最新考綱
考情考向分析
1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.
2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).
拋物線的方程、幾何性質(zhì)及與拋物線相關(guān)的綜合問題是命題的熱點(diǎn).題型既有小巧靈活的選擇、填空題，又有綜合性較強(qiáng)的解答題.



1.拋物線的概念
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形




頂點(diǎn)坐標(biāo)
O(0,0)
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)坐標(biāo)
F
F
F
F
離心率
e＝1
準(zhǔn)線方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

概念方法微思考
1.若拋物線定義中定點(diǎn)F在定直線l上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？
提示　過點(diǎn)F且與l垂直的直線.
2.直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的什么條件？
提示　直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切，所以直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(　×　)
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　×　)
(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.(　×　)
(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　)
(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.(　√　)
題組二　教材改編
2.過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
答案　B
解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.若拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線為l，P是拋物線上任意一點(diǎn)，則P到準(zhǔn)線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　由拋物線定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，由拋物線y2＝4x及直線方程3x＋4y＋7＝0可得直線與拋物線相離.∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值為點(diǎn)F(1,0)到直線3x＋4y＋7＝0的距離，即＝2.故選A.
4.已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.
答案　y2＝－8x或x2＝－y
解析　設(shè)拋物線方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).
將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.

題組三　易錯(cuò)自糾
5.設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.12
答案　B
解析　如圖所示，

拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點(diǎn)B，則|AB|＝2.由于點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B.
6.已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是(　　)
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
答案　D
解析　由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(－，0)，(，0).
設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則＝，
所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝±4x.故選D.
7.設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是__________.
答案　[－1,1]
解析　Q(－2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.


題型一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

命題點(diǎn)1　定義及應(yīng)用
例1 設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________.
答案　4
解析　如圖，過點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，

則|P1Q|＝|P1F|.
則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值為4.
引申探究
1.若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值.
解　由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線的外部.
∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值為2.
2.若將本例中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值.
解　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0).
點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，
故d2＋|PF|的最小值為＝3，
所以d1＋d2的最小值為3－1.

命題點(diǎn)2　求標(biāo)準(zhǔn)方程
例2　設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x D.y2＝2x或y2＝16x
答案　C
解析　由題意知，F(xiàn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，則由拋物線的定義知，xM＝5－，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為2＋2＝，又因?yàn)閳A過點(diǎn)(0,2)，所以yM＝4，又因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x或y2＝16x，
故選C.
思維升華 (1)與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑.
(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于(　　)
A.n＋10 B.n＋20
C.2n＋10 D.2n＋20
答案　A
解析　拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，由拋物線的定義，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，
故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝n＋10.
(2)如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)

A.y2＝x B.y2＝9x
C.y2＝x D.y2＝3x
答案　D
解析　分別過點(diǎn)A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，

所以∠BCB1＝30°.
又|AA1|＝|AF|＝3，
所以|AC|＝2|AA1|＝6，
所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，
所以F為線段AC的中點(diǎn).
故點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p＝|AA1|＝，
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝3x.
題型二　拋物線的幾何性質(zhì)
例3 (1)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　)
A. B. C. D.2
答案　C
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y20)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，將x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，所以p＝6.因?yàn)辄c(diǎn)P在準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P到AB的距離為p＝6，所以△PAB的面積為×6×12＝36.
題型三　直線與拋物線
例4 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn).連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程.
解　(1)設(shè)拋物線的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1＋y2＋p＝8，
又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3，
∴y1＋y2＝6，∴p＝2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y.
(2)由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由消去y得x2－4kx－24＝0，
∴ (*)
易知拋物線在點(diǎn)P處的切線方程為
y－＝(x－x3)，
令y＝－1，得 x＝，∴R，
又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，∴kQF＝kFR，又F(0,1)，
∴＝，
即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，
整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，
將(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，
∴直線m的方程為y＝±x＋6.
思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系.
(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn).若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式.
(3)涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.
提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.
(4)設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
①x1x2＝，y1y2＝－p2.
②弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角).
③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.
④通徑：過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦.
跟蹤訓(xùn)練3 (2018·撫順調(diào)研)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線交點(diǎn)為N.
(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；
(2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.
解　(1)可設(shè)AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將AB的方程代入拋物線C，得
x2－2pkx－2p＝0，Δ＝4p2k2＋8p>0，顯然方程有兩不等實(shí)根，
則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
由x2＝2py得y′＝，
則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1，
則有p＝2.
(2)設(shè)切線AN為y＝x＋b，
又切點(diǎn)A在拋物線y＝上，
∴y1＝，∴b＝－＝－，
∴yAN＝x－.
同理yBN＝x－.
又∵N在yAN和yBN上，
∴解得N.
∴N(pk，－1).
|AB|＝|x2－x1|
＝，
點(diǎn)N到直線AB的距離d＝＝，
S△ABN＝·|AB|·d
＝≥2，
∴2＝4，∴p＝2，
故拋物線C的方程為x2＝4y.

直線與圓錐曲線問題的求解策略
例 (12分)已知拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
規(guī)范解答
解　(1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)，
∴它的焦點(diǎn)為F. [2分]
(2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋，
∴2＋＝3，得m＝. [4分]
(3)存在，聯(lián)立方程
消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)，
依題意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＝8m＋4>0恒成立，
方程必有兩個(gè)不等實(shí)根. [6分]
設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則 (*)
∵P是線段AB的中點(diǎn)，
∴P，
即P，∴Q， [8分]
得＝，
＝.
若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則·＝0，
即·＋＝0， [10分]
結(jié)合(*)式化簡得－－＋4＝0，
即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，
∵m>0，∴m＝2.
∴存在實(shí)數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.[12分]

解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟
第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；
第二步：寫
出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點(diǎn))；
第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；
第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況.


1.點(diǎn)M(5,3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是(　　)
A.y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C.y＝－36x2 D.y＝x2或y＝－x2
答案　D
解析　分兩類a>0，a0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(　　)
A.y2＝－12x B.y2＝－8x
C.y2＝－6x D.y2＝－4x
答案　B
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求拋物線的方程為y2＝－8x.故選B.
3.(2018·遼寧五校聯(lián)考)拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是(　　)
A.4 B.3 C.4 D.8
答案　C
解析　由拋物線的定義可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率為，∴AF的傾斜角為30°，∵AH垂直于準(zhǔn)線，
∴∠FAH＝60°，故△AHF為等邊三角形.設(shè)A，m>0，過F作FM⊥AH于M，則在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等邊三角形AHF的邊長|AH|＝4，∴△AHF的面積是×4×4sin 60°＝4.故選C.
4.拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　D
解析　∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，
∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑.
∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6.
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝，
∴＋＝6，∴p＝8.故選D.
5.(2018·盤錦模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　記拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為l′，
如圖，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分別是A1，B1，C，

則cos∠ABB1＝＝＝，即cos 60°＝＝，由此得＝.
6.已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若·＝－12，則拋物線C的方程為(　　)
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
答案　C
解析　由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線方程為x＝my＋，聯(lián)立
消去x得y2－2pmy－p2＝0，顯然方程有兩個(gè)不等實(shí)根.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，
得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍負(fù))，即拋物線C的方程為y2＝8x.
7.動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為____________.
答案　x2＝8y
解析　∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離比它到直線l：y＝－4的距離小2，∴動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與它到直線y＝－2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)P的軌跡為以A(0,2)為焦點(diǎn)，以直線y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝8y.
8.(2018·呼倫貝爾質(zhì)檢)已知F是拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，若△AFB是等邊三角形，則△AFB的邊長為________________.
答案　8＋4或8－4
解析　由題意可知點(diǎn)A，B一定關(guān)于x軸對(duì)稱，且AF，BF與x軸夾角均為30°，由于y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，由化簡得y2－4y－4＝0，解得y1＝2＋4，y2＝2－4，
所以△AFB的邊長為8＋4或8－4.
9.已知直線l：y＝kx＋t與圓：x2＋(y＋1)2＝1相切，且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點(diǎn)M，N，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____________.
答案　t>0或t0，得t>0或t0，得t>0或t0或t0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝2|BF|＝6，則p＝________.
答案　4
解析　設(shè)AB的方程為x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，將直線AB的方程代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2，4x1x2＝p2.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過A作AC⊥l，垂足為C，過B作BD⊥l，垂足為D，因?yàn)閨AF|＝2|BF|＝6，根據(jù)拋物線的定義知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.
11.已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根.
所以x1＋x2＝，由拋物線定義得
|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x.
12.(2018·包頭模擬)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)若A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，求證：直線BD過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).
解　(1)易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線l的方程為y＝k(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由題意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
由拋物線定義知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，
∴直線l的方程為y＝±(x－1).
(2)由拋物線的對(duì)稱性知，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，－y1)，
直線BD的斜率kBD＝＝＝，
∴直線BD的方程為y＋y1＝(x－x1)，
即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，
∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，
即y1y2＝－4(y1，y2異號(hào))，
∴直線BD的方程為4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒過點(diǎn)(－1,0).

13.如圖所示，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且|AF|＝4，則線段AB的長為(　　)

A.5 B.6
C. D.
答案　C
解析　方法一　

如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l并交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直線AF的斜率k＝＝，所以直線AF的方程為y＝(x－1)，代入拋物線方程y2＝4x得，3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.
故選C.
方法二　如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l并交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故選C.
方法三　如圖所示，設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AD⊥l并交l于點(diǎn)D，由拋物線的定義知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中點(diǎn)，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x.因?yàn)椋?，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故選C.
14.過點(diǎn)(0,3)的直線與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(4,0)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|AF|＋|BF|的值為________.
答案　6
解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為H，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)A，B，H在準(zhǔn)線上的射影為A′，B′，H′，則|HH′|＝(|AA′|＋|BB′|)，由拋物線的定義可得，|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝2|HH′|.由題意知直線的斜率必存在，設(shè)為y＝kx＋3，與y2＝4x聯(lián)立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，
Δ＝(6k－4)2－36k2>0，
計(jì)算得出k0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________________.
答案　(2,4)
解析　如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

則
兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2).
當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條.
當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2，
則有·＝2，
又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
由CM⊥AB，得k·＝－1，
即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，
即M必在直線x＝3上.將x＝3代入y2＝4x，
得y2＝12，則有－2

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