第一節(jié)　絕對(duì)值不等式

1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).
2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.

突破點(diǎn)一　絕對(duì)值不等式的解法


(1)含絕對(duì)值的不等式|x|＜a與|x|＞a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a

?
?
|x|＞a


R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解；
②利用零點(diǎn)分段法求解；
③構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解．

一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)不等式|x|＜a的解集為{x|－a＜x＜a}．(　　)
(2)|x－a|＋|x－b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a，b的距離之和．(　　)
(3)不等式|2x－3|≤5的解集為{x|－1≤x≤4}．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空題
1．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
答案：[1，＋∞)
2．若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k＝________.
答案：2
3．函數(shù)y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值為_(kāi)_______．
答案：8

[典例]　解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|＞0；
(2)|x＋3|－|2x－1|＜＋1.
[解]　(1)法一：原不等式可化為|2x＋1|＞2|x－1|，
兩邊平方得4x2＋4x＋1＞4(x2－2x＋1)，
解得x＞，
所以原不等式的解集為.
法二：原不等式等價(jià)于
或或
解得x＞，所以原不等式的解集為.
(2)①當(dāng)x＜－3時(shí)，
原不等式化為－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜10，∴x＜－3.
②當(dāng)－3≤x≤時(shí)，
原不等式化為(x＋3)－(1－2x)＜＋1，
解得x＜－，∴－3≤x＜－.
③當(dāng)x＞時(shí)，
原不等式化為(x＋3)－(2x－1)＜＋1，
解得x＞2，∴x＞2.
綜上可知，原不等式的解集為.
[方法技巧]
絕對(duì)值不等式的常用解法
(1)基本性質(zhì)法
對(duì)a∈R＋，|x|＜a?－a＜x＜a，
|x|＞a?x＜－a或x＞a.
(2)平方法
兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)．
(3)零點(diǎn)分區(qū)間法
含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．　　
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．(2019·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≤|2x＋1|－1的解集；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－|x＋3|的值域?yàn)锳，且[－2,1]?A，求a的取值范圍．
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|，
①當(dāng)x≤－1時(shí)，原不等式可化為－x－1≤－2x－2，解得x≤－1；
②當(dāng)－1＜x＜－時(shí)，原不等式可化為x＋1≤－2x－2，解得x≤－1，此時(shí)原不等式無(wú)解；
③當(dāng)x≥－時(shí)，原不等式可化為x＋1≤2x，解得x≥1.
綜上可知，原不等式的解集為{x|x≤－1或x≥1}．
(2)因?yàn)閨|x＋a|－|x＋3||≤|(x＋a)－(x＋3)|＝|a－3|，
所以g(x)＝f(x)－|x＋3|＝|x＋a|－|x＋3|∈[－|a－3|，|a－3|]．
所以函數(shù)g(x)的值域A＝[－|a－3|，|a－3|]．
因?yàn)閇－2,1]?A，所以
解得a≤1或a≥5.
所以a的取值范圍是(－∞，1]∪[5，＋∞)．
2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0,1)時(shí)不等式f(x)＞x成立，求a的取值范圍．
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集為.
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|x＋1|－|ax－1|＞x成立等價(jià)于當(dāng)x∈(0,1)時(shí)|ax－1|＜1成立．
若a≤0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，|ax－1|≥1；
若a＞0，則|ax－1|＜1的解集為，
所以≥1，故0＜a≤2.
綜上，a的取值范圍為(0,2]．
突破點(diǎn)二　絕對(duì)值三角不等式


絕對(duì)值三角不等式定理
定理1
如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立
定理2
如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立

一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.(　　)
(2)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件是ab≤0.(　　)
答案：(1)√　(2)√
二、填空題
1．設(shè)a，b為滿(mǎn)足ab＜0的實(shí)數(shù)，那么下列正確的是________(填序號(hào))．
①|(zhì)a＋b|＞|a－b|；　　　　　 ②|a＋b|＜|a－b|；
③|a－b|＜||a|－|b||; ④|a－b|＜|a|＋|b|.
解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.
答案：②
2．若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，
要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，
∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
3．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，則|x－2y＋1|的最大值為_(kāi)_______．
解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.
答案：5


考法一　證明絕對(duì)值不等式　
[例1]　已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求證：|x＋5y|≤1.
[證明]　∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，
∴由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.
[方法技巧]
絕對(duì)值不等式證明的3種主要方法
(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明．
(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明．　　
考法二　與絕對(duì)值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題　
[例2]　設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|2x－1|.
(1)解不等式f(x)＜g(x)；
(2)若2f(x)＋g(x)＞ax＋4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍．
[解]　(1)由已知，可得|x＋3|＜|2x－1|，
即|x＋3|2＜|2x－1|2，
則有3x2－10x－8＞0，
∴x＜－或x＞4.
故所求不等式的解集為∪(4，＋∞)．
(2)設(shè)h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝
當(dāng)x≤－3時(shí)，－4x－5＞ax＋4，即ax＜－4x－9，
∵x≤－3＜0，∴a＞＝－4－.
∴a＞max，∴a＞－1.
當(dāng)－3＜x＜時(shí)，7＞ax＋4，即ax－3＜0.
則∴∴－1≤a≤6.
當(dāng)x≥時(shí)，4x＋5＞ax＋4，即ax＜4x＋1.
∵x≥＞0，∴a＜＝4＋.
∵4＋＞4，且無(wú)限趨近于4，∴a≤4.
綜上，a的取值范圍是(－1,4]．
[方法技巧]
兩招解不等式問(wèn)題中的含參問(wèn)題
轉(zhuǎn)化
①把存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題；
②不等式的解集為R是指不等式的恒成立問(wèn)題；
③不等式的解集為?的對(duì)立面也是不等式的恒成立問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min
求最值
求含絕對(duì)值的函數(shù)最值時(shí)，常用的方法有三種：
①利用絕對(duì)值的幾何意義；
②利用絕對(duì)值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；
③利用零點(diǎn)分區(qū)間法


1.已知f(x)＝|x＋2|－|2x－1|，M為不等式f(x)＞0的解集．
(1)求M；
(2)求證：當(dāng)x，y∈M時(shí)，|x＋y＋xy|＜15.
解：(1)f(x)＝
當(dāng)x＜－2時(shí)，由x－3＞0，得x＞3，舍去；
當(dāng)－2≤x≤時(shí)，由3x＋1＞0，得x＞－，
即－＜x≤；
當(dāng)x＞時(shí)，由－x＋3＞0，得x＜3，即＜x＜3，
綜上，M＝.
(2)證明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，
∴|x＋y＋xy|≤|x＋y|＋|xy|≤|x|＋|y|＋|xy|＝|x|＋|y|＋|x|·|y|＜3＋3＋3×3＝15.
2.已知函數(shù)f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|，a∈R，g(x)＝x2－2x－4＋.
(1)若f(2a2－1)＞4|a－1|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)∵f(2a2－1)＞4|a－1|，
∴|2a2－2a|＋|a2－1|＞4|a－1|，
∴|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)＞0，
∴|2a|＋|a＋1|＞4且a≠1.
①若a≤－1，則－2a－a－1＞4，∴a＜－；
②若－1＜a＜0，則－2a＋a＋1＞4，∴a＜－3，此時(shí)無(wú)解；
③若a≥0且a≠1，則2a＋a＋1＞4，∴a＞1.
綜上所述，a的取值范圍為∪(1，＋∞)．
(2)∵g(x)＝(x－1)2＋－5≥
2－5＝－1，顯然可取等號(hào)，
∴g(x)min＝－1.
于是，若存在實(shí)數(shù)x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.
又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，
∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,2]．
[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]
1．(2019·廣東寶安中學(xué)等七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|－|x－a|，a∈R.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f(x)＜1；
(2)當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)＞1有解，求a的取值范圍．
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，
f(x)＝|2x－1|－|x－1|＝
當(dāng)x≤時(shí)，－x＜1，解得x＞－1，∴－1＜x≤；
當(dāng)＜x≤1時(shí)，3x－2＜1，解得x＜1，∴＜x＜1；
當(dāng)x＞1時(shí)，x＜1，無(wú)解．
綜上所述，不等式f(x)＜1的解集為{x|－1＜x＜1}．
(2)當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)＞1有解?|x－a|＜－2x有解?2x＜x－a＜－2x有解?3x＜a＜－x有解，
∵3x＞－3，－x＜1，
∴－3＜a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－3,1)．
2．(2019·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，g(x)＝|x－a|＋|x＋a|.
(1)解不等式f(x)＞9；
(2)?x1∈R，?x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)f(x)＝
f(x)＞9等價(jià)于或或
綜上，原不等式的解集為{x|x＞3或x＜－3}．
(2)|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.由(1)知f(x)≥f＝，
所以2|a|≤，－＜a＜，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
3．(2019·陜西部分學(xué)校摸底測(cè)試)已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－a|(a∈R)．
(1)若a＝1，求不等式f(x)≥5的解集；
(2)若函數(shù)f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．
解：(1)若a＝1，
則f(x)＝2|x＋1|＋|x－1|＝
當(dāng)x≥1時(shí)，3x＋1≥5，即x≥，∴x≥；
當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，x＋3≥5，即x≥2，此時(shí)x無(wú)解；
當(dāng)x≤－1時(shí)，－3x－1≥5，即x≤－2，∴x≤－2.
綜上所述，不等式f(x)≥5的解集為.
(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝3|x＋1|的最小值為0，不符合題意；
當(dāng)a＞－1時(shí)，f(x)＝
∴f(x)min＝f(－1)＝1＋a＝3，此時(shí)a＝2；
當(dāng)a＜－1時(shí)，f(x)＝
∴f(x)min＝f(－1)＝－1－a＝3，此時(shí)a＝－4.
綜上所述，a＝2或a＝－4.
4．(2019·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－1|－|x＋1|.
(1)當(dāng)m＝5時(shí)，求不等式f(x)＞2的解集；
(2)若二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)當(dāng)m＝5時(shí)，f(x)＝
由f(x)＞2得不等式的解集為.
(2)二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
該函數(shù)在x＝－1處取得最小值2，
因?yàn)閒(x)＝
在x＝－1處取得最大值m－2，
所以要使二次函數(shù)y＝x2＋2x＋3的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恒有公共點(diǎn)，
只需m－2≥2，即m≥4.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[4，＋∞)．
5．(2019·長(zhǎng)春模擬)設(shè)不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集為A.
(1)求集合A；
(2)若a，b，c∈A，求證：＞1.
解：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|
＝
由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，
即A＝{x|－1＜x＜1}．
(2)證明：要證＞1，只需證|1－abc|＞|ab－c|，
只需證1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，
只需證1－a2b2＞c2(1－a2b2)，
只需證(1－a2b2)(1－c2)＞0，
由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，
所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立．
綜上，＞1.
6．(2019·太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．
(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；
(2)當(dāng)a＜時(shí)，函數(shù)g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)∵f(x)＝|x－a|＋(a≠0)，
∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，
∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，∴實(shí)數(shù)m的最大值為1.
(2)當(dāng)a＜時(shí)，
g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋
＝
又函數(shù)g(x)有零點(diǎn)，
∴g(x)min＝g＝－a＋＝≤0，
∴或∴－≤a＜0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
7．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若f(x)≤1，求a的取值范圍．
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝
當(dāng)x＜－1時(shí)，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；
當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，顯然滿(mǎn)足題意；
當(dāng)x＞2時(shí)，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，
故f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}．
(2)f(x)≤1等價(jià)于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且當(dāng)x＝2時(shí)等號(hào)成立．
故f(x)≤1等價(jià)于|a＋2|≥4.
由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
8．(2019·沈陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋3x，
由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，
當(dāng)x＞1時(shí)，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，無(wú)解；
當(dāng)－≤x≤1時(shí)，1－x－(2x＋1)≥0，得－≤x≤0；
當(dāng)x＜－時(shí)，1－x＋(2x＋1)≥0，得－2≤x＜－.
∴不等式的解集為{x|－2≤x≤0}．
(2)法一：由|x－a|＋3x≤0，
可得或
即或
當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為.
由－＝－1，得a＝2.
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為，不合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為.
由＝－1，得a＝－4.
綜上，a＝2或a＝－4.
法二：當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝4x－a，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，
由不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}得，
f(－1)＝4×(－1)－a＝0，得a＝－4.
當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝2x＋a，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，
由不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}得，
f(－1)＝2×(－1)＋a＝0，得a＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)，a＝2或a＝－4都符合題意，
故a的值為2或－4.


英語(yǔ)朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部