1.絕對(duì)值三角不等式
定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立.?
定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立.
2.絕對(duì)值不等式的解法
(1)含絕對(duì)值不等式|x|＜a與|x|＞a的解法：
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a

?
?
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：
①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；
②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；?
③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.
(1)等號(hào)成立的條件在解題時(shí)經(jīng)常用到，特別是用定理求函數(shù)的最大(小)值時(shí)，應(yīng)特別注意.
(2)定理1還可以變形為|a－b|≤|a|＋|b|，等號(hào)成立的充要條件是ab≤0.
分區(qū)間討論時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：
(1)不要把分成的區(qū)間的端點(diǎn)遺漏.
(2)原不等式的解集是若干個(gè)不等式解集的并集，而不是交集.
[熟記常用結(jié)論]

[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)若|x|＞c的解集為R，則c≤0.(　　)
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集為?.(　　)
(3)對(duì)|a＋b|≥|a|－|b|當(dāng)且僅當(dāng)a＞b＞0時(shí)等號(hào)成立.(　　)
(4)對(duì)|a|－|b|≤|a－b|當(dāng)且僅當(dāng)|a|≥|b|時(shí)等號(hào)成立.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、選填題
1.設(shè)a，b為滿足ab＜0的實(shí)數(shù)，那么(　　)
A.|a＋b|＞|a－b|　　　　 B.|a＋b|＜|a－b|
C.|a－b|＜||a|－|b|| D.|a－b|＜|a|＋|b|
解析：選B　∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
2.不等式3≤|5－2x|＜9的解集為(　　)
A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7]
C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)
解析：選D　由題意得
即
解得不等式的解集為(－2,1]∪[4,7).
3.不等式|2x－a|＜b的解集為{x|－1＜x＜4}，則a＋b的值為(　　)
A.－2 B.2
C.8 D.－8
解析：選C　∵|2x－a|＜b的解集為{x|－1＜x＜4}，
∴b＞0，
由|2x－a|＜b，得－b＜2x－a＜b，即＜x＜.
∴＝4，∴a＋b＝8，故選C.
4.不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________.
解析：令f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝當(dāng)－1＜x＜2時(shí)，由2x－1≥1，解得1≤x＜2.又當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3＞1恒成立.所以不等式的解集是.
答案：
5.函數(shù)y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值為________.
解析：因?yàn)閨x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，
所以所求函數(shù)的最小值為8.
答案：8


考點(diǎn)一 絕對(duì)值不等式的解法 [師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|(a∈R).
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式＋f(x)≥1；
(2)設(shè)不等式＋f(x)≤x的解集為M，若?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解]　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式可化為|3x－1|＋|x－2|≥3.
①當(dāng)x≤時(shí)，原不等式可化為－3x＋1＋2－x≥3，
解得x≤0，所以x≤0；
②當(dāng)＜x＜2時(shí)，原不等式可化為3x－1＋2－x≥3，
解得x≥1，所以1≤x＜2；
③當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式可化為3x－1＋x－2≥3，
解得x≥，所以x≥2.
綜上所述，當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式的解集為{x|x≤0或x≥1}.
(2)不等式＋f(x)≤x可化為|3x－1|＋|x－a|≤3x，
依題意知不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在上恒成立，所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，
即a－1≤x≤a＋1，所以解得－≤a≤，
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
[解題技法]
解絕對(duì)值不等式的常用方法
基本性質(zhì)法
對(duì)a∈R＋，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a
平方法
兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)
零點(diǎn)分區(qū)間法
含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解
數(shù)形結(jié)合法
在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解

[過關(guān)訓(xùn)練]
已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)畫出y＝f(x)的圖象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集.

解：(1)由題意得f(x)＝
故y＝f(x)的圖象如圖所示.

(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象可知，
當(dāng)f(x)＝1時(shí)，可得x＝1或x＝3；
當(dāng)f(x)＝－1時(shí)，可得x＝或x＝5，
故f(x)＞1的解集為{x|1＜x＜3}；
f(x)＜－1的解集為.
所以|f(x)|＞1的解集為.
考點(diǎn)二 絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用[師生共研過關(guān)]
[典例精析]
(2019·銀川模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－x－15，且|x－a|＜1.
(1)解不等式|f(x)|＞5.
(2)求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).
[解]　(1)因?yàn)閨x2－x－15|＞5，
所以x2－x－15＜－5或x2－x－15＞5，
即x2－x－10＜0或x2－x－20＞0，
解得＜x＜或x＜－4或x＞5，
所以不等式|f(x)|＞5的解集為
.
(2)證明：因?yàn)閨x－a|＜1，
所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|
＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|＜1·|x＋a－1|
＝|x－a＋2a－1|
≤|x－a|＋|2a－1|＜1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1
＝2(|a|＋1)，
即|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1).
[解題技法]
絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用
利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通過確定適當(dāng)?shù)腶，b，利用整體思想或使函數(shù)、不等式中不含變量，可以求最值或證明不等式.
[過關(guān)訓(xùn)練]
若對(duì)于實(shí)數(shù)x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值.
解：因?yàn)閨2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|
≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，
所以|2x＋3y＋1|的最大值為7.
考點(diǎn)三 含絕對(duì)值不等式的綜合問題 [師生共研過關(guān)]
[例1]　(2018·遼寧五校聯(lián)合體模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|2x－a|(a∈R).
(1)若f(1)＜11，求a的取值范圍；
(2)若?a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，求x的取值范圍.
[解]　(1)f(1)＝|1－a|＋|2－a|＝
當(dāng)a≤1時(shí)，3－2a＜11，解得a＞－4，∴－4＜a≤1；
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，1＜11恒成立；
當(dāng)a≥2時(shí)，2a－3＜11，解得a＜7，∴2≤a＜7.
綜上，a的取值范圍是(－4,7).
(2)∵?a∈R，f(x)≥x2－x－3恒成立，
又f(x)＝|x－a|＋|2x－a|≥|x－a－(2x－a)|＝|x|，
∴|x|≥x2－x－3，
∴或
解得0≤x≤3或－≤x＜0，
∴x的取值范圍是[－，3].
[例2]　(2019·南昌模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)＞4；
(2)若存在x∈使不等式a＋1＞f(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解]　(1)由已知，得f(x)＝
∴f(x)＞4?或
或?x＜－2或0＜x≤1或x＞1.
綜上，不等式f(x)＞4的解集為(－∞，－2)∪(0，＋∞).
(2)存在x∈ 使不等式a＋1＞f(x)成立?a＋1＞f(x)min，x∈.
由(1)得，x∈時(shí)，f(x)＝x＋4，f(x)min＝，
∴a＋1＞，∴a＞，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
[解題技法]
1.含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的常見類型及其解法
(1)分離參數(shù)法：運(yùn)用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立問題中的參數(shù)范圍問題.
求最值的3種方法：
①利用基本不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)解決；
②將函數(shù)解析式用分段函數(shù)形式表示，作出函數(shù)圖象，求得最值；
③利用性質(zhì)“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值.
(2)更換主元法：求解含參不等式恒成立問題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，常可得到簡(jiǎn)捷的解法.
(3)數(shù)形結(jié)合法：在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問題時(shí)，若能數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢(shì)，可更直觀解決問題.
2.不等式能成立問題
(1)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)＞A成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max＞A；
(2)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)＜B成立，等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min＜B.
3.不等式恰成立問題
(1)不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恰成立，等價(jià)于不等式f(x)＞A的解集為D；
(2)不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恰成立，等價(jià)于不等式f(x)＜B的解集為D.
[過關(guān)訓(xùn)練]
1.(2018·惠州第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.
(1)解不等式f(x)＞9；
(2)若?x1∈R，?x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)f(x)＝
f(x)＞9等價(jià)于或或
解得x＞3或x＜－3，
所以原不等式的解集為{x|x＞3或x＜－3}.
(2)?x1∈R，?x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，等價(jià)于f(x)min≥g(x)min.
因?yàn)間(x)＝|x－a|＋|x＋a|≥2|a|，
由(1)知f(x)≥f ＝，
所以2|a|≤，解得－≤a≤，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
2.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范圍.
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f(x)≥g(x)等價(jià)于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.　①
當(dāng)x＜－1時(shí)，①式化為x2－3x－4≤0，無解；
當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，①式化為x2－x－2≤0，從而－1≤x≤1；
當(dāng)x＞1時(shí)，①式化為x2＋x－4≤0，
從而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集為.
(2)當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，g(x)＝2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等價(jià)于當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必為f(－1)與f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范圍為[－1,1].

1.(2019·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇2，＋∞)，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若f(2－a)≥f(2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)∵|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|，∴|a－1|＝2，解得a＝3或a＝－1.
(2)由f(2－a)≥f(2)，得3|a－1|－|a－2|≥1，
則或
或解得a≤0或≤a≤2或a＞2，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]∪.
2.已知f(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)求不等式f(x)＜2的解集；
(2)若存在x∈R，使得f(x)＞|3a－2|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：(1)不等式f(x)＜2等價(jià)于
或或
解得x＜－ 或－≤x＜0，
∴不等式f(x)＜2的解集是(－∞，0).
(2)∵f(x)≤|(2x＋3)－(2x－1)|＝4，∴f(x)max＝4，
∴|3a－2|＜4，解得－＜a＜2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
3.(2018·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)當(dāng)k＝1時(shí)，若不等式f(x)＜4的解集為{x|x1＜x＜x2}，求x1＋x2的值；
(2)當(dāng)x∈R時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)≥k恒成立，求k的最大值.
解：(1)由題意，得|x－2|＋|x＋1|＜4.
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為2x＜5，∴2＜x＜；
當(dāng)x＜－1時(shí)，原不等式可化為－2x＜3，∴－＜x＜－1；
當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，原不等式可化為3＜4，∴－1≤x≤2.
綜上，原不等式的解集為，
即x1＝－，x2＝.
∴x1＋x2＝1.
(2)由題意，得|x－2|＋k|x＋1|≥k在x∈R上恒成立，
則當(dāng)x＝2時(shí)，不等式3k≥k成立，∴k≥0.
①當(dāng)x≤－2或x≥0時(shí)，
∵|x＋1|≥1，∴不等式|x－2|＋k|x＋1|≥k恒成立.
②當(dāng)－2＜x≤－1時(shí)，
原不等式可化為2－x－kx－k≥k，
可得k≤＝－1＋，∴k≤3.
③當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，
原不等式可化為2－x＋kx＋k≥k，可得k≤1－，
∴k＜3.
綜上，可得0≤k≤3，即k的最大值為3.
4.(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍.
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集為.
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x＋1|－|ax－1|＞x成立，
等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax－1|＜1成立.
若a≤0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|ax－1|≥1，不滿足題意；
若a＞0，則|ax－1|＜1的解集為，
所以≥1，故0＜a≤2.
綜上，a的取值范圍為(0,2].
5.(2018·甘肅第二次診斷檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－3|，g(x)＝|x－2|.
(1)解不等式f(x)＋g(x)＜2；
(2)對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，證明：|x－2y＋1|≤3.
解：(1)解不等式|x－3|＋|x－2|＜2.
①當(dāng)x＜2時(shí)，原不等式可化為3－x＋2－x＜2，可得x＞，所以＜x＜2.
②當(dāng)2≤x≤3時(shí)，原不等式可化為3－x＋x－2＜2，可得1＜2，所以2≤x≤3.
③當(dāng)x＞3時(shí)，原不等式可化為x－3＋x－2＜2，可得x＜，所以3＜x＜.
綜上，不等式f(x)＋g(x)＜2的解集為.
(2)證明：|x－2y＋1|＝|(x－3)－2(y－2)|≤|x－3|＋2|y－2|≤1＋2＝3，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立.
6.設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍.
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝
當(dāng)x＜－1時(shí)，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；
當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，顯然滿足題意；
當(dāng)x＞2時(shí)，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，
故f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}.
(2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立.
故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
7.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)畫出y＝f(x)的圖象；

(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解：(1)f(x)＝

y＝f(x)的圖象如圖所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值為5.
8.設(shè)函數(shù)f(x)＝＋|x－2m|(m＞0).
(1)求證：f(x)≥8恒成立；
(2)求使得不等式f(1)＞10成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解：(1)證明：由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)及m＞0，
得f(x)＝＋|x－2m|≥
＝＝＋2m≥2 ＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)＝2m，即m＝2時(shí)取等號(hào).
所以f(x)≥8恒成立.
(2)f(1)＝＋|1－2m|(m＞0)，
當(dāng) 1－2m＜0，
即m＞時(shí)，f(1)＝1＋－(1－2m)＝＋2m，
由f(1)＞10，得＋2m＞10，化簡(jiǎn)得m2－5m＋4＞0，
解得m＜1或m＞4，
所以＜m＜1或m＞4；
當(dāng)1－2m≥0，
即0＜m≤時(shí)，f(1)＝1＋＋(1－2m)＝2＋－2m.
由f(1)＞10，得2＋－2m＞10，此式在0＜m≤時(shí)恒成立.
綜上，當(dāng)f(1)＞10時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1)∪(4，＋∞).


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