最新考綱
考情考向分析
了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).
主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn).以選擇、填空題為主，難度為中低檔.一般不再考查與雙曲線相關(guān)的解答題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握基礎(chǔ)內(nèi)容及雙曲線方程的求法，能靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì).



1.雙曲線定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在.
2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

概念方法微思考
1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？
提示　不一定.當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；
當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；
當(dāng)2a＝0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.
2.方程Ax2＋By2＝1表示雙曲線的充要條件是什么？
提示　若A>0，B0，二者沒有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00時(shí)，10，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　√　)
(5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).(　√　)
題組二　教材改編
2.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B.5
C. D.2
答案　A
解析　由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3.已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為(　　)
A.x±y＝0 B.x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案　A
解析　橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以雙曲線C2的漸近線方程是y＝±x，即x±y＝0.
4.經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________.
答案?。?
解析　設(shè)雙曲線的方程為－＝±1(a>0)，
把點(diǎn)A(4,1)代入，得a2＝15(舍負(fù))，
故所求方程為－＝1.
題組三　易錯(cuò)自糾
5.(2016·全國(guó)Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　)
A.(－1,3) B.(－1，)
C.(0,3) D.(0，)
答案　A
解析　∵方程－＝1表示雙曲線，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20)的一條漸近線，直線l與圓(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝a，則雙曲線C的離心率為________.
答案　
解析　由題意可知雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，圓(x－c)2＋y2＝a2的圓心為(c,0)，半徑為a.因?yàn)橹本€l為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線，與圓(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝a2＋b2，c>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝a，所以2＋2＝a2，即4b2＝3a2，即4(c2－a2)＝3a2，即＝，又e＝，且e>1，所以e＝.
思維升華 (1)求雙曲線的漸近線的方法
求雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知漸近線方程為y＝±x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
(2)求雙曲線的離心率
①求雙曲線的離心率或其范圍的方法
(ⅰ)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(ⅱ)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.
②雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k＝＝＝＝.
跟蹤訓(xùn)練3 (2018·錦州模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)B，A，若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(　　)
A. B.4 C. D.
答案　A
解析　因?yàn)椤鰽BF2為等邊三角形，
所以不妨設(shè)|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝m，
因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，
所以|F1A|－|F2A|＝|F1A|－|AB|＝|F1B|＝2a，
因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)，
所以|BF2|－|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，
由∠ABF2＝60°，得∠F1BF2＝120°，
在△F1BF2中，由余弦定理得4c2＝4a2＋16a2－2·2a·4a·cos 120°，
得c2＝7a2，則e2＝7，又e>1，所以e＝.故選A.


高考中離心率問題
離心率是橢圓與雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問題難點(diǎn)的根本方法.
例1 已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點(diǎn).若|AF|＋|BF|＝4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.

∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
設(shè)M(0，b)，則M到直線l的距離d＝≥，
∴1≤b0，b>0)，
由已知，取A點(diǎn)坐標(biāo)為，取B點(diǎn)坐標(biāo)為，則C點(diǎn)坐標(biāo)為且F1(－c,0).由AC⊥BF1知·＝0，又＝，＝，可得2c2－＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，則有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或，又e>1，
所以e＝.故選B.


1.(2018·鄂爾多斯調(diào)研)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)，點(diǎn)(4，－2)在它的一條漸近線上，則離心率等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　漸近線方程為y＝－x，
故(4，－2)滿足方程－2＝－×4，所以＝，
所以e＝＝ ＝ ＝，故選B.
2.(2018·新余摸底)雙曲線－＝1(a≠0)的漸近線方程為(　　)
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±4x D.y＝±x
答案　A
解析　根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，
y＝±x＝±2x，故選A.
3.(2018·遼寧省五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
答案　D
解析　因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，故選D.
4.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
答案　B
解析　由雙曲線的方程，得a＝1，c＝，由雙曲線的定義得||PF1|－|PF2||＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|
＝22＋|PF1|·|PF2|＝(2)2，
解得|PF1|·|PF2|＝4.故選B.
5.已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點(diǎn)P使＝e，則·的值為(　　)
A.3 B.2 C.－3 D.－2
答案　B
解析　由題意及正弦定理得
＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知
cos∠PF2F1＝
＝＝，
∴·＝||·||·cos∠PF2F1
＝2×4×＝2.故選B.
6.(2018·沈陽(yáng)模擬)已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，)，則△APF周長(zhǎng)的最小值為(　　)
A.4＋ B.4(1＋)
C.2(＋) D.＋3
答案　B
解析　由題意知F(，0)，設(shè)左焦點(diǎn)為F0，則F0(－，0)，由題意可知△APF的周長(zhǎng)l為|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l(xiāng)＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“＝”，故選B.
7.已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝16，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是(　　)
A.32 B.16 C.84 D.4
答案　B
解析　由題意知F2(c,0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.
8.(2018·葫蘆島模擬)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是(　　)
A. B.
C.(1,2) D.(2，＋∞)
答案　A
解析　由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝a，由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c20，b>0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a＝________；b＝________.
答案　1　2
解析　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
10.(2018·河北名校名師俱樂部二調(diào))已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則△F1AB的面積等于________.
答案　4
解析　由題意知a＝1，由雙曲線定義知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，

∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由題意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1為等腰三角形，∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1為等腰直角三角形.
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，
∴＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
11.(2018·遼陽(yáng)模擬)已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線＋＝1，它的焦點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是__________.
答案　(0,2)
解析　對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線－＝1(a>0，b>0)，它的焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為＝b.雙曲線＋＝1，即－＝1，其焦點(diǎn)在x軸上，則解得40)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的右支于P，Q兩點(diǎn)，△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°，則雙曲線C的離心率為________.
答案　
解析　設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，
又△APQ的一個(gè)內(nèi)角為60°，
∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，
在△PFF1中，由余弦定理得，
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍負(fù)).

13.(2018·營(yíng)口調(diào)研)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若直線y＝x恰為線段PF2的垂直平分線，則雙曲線C的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如圖，

直線PF2的方程為y＝－(x－c)，設(shè)直線PF2與直線y＝x的交點(diǎn)為N，易知N.又線段PF2的中點(diǎn)為N，所以P.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝.故選C.
14.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，則等于(　　)
A.1 B.
C. D.
答案　B
解析　如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.

又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因?yàn)椤螰1AF2＝π，所以＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.又知∠BAF2＝，所以△BAF2為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4a，所以＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，所以＝＝.

15.已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一點(diǎn)，PF1與y軸交于點(diǎn)A，△PAF2的內(nèi)切圓與邊AF2的切點(diǎn)為Q.若|AQ|＝，則E的離心率是(　　)
A.2 B.
C. D.
答案　D
解析　如圖所示，設(shè)PF1，PF2分別與△PAF2的內(nèi)切圓切于M，N，依題意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，
|NF2|＝|QF2|，

|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|,2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2，故a＝，從而e＝＝＝，故選D.
16.已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________.
答案　
解析　由定義，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)不共線時(shí)，
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝－e2，
即e2＝－cos∠F1PF2.
∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈.
當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)，
∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝＝，
綜上，e的最大值為.

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