題型一　直線與橢圓的位置關(guān)系
1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(　　)
A.m>1 B.m>0
C.02，即b>0)，則c＝1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，橢圓的方程為＋＝1.
5.(2018·錦州質(zhì)檢)經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·等于(　　)
A.－3 B.－
C.－或－3 D.±
答案　B
解析　依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí)，其方程為y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1.代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，－1)，B，所以·＝(0，－1)·＝－.同理，直線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得·＝－.
6.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使(＋)·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△F1PF2的面積是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
答案　D
解析　∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，
則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
7.直線y＝kx＋k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是________.
答案　相交
解析　由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1過定點(diǎn)(－1，1)，而(－1,1)在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓必相交.
8.過點(diǎn)M(1,1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于________.
答案　
解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
兩式相減，得
＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴－＝－，
∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.
9.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則橢圓C的離心率e＝________.
答案　
解析　設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF為直角三角形，且∠AFB＝90°，又因?yàn)樾边匒B的中點(diǎn)為O，所以|OF|＝c＝5，連接AF1，因?yàn)锳，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以離心率e＝.
10.已知直線MN過橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn).直線PQ過原點(diǎn)O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則＝________.
答案　2
解析　不妨取直線MN⊥x軸，橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F(－1,0)，令x＝－1，得y2＝，
所以y＝±，所以|MN|＝，此時(shí)|PQ|＝2b＝2，
則＝＝2.
11.如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|＝|BF|.

(1)求橢圓C的離心率；
(2)若斜率為2的直線l過點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程.
解　(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a，
4a2＋4b2＝5a2，4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.
(2)由(1)知a2＝4b2，∴橢圓C：＋＝1.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直線l的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
由消去y，
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵OP⊥OQ，∴·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
從而－＋4＝0，
解得b＝1，滿足b>.
∴橢圓C的方程為＋y2＝1.
12.設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，若·＋·＝8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OCD的面積.
解　(1)過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，
所以＝.
因?yàn)闄E圓的離心率為，所以＝，
又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)由(1)可知F(－1,0)，
則直線CD的方程為y＝k(x＋1).
聯(lián)立
消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
又A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2
＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋＝8，
解得k＝±.
從而x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0.
所以|x1－x2|＝
＝ ＝，
|CD|＝|x1－x2|
＝×＝.
而原點(diǎn)O到直線CD的距離為
d＝＝＝，
所以△OCD的面積為S＝|CD|×d＝××＝.

13.(2018·廣州模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是直線MF2與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)，且|OA|＝|OF2|＝2|OM|，則橢圓C的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　方法一　∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在橢圓C的短軸上，設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，

∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝·|F1F2|，
∴AF1⊥AF2，
從而△AF1F2∽△OMF2，∴＝＝，
又|AF1|2＋|AF2|2＝(2c)2，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＝2a，即＝.
故選D.
方法二　∵|OA|＝|OF2|＝2|OM|，M在橢圓C的短軸上，在Rt△MOF2中，tan∠MF2O＝＝，
設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1，連接AF1，
∵|OA|＝|OF2|，∴|OA|＝|F1F2|，
∴AF1⊥AF2，∴tan∠AF2F1＝＝，
設(shè)|AF1|＝x(x>0)，則|AF2|＝2x，∴|F1F2|＝x，
∴e＝＝＝＝，故選D.
14.已知橢圓＋＝1(a>b>0)短軸的端點(diǎn)為P(0，b)，Q(0，－b)，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，AB為經(jīng)過橢圓中心且不在坐標(biāo)軸上的一條弦，若PA，PB的斜率之積等于－，則點(diǎn)P到直線QM的距離為______.
答案　b
解析　設(shè)A(x0，y0)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(－x0，－y0)，
則·＝－，即＝－，
由于＋＝1，則＝－，
故－＝－，則＝，不妨取M(a,0)，則直線QM的方程為bx－ay－ab＝0，則點(diǎn)P到直線QM的距離為
d＝＝＝b.

15.平行四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓＋＝1，直線AB的斜率k1＝2，則直線AD的斜率k2等于(　　)
A. B.－ C.－ D.－2
答案　C
解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為G，則由橢圓的對(duì)稱性知，O為平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則GO∥AD.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得
＝－，
整理得＝－＝－k1＝－2，
即＝－.又G，
所以kOG＝＝－，即k2＝－，故選C.
16.過橢圓＋＝1(a>b>0)上的動(dòng)點(diǎn)M作圓x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為P和Q，直線PQ與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為E和F，求△EOF面積的最小值.
解　設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由題意知PQ斜率存在，且不為0，所以x0y0≠0，
則直線MP和MQ的方程分別為x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因?yàn)辄c(diǎn)M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，則P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程x0x＋y0y＝，所以直線PQ的方程為x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因?yàn)閎2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，
當(dāng)且僅當(dāng)b2y＝a2x＝時(shí)取“＝”，
故△EOF面積的最小值為.

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