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考情考向分析
掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.
以考查圓的方程為主，與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題、最值問(wèn)題也是考查的熱點(diǎn)，屬中檔題.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對(duì)較低，但內(nèi)容很重要，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn).



圓的定義與方程
定義
平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓
方程
標(biāo)準(zhǔn)式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心為(a，b)
半徑為r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要條件：D2＋E2－4F>0
圓心坐標(biāo)：
半徑r＝

概念方法微思考
1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？
提示　
2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D0，
解得m2.
6.若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.－10)，則圓心到直線(xiàn)x＋2y＝0的距離d＝＝a.
又該圓截直線(xiàn)x＋2y＝0所得弦的長(zhǎng)為2，所以可得12＋2＝5，解得a＝2.故圓的方程為(x－2)2＋y2＝5.


題型二　與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
例2 已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.
解　(1)方法一　設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以y≠0.
因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二　設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).
所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3,0)，M是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
思維升華 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.
②定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程.
③幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.
④相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式.
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡方程.
解　如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，

則線(xiàn)段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
線(xiàn)段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線(xiàn)互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又點(diǎn)N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，
直線(xiàn)OM與軌跡相交于兩點(diǎn)和，不符合題意，舍去，
所以點(diǎn)P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點(diǎn)和.
題型三　與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
例3 已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.
解　設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線(xiàn)y＝－x＋t在y軸上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)縱截距的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)在y軸上的截距.
由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1.
引申探究
1.在本例的條件下，求的最大值和最小值.
解　可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的斜率.
設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為y＝kx，由直線(xiàn)與圓相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，∴的最大值為－2＋，最小值為－2－.
2.在本例的條件下，求的最大值和最小值.
解?。剑笏淖钪悼梢暈榍簏c(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)(－1,2)的距離為，
∴的最大值為＋1，最小值為－1.
思維升華 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略
(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問(wèn)題的解法.一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.
(2)與圓上點(diǎn)(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見(jiàn)類(lèi)型及解法.
①形如u＝型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題；②形如t＝ax＋by型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(a，b)的距離的平方的最值問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練3 已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
解　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直線(xiàn)MQ的斜率k.
設(shè)直線(xiàn)MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
由直線(xiàn)MQ與圓C有交點(diǎn)，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值為2＋，最小值為2－.
(3)設(shè)y－x＝b，則x－y＋b＝0.
當(dāng)直線(xiàn)y＝x＋b與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值為9，最小值為1.


1.若a∈，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個(gè)數(shù)為(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　B
解析　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓的條件為a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－40)，
∴＋＝(a＋3b)
＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)取等號(hào)，故選C.
16.已知圓C截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，圓心C到直線(xiàn)l：x－2y＝0的距離為，且圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為3∶1，求圓C的方程.
解　設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點(diǎn)C到x軸、y軸的距離分別為|b|，|a|.
由題意可知∴或
故所求圓C的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.

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