1．切線的性質(zhì)：經(jīng)過________的半徑垂直于圓的切線．


2．常用的輔助線：見了切點，連結圓心和切點，構造直角三角形．





A組 基礎訓練


1．下列說法中，正確的是( )


A．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑


B．垂直于切線的直線必經(jīng)過切點


C．垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心


D．垂直于半徑的直線是圓的切線


2．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO＝6cm，AB＝4cm.則⊙O的半徑為( )


A．4eq \r(5)cm B．2eq \r(5)cm C．2eq \r(13)cm D.eq \r(13)cm





第2題圖


(天津中考)如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點，BC經(jīng)過圓心．若∠B＝25°，則∠C的大小等于( )





第3題圖


A．20° B．25° C．40° D．50°


4．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是( )





第4題圖


A．點(0，3) B．點(2，3) C．點(5，1) D．點(6，1)


5．(玉林中考)如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME＝EF且EF∥MN，則cs∠E＝________．





第5題圖


6．如圖，AB是⊙O的切線，半徑OA＝2，OB交⊙O于點C，∠B＝30°，則eq \(AC,\s\up8(︵))的長是________(結果保留π)．





第6題圖


7.如圖，兩個同心圓，大圓的弦AB切小圓于點C，且AB＝10，則圖中陰影部分面積為________．





第7題圖


如圖，已知⊙P的半徑是1，圓心P在拋物線y＝x2－2x＋1上運動，當⊙P與x軸相切時，圓心P的坐標為______________．





第8題圖


9．(鹽城中考)如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D＝2∠CAD.


(1)求∠D的度數(shù)；


(2)若CD＝2，求BD的長．





第9題圖

















10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，過點B作⊙O的切線，交AC的延長線于點F.





第10題圖


(1)求證：BE＝CE；


(2)求∠CBF的度數(shù)；


(3)若AB＝6，求eq \(AD,\s\up8(︵))的長．




















B組 自主提高


如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點C，點D是⊙O上一點，且∠EDC＝30°.若弦EF∥AB，則EF的長度為( )





第11題圖


A．2 B．2eq \r(3) C.eq \r(3) D．2eq \r(2)


12．如圖，BC是⊙O的切線，弦AB⊥BC于點B，D是⊙O上一點，且AD∥OC.


(1)求證：△ADB∽△OBC；


(2)若AB＝2，BC＝eq \r(5)，求AD的長．(結果保留根號)





第12題圖














13．(綿陽中考)如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(FC,\s\up8(︵))，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．


(1)求證：AE⊥DE；


(2)若tan∠CBA＝eq \r(3)，AE＝3，求AF的長．





第13題圖

















C組 綜合運用


14．如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點E.


(1)求證：CD為⊙O的切線；


(2)求證：∠C＝2∠DBE；


(3)若EA＝AO＝2，求圖中陰影部分的面積．(結果保留π)





第14題圖


















































2．1 直線與圓的位置關系(第3課時)


【課堂筆記】


1．切點


【課時訓練】


1－4.ABCC


eq \f(1,2)


eq \f(2,3)π


25π


(0，1)或(2，1)


(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A，∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝∠COD＝45°； (2)∵∠D＝∠COD，CD＝2，∴OC＝OB＝CD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22＋22＝(2＋BD)2，解得：BD＝2eq \r(2)－2(負值舍去)．


(1)連結AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝EC； (2)∵∠A＝54°，AB＝AC，∴∠ABC＝63°，∵BF是⊙O切線，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝90°－63°＝27°； (3)連結OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∴∠ABD＝36°，∴∠AOD＝2∠ABD＝72°，∴l(xiāng)eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \f(72π×3,180)＝eq \f(6,5)π.


B


(1)∵BC切⊙O于點B，AB⊥BC，∴AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°＝∠OBC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∴△ABD∽△OCB； (2)∵△ABD∽△OCB，∴eq \f(AD,OB)＝eq \f(BD,BC)，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(OB,BC)＝eq \f(\r(5),5)，設AD＝eq \r(5)x，BD＝5x，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，∴x＝eq \f(\r(30),15)，∴AD＝eq \r(5)x＝eq \r(5)×eq \f(\r(30),15)＝eq \f(\r(6),3).


(1)證明：連結OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(FC,\s\up8(︵))，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于點C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；





第13題圖





∵AB是⊙O的直徑，∴△ABC是直角三角形，∵tan∠CBA＝eq \r(3)，∴∠CBA＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＝30°，∵△AEC為直角三角形，AE＝3，∴AC＝2eq \r(3)，連結OF，∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC＋∠EAC＝60°，∴△OAF為等邊三角形，∴AF＝OA＝eq \f(1,2)AB，在Rt△ACB中，AC＝2eq \r(3)，tan∠CBA＝eq \r(3)，∴BC＝2，∴AB＝4，∴AF＝2.


14.(1)連結OD，∵BC是⊙O的切線，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵點D在⊙O上，∴CD為⊙O的切線；





第14題圖





(2)如圖，∠DOE＝∠ODB＋∠OBD＝2∠DBE，由(1)得：OD⊥EC于點D，∴∠E＋∠C＝∠E＋∠DOE＝90°，∴∠C＝∠DOE＝2∠DBE; (3)作OF⊥DB于點F，連結AD，由EA＝AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，∴AD＝AO＝OD，∴∠DOA＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵OB＝AO＝2，OF⊥BD，∴OF＝1，BF＝eq \r(3)，∴BD＝2BF＝2eq \r(3)，∠BOD＝180°－∠DOA＝120°，∴S陰影＝S扇形OBD－S三角形BOD＝eq \f(120π×22,360)－eq \f(1,2)×2eq \r(3)×1＝eq \f(4,3)π－eq \r(3).


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2.1 直線和圓的位置關系

版本： 浙教版（2024）

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