5．1.1 相交線





1．理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn)；(重點(diǎn))


2．掌握對(duì)頂角相等的性質(zhì)和它的推證過(guò)程；(重點(diǎn)、難點(diǎn))


3．通過(guò)在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力．





一、情境導(dǎo)入


同學(xué)們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側(cè)面有許多相交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤(pán)的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交．這些都給我們以相交線、平行線的形象．在我們生活中，蘊(yùn)涵著大量的相交線和平行線．那么兩條直線相交形成哪些角？這些角又有什么特征？





二、合作探究


探究點(diǎn)一：對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念


【類(lèi)型一】 對(duì)頂角的識(shí)別


下列圖形中∠1與∠2互為對(duì)頂角的是( )





解析：觀察∠1與∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同時(shí)滿足有公共頂點(diǎn)，且∠1的兩邊是∠2的兩邊的反向延長(zhǎng)線．故選C.


方法總結(jié)：判斷對(duì)頂角只看兩點(diǎn)：①有公共頂點(diǎn)；②一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線．


【類(lèi)型二】 鄰補(bǔ)角的識(shí)別


如圖所示，直線AB和CD相交所成的四個(gè)角中，∠1的鄰補(bǔ)角是________．





解析：根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念判斷：有一個(gè)公共頂點(diǎn)、一條公共邊，另一邊互為延長(zhǎng)線．∠1和∠2、∠1和∠4都滿足有一個(gè)公共頂點(diǎn)和一條公共邊，另一邊互為延長(zhǎng)線，故為鄰補(bǔ)角．故答案為∠2和∠4.


方法總結(jié)：鄰補(bǔ)角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補(bǔ)．但需要注意的是：互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的角不一定是鄰補(bǔ)角．


探究點(diǎn)二：對(duì)頂角的性質(zhì)


【類(lèi)型一】 利用對(duì)頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)


如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．





解析：根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠AOC與∠BOD的關(guān)系，根據(jù)OA平分∠COE，可得∠COE與∠AOC的關(guān)系，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，可得答案．


解：由對(duì)頂角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.


方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在圖中找出對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找出已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系．


【類(lèi)型二】 結(jié)合方程思想求角度


如圖，直線AC，EF相交于點(diǎn)O，OD是∠AOB的平分線，OE在∠BOC內(nèi)，∠BOE＝eq \f(1,2)∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度數(shù)．





解析：因?yàn)橐阎颗c未知量的關(guān)系較復(fù)雜，所以想到列方程解答，根據(jù)觀察可設(shè)∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根據(jù)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角找到等量關(guān)系，列方程．


解：設(shè)∠BOE＝x，則∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB與∠BOC互為鄰補(bǔ)角，∴∠AOB＝180°－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝eq \f(1,2)∠AOB＝90°－eq \f(3,2)x.∵∠DOE＝72°，∴90°－eq \f(3,2)x＋x＝72°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°.


方法總結(jié)：在相交線中求角的度數(shù)時(shí)，就要考慮使用對(duì)頂角相等或鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．若已知關(guān)系較復(fù)雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關(guān)系時(shí)，可列方程解決角度問(wèn)題．


【類(lèi)型三】 應(yīng)用對(duì)頂角的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題


如圖，要測(cè)量?jī)啥聣λ纬傻摹螦OB的度數(shù)，但人不能進(jìn)入圍墻，如何測(cè)量？請(qǐng)你寫(xiě)出測(cè)量方法，并說(shuō)明幾何道理．





解析：可以利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)，把∠AOB轉(zhuǎn)化到另外一個(gè)角上．


解：反向延長(zhǎng)射線OB到E，反向延長(zhǎng)射線OA到F，則∠EOF和∠AOB是對(duì)頂角，所以可以測(cè)量出∠EOF的度數(shù)，∠EOF的度數(shù)就是∠AOB的度數(shù)．


方法總結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)把不能測(cè)量的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．


探究點(diǎn)三：與對(duì)頂角有關(guān)的探究問(wèn)題


我們知道：兩直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有2對(duì)；三條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有6對(duì)；四條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有12對(duì)……





(1)10條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有________對(duì)；


(2)n(n≥2)條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角有________對(duì)．


解析：(1)仔細(xì)觀察計(jì)算對(duì)頂角對(duì)數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，得出結(jié)論，代入數(shù)據(jù)求解．如圖①，兩條直線交于一點(diǎn)，圖中共有eq \f(（4－2）×4,4)＝2對(duì)對(duì)頂角；如圖②，三條直線交于一點(diǎn)，圖中共有eq \f(（6－2）×6,4)＝6對(duì)對(duì)頂角；如圖③，四條直線交于一點(diǎn)，圖中共有eq \f(（8－2）×8,4)＝12對(duì)對(duì)頂角……按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點(diǎn)，那么對(duì)頂角共有eq \f(（20－2）×20,4)＝90(對(duì))．故答案為90；


(2)利用(1)中規(guī)律得出答案即可．由(1)得n(n≥2)條直線交于一點(diǎn)，對(duì)頂角的對(duì)數(shù)為eq \f(2n（2n－2）,4)＝n(n－1)．故答案為n(n－1)．


方法總結(jié)：解決探索規(guī)律的問(wèn)題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號(hào)的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征．


三、板書(shū)設(shè)計(jì)


兩條直線相交eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(鄰補(bǔ)角,對(duì)頂角,對(duì)頂角相等))求角的大小





本節(jié)課通過(guò)對(duì)學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們的生活密不可分；學(xué)生經(jīng)歷合作探究過(guò)程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．這樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的能力，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展

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5.1.1 相交線

版本： 人教版

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