題型一　定點(diǎn)問(wèn)題
例1 已知橢圓＋＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q，P，與橢圓分別交于點(diǎn)M，N，各點(diǎn)均不重合且滿足＝λ1，＝λ2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).
解　(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
(2)由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由題意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
聯(lián)立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，
由題意mtb>0)的右頂點(diǎn)為A，直線y＝與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(P在Q的左邊)，Q在x軸上的射影為B，且四邊形ABPQ是平行四邊形.
(1)求橢圓C的方程；
(2)斜率為k的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N.
①若直線l過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，E是直線3x＋3y－2＝0上一點(diǎn)，且△EMN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求k的值；
②若M是橢圓的左頂點(diǎn)，D是直線MN上一點(diǎn)，且DA⊥AM，點(diǎn)G是x軸上異于點(diǎn)M的點(diǎn)，且以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)G是定點(diǎn).
(1)解　由題意可得2c＝2，即c＝，
設(shè)Q，因?yàn)樗倪呅蜛BPQ為平行四邊形，
|PQ|＝2n，|AB|＝a－n，
所以2n＝a－n，n＝，
則＋＝1，解得b2＝2，a2＝b2＋c2＝4，
可得橢圓C的方程為＋＝1.
(2)①解　直線y＝kx(k≠0)代入橢圓方程，
可得(1＋2k2)x2＝4，
解得x＝±，
可設(shè)M，
由E是3x＋3y－2＝0上一點(diǎn)，
可設(shè)E，
E到直線kx－y＝0的距離為d＝，
因?yàn)椤鱁MN是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
所以O(shè)E⊥MN，|OM|＝d，
即有＝－， (*)
＝， (**)
由(*)得m＝(k≠1)，代入(**)式，
化簡(jiǎn)整理可得7k2－18k＋8＝0，解得k＝2或.
②證明　由M(－2,0)，可得直線MN的方程為y＝k(x＋2)(k≠0)，代入橢圓方程可得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，
可得－2＋xN＝－，解得xN＝，
yN＝k(xN＋2)＝，即N，
設(shè)G(t,0)(t≠－2)，由題意可得D(2,4k)，A(2,0)，
以DN為直徑的圓恒過(guò)直線AN和DG的交點(diǎn)，
可得AN⊥DG，即有·＝0，
即為·(t－2，－4k)＝0，解得t＝0.
故點(diǎn)G是定點(diǎn)，即為原點(diǎn)(0,0).
題型二　定值問(wèn)題
例2 如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上；
(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明：|MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值.
(1)證明　依題意，直線AB的斜率存在，可設(shè)AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.
顯然Δ>0恒成立，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8.
直線AO的方程為y＝x；
BD的方程為x＝x2.
解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為
注意到x1x2＝－8及x＝4y1，
則有y＝＝＝－2.
因此D點(diǎn)在定直線y＝－2上(x≠0).
(2)解　依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，
代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0.
由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡(jiǎn)整理得b＝－a2.
故切線l的方程可寫(xiě)為y＝ax－a2.
分別令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐標(biāo)為
N1，N2，
則|MN2|2－|MN1|2＝2＋42－2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2為定值8.
思維升華 圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)求代數(shù)式為定值.依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.
(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得.
(3)求某線段長(zhǎng)度為定值.利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得.
跟蹤訓(xùn)練2 已知點(diǎn)M是橢圓C：＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)N(0,2)，過(guò)點(diǎn)P(－1，－2)作直線l，交橢圓C于異于N的A，B兩點(diǎn)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值.
(1)解　在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝.
由余弦定理，得
|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos 60°
＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos 60°)，
解得|MF1|＋|MF2|＝4.
從而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.
由|F1F2|＝4得c＝2，從而b＝2，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明　當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)斜率為k，顯然k≠0，則其方程為y＋2＝k(x＋1)，
由
得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝56k2＋32k>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
從而k1＋k2＝＋
＝
＝2k－(k－4)·＝4.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，
可得A，B，
得k1＋k2＝4.
綜上，k1＋k2為定值.

直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.
例 橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，過(guò)F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0)，求m的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k2≠0，證明＋為定值，并求出這個(gè)定值.
解　(1)由于c2＝a2－b2，將x＝－c代入橢圓方程＋＝1，得y＝±.由題意知＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，所以a＝2，b＝1.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
所以直線PF1，PF2的方程分別為
：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由題意知＝.
由于點(diǎn)P在橢圓上，所以＋y＝1.
所以＝.
因?yàn)椋?恒成立，
設(shè)點(diǎn)Q(xQ，yQ)，N(xN，yN)，
則xQ＋xN＝－，xQxN＝－p2.
則|Q′N(xiāo)′|＝|xQ－xN|
＝
＝
＝ ＝2，
解得p＝2.所以拋物線C1的方程為x2＝4y.
(2)證明　設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>0，x20)，得y＝，則y′＝.
所以切線MA的方程是y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.
又點(diǎn)M(a，－2p)在直線MA上，
于是有－2p＝×a－，
即x－2ax1－4p2＝0.
同理，有x－2ax2－4p2＝0，
因此，x1，x2是方程x2－2ax－4p2＝0的兩根，
則x1＋x2＝2a，x1x2＝－4p2.
所以k1·k2＝·＝＝＝－4，
故k1·k2為定值得證.


4.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝2.
(1)求C的方程；
(2)若直線l是圓x2＋y2＝8上的點(diǎn)(2,2)處的切線，點(diǎn)M是直線l上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作橢圓C的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B，設(shè)切線的斜率都存在.求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
解　(1)由已知，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
因?yàn)閨PQ|＝2，不妨設(shè)點(diǎn)P(－c，)，
代入橢圓方程得，＋＝1，
又因?yàn)閑＝＝，
所以＋＝1，b＝c，
所以b2＝4，a2＝2b2＝8，
所以C的方程為＋＝1.
(2)依題設(shè)，得直線l的方程為y－2＝－(x－2)，
即x＋y－4＝0，
設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x0≠x1且x0≠x2，
由切線MA的斜率存在，設(shè)其方程為y－y1＝k(x－x1)，
聯(lián)立
得(2k2＋1)x2＋4k(y1－kx1)x＋2(y1－kx1)2－8＝0，
由相切得Δ＝16k2(y1－kx1)2－8(2k2＋1)[(y1－kx1)2－4]＝0，
化簡(jiǎn)得(y1－kx1)2＝8k2＋4，
即(x－8)k2－2x1y1k＋y－4＝0，
因?yàn)榉匠讨挥幸唤猓?br /> 所以k＝＝＝－，
所以切線MA的方程為y－y1＝－(x－x1)，
即x1x＋2y1y＝8，
同理，切線MB的方程為x2x＋2y2y＝8，
又因?yàn)閮汕芯€都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，
所以
所以直線AB的方程為x0x＋2y0y＝8，
又x0＋y0＝4，
所以直線AB的方程可化為x0x＋2(4－x0)y＝8，
即x0(x－2y)＋8y－8＝0，
令得
所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(2,1).

5.(2018·撫順模擬)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，左頂點(diǎn)M到直線＋＝1的距離d＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.
(1)解　由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，
所以b＝a，即a＝2b.
由左頂點(diǎn)M(－a,0)到直線＋＝1，
即到直線bx＋ay－ab＝0的距離d＝，
得＝，即＝，
把a(bǔ)＝2b代入上式，得＝，解得b＝1.
所以a＝2b＝2，c＝.
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，
可知x1＝x2，y1＝－y2.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，也就是x－y＝0，
又點(diǎn)A在橢圓C上，所以＋y＝1，
解得|x1|＝|y1|＝.
此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離d1＝|x1|＝.
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m，
與橢圓方程聯(lián)立有
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以O(shè)A⊥OB，
所以·＝x1x2＋y1y2＝0，
所以(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
所以(1＋k2)·－＋m2＝0，
整理得5m2＝4(k2＋1)，
所以點(diǎn)O到直線AB的距離d1＝＝.
綜上所述，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

6.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|＝|MB|.求證：＋＋為定值.
(1)解　將與兩點(diǎn)代入橢圓C的方程，得解得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明　由|MA|＝|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
①若點(diǎn)A，B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)
＋＋
＝＋＋＝2＝.
同理，若點(diǎn)A，B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
＋＋
＝＋＋＝2＝.
②若點(diǎn)A，B，M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx(k≠0)，
則直線OM的方程為y＝－x，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
解得x＝，y＝，
所以|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，
同理，|OM|2＝.
所以＋＋
＝2×＋＝.
綜上，＋＋＝為定值.

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