最新考綱
考情考向分析
1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).
3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
以考查兩條直線的位置關(guān)系、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條直線的交點坐標(biāo)為主，有時也會與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是距離公式，是高考考查的重點.



1.兩條直線的位置關(guān)系
(1)兩條直線平行與垂直
①兩條直線平行：
(ⅰ)對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
(ⅱ)當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.
②兩條直線垂直：
(ⅰ)如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，
則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
(ⅱ)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1⊥l2.
(2)兩條直線的交點
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解.
2.幾種距離
(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離
|P1P2|＝.
(2)點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝.
(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)間的距離d＝.
概念方法微思考
1.若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關(guān)系？
提示　當(dāng)兩條直線l1與l2的斜率都存在時，·＝－1；當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，l1與l2也垂直.
2.應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么？
提示　(1)將方程化為最簡的一般形式.
(2)利用兩平行線之間的距離公式時，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.

題組一　思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　×　)
(2)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　√　)
(3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　×　)
(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.(　√　)
(5)若點A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上.(　√　)
題組二　教材改編
2.已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　)
A. B.2－ C.－1 D.＋1
答案　C
解析　由題意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線x＋y＋1＝0，則m＝________.
答案　1
解析　由題意知＝1，所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
4.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________.
答案?。?
解析　由得
所以點(1,2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
題組三　易錯自糾
5.直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則m等于(　　)
A.2 B.－3
C.2或－3 D.－2或－3
答案　C
解析　直線2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線mx＋3y－2＝0平行，則有＝≠，故m＝2或－3.故選C.
6.直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是______.
答案　
解析　先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋＝0，
則兩平行線間的距離為d＝＝.
7.若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________.
答案　0或1
解析　由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.

題型一　兩條直線的平行與垂直
例1(2018·滿洲里調(diào)研)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；
(2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值.
解　(1)方法一　當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于l2；
當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，
l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：y＝－x－3，
l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2?解得a＝－1，
綜上可知，當(dāng)a＝－1時，l1∥l2，a≠－1時，l1與l2不平行.
方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，
得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l(xiāng)1∥l2?
?可得a＝－1，
故當(dāng)a＝－1時，l1∥l2.當(dāng)a≠－1時，l1與l2不平行.
(2)方法一　當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，
l1與l2不垂直，故a＝1不成立；
當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，
故a＝0不成立；
當(dāng)a≠1且a≠0時，
l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，
可得a＝.
思維升華 (1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.
(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.
跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為(　　)
A.－ B.0
C.－或0 D.2
答案　C
解析　若a≠0，則由l1∥l2?＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故選C.
(2)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0垂直，則m的值為(　　)
A.2或－3 B.2
C.－ D.
答案　C
解析　由l1⊥l2得2×m＋(m＋1)×3＝0，
整理得5m＋3＝0.解得m＝－.
題型二　兩直線的交點與距離問題
1.(2018·葫蘆島調(diào)研)若直線l與兩直線y＝1，x－y－7＝0分別交于M，N兩點，且MN的中點是P(1，－1)，則直線l的斜率是(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案　A
解析　由題意，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)－1，分別與y＝1，x－y－7＝0聯(lián)立解得M，N.又因為MN的中點是P(1，－1)，所以由中點坐標(biāo)公式得k＝－.
2.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因為＝≠，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即＝，所以|PQ|的最小值為.
3.已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________.
答案　
解析　方法一　由方程組
解得
(若2k＋1＝0，即k＝－，則兩直線平行)
∴交點坐標(biāo)為.
又∵交點位于第一象限，∴
解得－

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