y＝－3時(shí)，－eq \f(1,2)x2＝－3，x＝±eq \r(6).故答案為2eq \r(6).


方法總結(jié)：在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問題時(shí)，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題．


如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)成，最大高度為6米，底部寬度為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．





(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；


(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；


(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD－DC－CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？


解析：解決問題的思路是首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，挖掘條件確定圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)M(12，0)和拋物線頂點(diǎn)P(6，6)；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)上某些點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出有關(guān)“支撐架”總長(zhǎng)AD＋DC＋CB二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，從而解決問題．


解：(1)根據(jù)題意，分別求出M(12，0)，最大高度為6米，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，底部寬度為12米，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6，即P(6，6)．


(2)設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－6)2＋6.因?yàn)楹瘮?shù)y＝a(x－6)2＋6經(jīng)過點(diǎn)(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－eq \f(1,12).所以此函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq \f(1,12)(x－6)2＋6＝－eq \f(1,12)x2＋x＋3.


(3)設(shè)A(m，0)，則B(12－m，0)，C(12－m，－eq \f(1,12)m2＋m＋3)，D(m，－eq \f(1,12)m2＋m＋3)．即“支撐架”總長(zhǎng)AD＋DC＋CB＝(－eq \f(1,12)m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－eq \f(1,12)m2＋m＋3)＝－eq \f(1,6)m2＋18.因?yàn)榇硕魏瘮?shù)的圖象開口向下．所以當(dāng)m＝0時(shí)，AD＋DC＋CB有最大值為18.


三、板書設(shè)計(jì)








教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立二次函數(shù)模型，解決生活中的實(shí)際問題.