第八章　平面解析幾何
第1講　直線的傾斜角、斜率與直線的方程
[考綱解讀]　1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式，并能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線的平行或垂直關(guān)系．(重點)
2．掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，并了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．(難點)
[考向預(yù)測]　從近三年高考情況來看，本講是命題的熱點，但很少獨立命題．預(yù)測2021年高考對本講內(nèi)容將考查：①直線傾斜角與斜率的關(guān)系、斜率公式；②直線平行與垂直的判定或應(yīng)用，求直線的方程．試題常以客觀題形式考查，難度不大.

1.直線的斜率
(1)當(dāng)α≠90°時，tanα表示直線l的斜率，用k表示，即k＝tanα.當(dāng)α＝90°時，直線l的斜率k不存在．
(2)斜率公式
給定兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，經(jīng)過P1，P2兩點的直線的斜率公式為k＝.
2．直線方程的五種形式
名稱
已知條件
方程
適用范圍
點斜式
斜率k與點(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
直線不垂直于x軸
斜截式
斜率k與直線在y軸上的截距b
y＝kx＋b
直線不垂直于x軸
兩點式
兩點(x1，y1)，(x2，y2)
＝(x1≠x2，y1≠y2)
直線不垂直于x軸和y軸
截距式
直線在x軸、y軸上的截距分別為a，b
＋＝1(a≠0，b≠0)
直線不垂直于x軸和y軸，且不過原點
一般式
—
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
任何情況

1．概念辨析
(1)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.(　　)
(2)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等．(　　)
(3)經(jīng)過點P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(4)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．小題熱身
(1)直線l經(jīng)過原點和點(－1，－1)，則直線l的傾斜角是(　　)
A．45° B．135°
C．135°或225° D．60°
答案　A
解析　由已知，得直線l的斜率k＝＝1，所以直線l的傾斜角是45°.
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＋y－3＝0的傾斜角是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　直線x＋y－3＝0的斜率為－，所以傾斜角為.
(3)已知直線l經(jīng)過點P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
答案　A
解析　由題意得直線l的點斜式方程為y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.
(4)已知直線l過點P(1,3)，且與x軸，y軸的正半軸所圍成的三角形的面積等于6，則直線l的方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案　A
解析　設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)．
由題意，得解得a＝2，b＝6.故直線l的方程為＋＝1，即3x＋y－6＝0.故選A.

題型一　直線的傾斜角與斜率

1．(2019·長春模擬)設(shè)直線y＝2x的傾斜角為α，則cos2α的值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　C
解析　由題意，知tanα＝2，所以cos2α＝＝＝＝－.
2．(2019·安陽模擬)若平面內(nèi)三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝(　　)
A．1±或0 B.或0
C. D.或0
答案　A
解析　若A，B，C三點共線，則有kAB＝kAC，即＝，整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
3．直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________．

答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　如圖，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

1．直線的傾斜角與其斜率的關(guān)系
斜率k
k＝tanα>0
k＝0
k＝tanα0，
直線l的方程為＋＝1，所以＋＝1.
||·||＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b) －5＝＋≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時取等號，
此時直線l的方程為x＋y－3＝0.

　組　基礎(chǔ)關(guān)
1．過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案　A
解析　由題意知＝1(m≠－2)，解得m＝1.
2．(2019·鄭州一模)已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為(　　)
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
答案　A
解析　∵直線x－2y－4＝0的斜率為，∴直線l在y軸上的截距為2，∴直線l的方程為y＝x＋2.

3．如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(　　)
A．k1

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