學(xué)習(xí)目標(biāo)


(1)會制作測角儀,應(yīng)用制作的測角儀測量實物的高度,體會三角函數(shù)和解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用價值;


(2)在實際操作中培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.


學(xué)習(xí)過程


一、自主預(yù)習(xí)


問題:


1.什么是解直角三角形?


答:








2.解直角三角形的依據(jù)是什么?


答:











3.應(yīng)用解直角三角形解決實際問題的的一般步驟是什么?


答:








二、活動1 制作測角儀,測量樹的高度


閱讀教科書“活動1”,思考:





1.制作測角儀,測量樹的高度的步驟:


(1)把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的 ,細(xì)線的另一端系一個小重物,制成一個簡單的測角儀,利用它可以測量仰角或俯角;


(2)將這個儀器用手托住,拿到眼前,使視線沿著儀器的 剛好到達(dá)樹的最高點;


(3)得出 的度數(shù);


(4)測出你到 的距離;


(5)計算這棵樹的高度.


2.(1)測角儀是由哪幾個部分組成的?


(1)答:





(2)測角儀上角的讀數(shù)與仰角有怎樣的關(guān)系?


答:





3.樹的高度怎樣計算?


答:


三、活動2 利用測角儀測量塔高


閱讀教科書“活動2”,思考:





1.利用測角儀測量塔高的一般步驟?


(1)在塔前的平地點選擇一點A,用活動1中制作的測角儀測出你看 的仰角α;


(2)在A點和塔之間選擇一點B,測出你由B點看 的仰角β;


(3)量出 ;


(4)計算塔的高度.


2.塔的高度怎樣計算?


答:





四、總結(jié)反思


請同學(xué)們回顧本節(jié)課的內(nèi)容,說一說“活動1”和“活動2”的測量方法有什么區(qū)別?


答:








評價作業(yè)





1.(8分)元旦期間,小明帶領(lǐng)小組成員做了測量電線桿高度的活動,在離電線桿21米的D點,用高1.2米的測角儀CD測得電線桿頂端A的仰角α=30°,則電線桿AB的高為( )


A.(9+1.2)米


B.(7+1.2)米


C.(9+1.2)米


D.(7+1.2)米





2.(8分)周末,小明和小華來濱湖新區(qū)渡江紀(jì)念館游玩,看到高雄挺拔的“勝利之塔”,萌發(fā)了用所學(xué)知識測量塔高的想法,如圖,他倆在塔AB前的平地上選擇一點C,樹立測角儀CE,測出看塔頂?shù)难鼋羌s為30°,從C點向塔底B走70米到達(dá)D點,測出看塔頂?shù)难鼋羌s為45°,已知測角儀器高為1米,則塔AB的高大約為(≈1.7)( )


A.141米


B.101米


C.91米


D.96米





3.(8分)小明和小剛一起去測上海東方明珠塔(BC)的高度,如圖所示,他們在離塔200米的大樓樓頂A處用測角儀測得的仰角∠BAE=60°(AE與地面CD平行),塔底的俯角∠CAE=30°,則該塔的高為( )米(測角儀的高度不計)


A.300


B.400


C.


D.100+200





4.(8分)如圖,為了測量某建筑物BC的高度,小明先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前進了10 m到達(dá)D處,此時遇到一斜坡,坡度i=1∶,沿著斜坡前進10米到達(dá)E處測得建筑物頂部的仰角是45°,請求出該建筑物BC的高度為( )(結(jié)果可帶根號)


A.5+5


B.5+5


C.5+10


D.5+10


5.(10分)B為一建筑物BC的最高點,B在地面上的投影為E,從地面上的A點,用測角儀測得B點的仰角為α,測角儀高AD=b,若AC=a,則建筑物CB的高可表示為 .





6.(10分)如圖,山腳下有一棵樹AB,小強從點B沿山坡向上走50 m到達(dá)點D,用高為1.5 m的測角儀CD測得樹頂為10°,已知山坡的坡腳為15°,則樹AB的高= (精確到0.1 m)(已知sin 10°≈0.17,cs 10°≈0.98,tan 10°≈0.18,sin 15°≈0.26,cs 15°≈0.97,tan 15°≈0.27).



































7.(10分)在湖心有一座塔,小明想知道這座塔的高度,于是他在岸邊架起了測角儀.他測量得數(shù)據(jù)如下(如圖示):測角儀位置(P)距水平面(l)的距離為1.5米(即OP),測得塔頂A的仰角為α(其中tan α=),測得塔頂在水中倒影A1(即AB=A1B)的俯角為30°.那么這座塔的高度AB= .(結(jié)果保留根號)





8.(12分)如圖所示,為了知道樓房CD外墻上一電子屏的高度DE是多少,某數(shù)學(xué)活動小組利用測角儀和米尺等工具進行如下操作;在A處測得點E的仰角為31°,在B出測得點D的仰角為50°,A、B、H共線,且AH⊥CD于點H,AB為20米,測角儀的高度(AF、BG)為1.6米.已知樓房CD高為34.6米,根據(jù)測量數(shù)據(jù),請求出DE的高度.(參考數(shù)據(jù):tan 31°≈0.6,tan 50°≈1.2)























9.(12分)如圖,為了測量一棵樹被風(fēng)吹斜了的大樹的高度,某人從大樹底部B處往前走20米到C處,用測角儀測得樹頂A的仰角為30°,已知測角儀的高CD為1米,大樹與地面成45°的夾角(平面ABCD垂直于地面),求大樹的高(保留根號).




















10.(14分)某校興趣小組想測量一座大樓AB的高度.如圖,大樓前有一段斜坡BC,已知BC的長為12米,它的坡度i=1∶.在離C點40米的D處,用測角儀測得大樓頂端A的仰角為37°,測角儀DE的高為1.5米,求大樓AB的高度約為多少米?(結(jié)果精確到0.1米)


(參考數(shù)據(jù):sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)








參考答案


學(xué)習(xí)過程


一、自主預(yù)習(xí)


1.答:解直角三角形就是由直角三角形中的已知元素(至少有一條邊),求出其余未知元素的過程.


2.答:解直角三角形的依據(jù)是以下3個關(guān)系:


(1)三邊之間關(guān)系:a2+b2=c2(勾股定理);


(2)兩銳角之間關(guān)系:∠A+∠B=90°;


(3)邊角之間關(guān)系:sin A=,cs A=,tan A=.


3.答:(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題);


(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形;


(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案;


(4)得到實際問題的答案.


二、活動1 制作測角儀,測量樹的高度


1.(1)圓心處 (2)直徑 (3)仰角α (4)樹根


2.(1)答:測角儀由量角器、細(xì)線、小重物等組成.


(2)答:測角儀上角的讀數(shù)與仰角是互余的關(guān)系.


3.答:樹的高度=人到樹根的距離·tan α+測角儀的高度,其中α是所測仰角.


三、活動2 利用測角儀測量塔高


1.(1)塔頂 (2)塔頂 (3)A、B兩點的距離


2.答:根據(jù)“=A、B兩點的距離”列出方程,解方程求出塔高.


四、總結(jié)反思


答:“活動1”需要測量一個角度和兩個距離,通過計算便可得到樹高,適用于測量底部可以到達(dá)的物體高度;“活動2”需要測量兩個角度和兩個距離,通過解方程方可得到塔高,適合于測量底部不能到達(dá)的物體高度.


評價作業(yè)


1.B


2.D


3.C





4.D 解析:過E作EF⊥AB于F,EG⊥BC與G,


∵CB⊥AB,


∴四邊形EFBG是矩形,


∴EG=FB,EF=BG,


設(shè)CG=x米,


∵∠CEG=45°,


∴FB=EG=CG=x,


∵DE的坡度i=1∶,


∴∠EDF=30°,


∵DE=10,


∴DF=10cs 30°=5,BG=EF=10sin 30°=5,


∴AB=10+5+x,BC=x+5,


在Rt△ABC中,


∵∠A=30°,


∴BC=AB·tan∠A,


即x+5=(10+5+x),


解得:x=5+5,


∴BC=5+5+5=(5+10)米.


5.CB=b+a·tanα


6.23.2 m





7.(3+) 解析:作PH⊥AB交AB于點H.


由題意可知:四邊形OPBH為矩形,


∴HB=OP=1.5.


在Rt△APH中,tan α=,


令A(yù)H=k,PH=3k.


在Rt△A1PH中,∠A1PH=30°,


∴A1H=PH·tan 30°=,


又AB=A1B,得:k+1.5=,


解得:k=,


∴AB=AH+HB=3+(米).





8.解:由題意知∠EAH=31°,∠DBH=50°,CH=AF=1.6,


∴DH=DC-CH=34.6-1.6=33,


在Rt△DBH中,


∵tan 50°=,


∴BH==27.5,


∴AH=27.5+20=47.5.


在Rt△EAH中,


∵tan 31°=,


∴EH=47.5×tan 31°≈28.5,


∴DE=DH-EH≈33-28.5=4.5(米).


答:DE的高度約為4.5米.





9.解:作AE⊥BC于點E,作DF⊥AE于點F,交AB于點G,作GH⊥CE于點H.


設(shè)AF=x,在△ADF中,∠ADF=30°,則DF=x,


在直角△AGF中,∠ADF=45°,則GF=AF=x,


在直角△BGH中,∠ABE=45°,GH=CD=1,則BH=GH=1,


∴DG=BC+BH=20+1=21(米),


∵DF-GF=DG,


∴x-x=21,


解得:x=(米),


則AE=AF+EF=+1=(米).


則樹高AB=AE=(米).


答:大樹的高是米.





10.解:延長AB交直線DC于點F,過點E作EH⊥AF,垂足為點H.


∵在Rt△BCF中,=i=1∶,


∴設(shè)BF=k,則CF=k,BC=2k.


又∵BC=12,∴k=6,∴BF=6,CF=6.


∵DF=DC+CF,


∴DF=40+6.


∵在Rt△AEH中,tan∠AEH=,


∴AH=tan 37°×(40+6)≈37.785(米),


∵BH=BF-FH,∴BH=6-1.5=4.5.


∵AB=AH-HB,∴AB=37.785-4.5≈33.3.


答:大樓AB的高度約為33.3米.





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28.2 解直角三角形及其應(yīng)用

版本： 人教版

年級： 九年級下冊

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