1．平面的基本性質(zhì)
(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(注意：三點(diǎn)不一定能確定一個(gè)平面)．
推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．
推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．
(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
2．空間中兩直線的位置關(guān)系
(1)空間中兩直線的位置關(guān)系
　　　 　　　　　　　　　　　　
(1)兩條異面直線不能確定一個(gè)平面．
(2)不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.
(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：.
(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
(4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么 這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
(1)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．
(2)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)．
(3)如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個(gè)角相等．　　　　　　　
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．
(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
[熟記常用結(jié)論]
1．唯一性定理
(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．
(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．
(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．
(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．
2．異面直線的2個(gè)結(jié)論
(1)平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線．
(2)分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．
[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]
一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說(shuō)平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　　)
(2)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.(　　)
(3)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(　　)
(4)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
二、選填題
1．下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線
B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面
D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面
答案：D
2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)
A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析：選D　依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能相交、平行或異面．
3．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是(　　)
A．b?α B.b∥α
C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α
解析：選D　b與α相交或b?α或b∥α都可能．
4．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________(填序號(hào))．
①P∈a，P∈α?a?α；
②a∩b＝P，b?β?a?β；
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.
答案：③④
5．若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成________部分．
解析：通過(guò)舉例說(shuō)明，如三棱柱三個(gè)側(cè)面所在平面滿足兩兩相交，且三條交線互相平行，這三個(gè)平面將空間分成7部分．
答案：7

考點(diǎn)一 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 [師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：
(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；
(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
[證明]　(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.
∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE與D1F必相交，
設(shè)交點(diǎn)為P，如圖所示．
則由P∈CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直線DA，
∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
[解題技法]
1．證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的2種方法
(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；
(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
2．證明點(diǎn)共線問(wèn)題的2種方法
(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；
(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．
3．證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法
先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
　如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．
(1)證明：四邊形BCHG為平行四邊形；
(2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
解：(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC.
所以四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．理由如下：
因?yàn)锽E綊AF，G為FA的中點(diǎn)，所以BE綊FG.
所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
考點(diǎn)二 空間兩直線位置關(guān)系的判定 [師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
(1)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的序號(hào)是__________．

(2)如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH所在直線在原正方體中互為異面的對(duì)數(shù)為_(kāi)_______對(duì)．

[解析]　(1)圖①中，直線GH∥MN；
圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，
但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；
圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；
圖④中，G，M，N共面，
但H?平面GMN，因此GH與MN異面．
所以在圖②④中，GH與MN異面．
(2)平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對(duì)位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，
顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，
而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．
故互為異面直線的有3對(duì)．
[答案]　(1)②④　(2)3
[解題技法]
異面直線的判定方法

[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(　　)
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
解析：選D　由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．
2.如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：
①直線AM與CC1是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與MB1是異面直線；
④直線AM與DD1是異面直線．
其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào))．
解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．
答案：③④
考點(diǎn)三 求異面直線所成的角 [師生共研過(guò)關(guān)]
[典例精析]
如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1或其補(bǔ)角為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.
[答案]　D
　　
1．(變條件)將本例條件“AA1＝2AB＝2”變?yōu)椤癆B＝1，若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”，其他條件不變，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為_(kāi)_______．
解析：由平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到A1的距離為1，得AA1＝1.
此時(shí)正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD-A1B1C1D1.
由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1或其補(bǔ)角，連接A1C1，
則△A1BC1為等邊三角形，
∴∠A1BC1＝60°，∴cos∠A1BC1＝，
故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.
答案：
2．(變條件、變結(jié)論)將本例條件“AA1＝2AB＝2”變?yōu)椤癆B＝1，若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”，其他條件不變，則的值為_(kāi)_______．
解析：設(shè)＝t，則AA1＝tAB.
∵AB＝1，∴AA1＝t.
∵A1C1＝，A1B＝＝BC1，
∴cos∠A1BC1＝＝.
∴t＝3，即＝3.
答案：3
[解題技法]
用平移法求異面直線所成的角的三步驟
(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；
(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；
(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]
1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：選C　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體EFBA-E1F1B1A1.連接B1F，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DF，由題意，得DF＝＝，F(xiàn)B1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos ∠DB1F，
所以cos ∠DB1F＝.
2．(2019·西安質(zhì)檢)已知△ABC與△BCD均為正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且異面直線AB和CD所成的角為θ，則cos θ＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：選D　如圖，取BC的中點(diǎn)O，取BD的中點(diǎn)E，取AC的中點(diǎn)F，連接OA，OE，OF，EF，則OE∥CD，OF∥AB，則∠EOF或其補(bǔ)角為異面直線AB與CD所成的角．依題意得OE＝CD＝2，OF＝AB＝2，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，易得FG⊥平面BCD，且FG＝OA＝，G為OC的中點(diǎn)，則OG＝1，又OE＝2，∠EOG＝120°，所以由余弦定理得EG＝＝＝，由勾股定理得EF2＝FG2＋EG2＝()2＋()2＝10，在△OEF中，由余弦定理得cos∠EOF＝＝＝－，所以cos θ＝.

一、題點(diǎn)全面練
1．下列四個(gè)命題：
①存在與兩條異面直線都平行的平面；②過(guò)空間一點(diǎn)，一定能作一個(gè)平面與兩條異面直線都平行；③過(guò)平面外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)條直線與該平面平行；④過(guò)直線外一點(diǎn)可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與該直線平行．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：選C?、賹⒁粋€(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平移到平面外，且平移后不相交，則這兩條直線異面且與該平面平行，故正確；②當(dāng)點(diǎn)在兩條異面直線中的一條上時(shí)，這個(gè)平面不存在，故不正確；③正確；④正確．故選C.
2．已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A．必要不充分條件 B.充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選B　直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則由“直線a和直線b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選B.
3．已知l1，l2，l3是空間中三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　)
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面
解析：選B　在空間中，垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，故A錯(cuò)；兩條平行直線中的一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線，故B正確；相互平行的三條直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；共點(diǎn)的三條直線不一定共面，如三棱錐的三條側(cè)棱，故D錯(cuò)．
4．(2019·廣東茂名聯(lián)考)一正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題：
①AF⊥GC；　?、贐D與GC是異面直線且?jiàn)A角為60°；
③BD∥MN；　?、蹷G與平面ABCD所成的角為45°.
其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)

A．1 B.2
C．3 D．4
解析：選B　將平面展開(kāi)圖還原成正方體(如圖所示)．
對(duì)于①，由圖形知AF與GC異面垂直，故①正確；
對(duì)于②，BD與GC顯然是異面直線．如圖，連接EB，ED，則EB∥GC，所以∠EBD即為異面直線BD與GC所成的角(或其補(bǔ)角)．在等邊△BDE中，∠EBD＝60°，所以異面直線BD與GC所成的角為60°，故②正確；
對(duì)于③，BD與MN為異面垂直，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由題意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG與平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④錯(cuò)誤．綜上可得①②正確．
5．如圖，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．A，M，O三點(diǎn)共線 B.A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
解析：選A　連接A1C1，AC，因?yàn)锳1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點(diǎn)共面，所以A1C?平面ACC1A1，因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上．同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線．
6．若平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面．
解析：如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定1個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定1個(gè)平面，所以可確定4個(gè)．
答案：1或4
7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于________．
解析：如圖，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°.
答案：60°
8．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，

且＝＝，有以下四個(gè)結(jié)論．
①EF與GH平行；
②EF與GH異面；
③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；
④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______．
解析：如圖所示．連接EH，F(xiàn)G，
依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
故EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H共面．
因?yàn)镋H＝BD，F(xiàn)G＝BD，故EH≠FG，
所以四邊形EFGH是梯形，EF與GH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.因?yàn)辄c(diǎn)M在EF上，
故點(diǎn)M在平面ACB上．同理，點(diǎn)M在平面ACD上，
所以點(diǎn)M是平面ACB與平面ACD的交點(diǎn)，
又AC是這兩個(gè)平面的交線，
所以點(diǎn)M一定在直線AC上．
答案：④
9.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：
(1)AM與CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；
(2)D1B與CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．
解：(1)AM與CN不是異面直線．理由如下：
如圖，連接MN，A1C1，AC.
因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.
又因?yàn)锳1A綊C1C，
所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，
所以A1C1∥AC，
所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，
故AM和CN不是異面直線．
(2)D1B與CC1是異面直線．理由如下：
因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體，
所以B，C，C1，D1不共面．
假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，
則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾．
所以假設(shè)不成立，即D1B與CC1是異面直線．
10.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面三角形ABC的中心，如圖所示．
(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大??；
(2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1-BCA1的體積．
解：(1)因?yàn)锳A1∥CC1，
所以異面直線AA1與BC1所成的角為∠BC1C或其補(bǔ)角．
連接AO，并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)D，則D是BC邊上的中點(diǎn)．
因?yàn)辄c(diǎn)O是正三角形ABC的中心，
且A1O⊥平面ABC，
所以BC⊥AD，BC⊥A1O，
因?yàn)锳D∩A1O＝O，
所以BC⊥平面ADA1.
所以BC⊥AA1，又因?yàn)锳A1∥CC1，
所以CC1⊥BC，BC＝CC1＝B1C1＝BB1＝2，
即四邊形BCC1B1為正方形，
所以異面直線AA1與BC1所成角的大小為.
(2)因?yàn)槿庵乃欣忾L(zhǎng)都為2，
所以可求得AD＝，AO＝AD＝，
A1O＝＝.
所以VABC-A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，
VA1-BCC1B1＝VABC-A1B1C1－VA1-ABC＝，
所以VC1-BCA1＝VA1-BCC1＝VA1-BCC1B1＝.
二、專項(xiàng)培優(yōu)練
(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分
1．已知平面α及直線a，b，則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行
B．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不可能垂直
C．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行
D．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不可能都垂直
解析：選D　對(duì)于A，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行、相交或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，邊AC，BC可以與平面α都成30°角，故B錯(cuò)誤；C顯然錯(cuò)誤；對(duì)于D，假設(shè)直線a，b與平面α都垂直，則直線a，b平行，與已知矛盾，則假設(shè)不成立，故D正確．故選D.
2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與直線A1B1，EF，BC都相交的直線(　　)
A．不存在 B.有且只有兩條
C．有且只有三條 D．有無(wú)數(shù)條
解析：選D　如圖，在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1B1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與BC有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M的位置不同時(shí)，確定不同的平面，從而與BC有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與A1B1，EF，BC分別有交點(diǎn)P，M，N，故有無(wú)數(shù)條直線與直線A1B1，EF，BC都相交．
3.如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點(diǎn)，已知PA＝BC＝2，AB＝4，BC⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為_(kāi)_______．
解析：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE.則在△PBC中，PD＝DB，BE＝EC，所以DE∥PC，且DE＝PC.故∠ADE為異面直線PC，AD所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB.在Rt△ABC中，AC＝＝＝2.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.故DE＝PC＝.在Rt△PAB中，PB＝＝＝2.又PD＝DB，所以AD＝PB＝.在Rt△EAB中，AE＝＝＝.在△DAE中，cos∠ADE＝＝＝－.故異面直線PC，AD所成角的余弦值為.
答案：
4．已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.
其中所有正確的命題是________(填序號(hào))．
解析：借助于長(zhǎng)方體模型來(lái)解決本題，對(duì)于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對(duì)于②，平面α，β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對(duì)于③，平面α，β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對(duì)于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因?yàn)閚∥β，所以過(guò)n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙⊥g，所以m⊥n，故④正確．

答案：①④
(二)素養(yǎng)專練——學(xué)會(huì)更學(xué)通
5．[直觀想象]如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P的軌跡的面積是(　　)
A．4π B.π
C．2π D.
解析：選D　連接DN，則△MDN為直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P為MN的中點(diǎn)，連接DP，則DP＝1，所以點(diǎn)P在以D為球心，半徑R＝1的球面上，又因?yàn)辄c(diǎn)P只能落在正方體上或其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡的面積等于該球面面積的，故所求面積S＝×4πR2＝.
6．[直觀想象、邏輯推理](2017·全國(guó)卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；
②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))
解析：由題意，AB是以AC為軸，BC為底面半徑的圓錐的母線，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圓錐底面，∴在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B，作BD∥a，交底面圓C于點(diǎn)D，如圖所示，連接DE，則DE⊥BD，∴DE∥b，連接AD，設(shè)BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，交圓C于點(diǎn)F，連接AF，EF，
∴BF＝DE＝，
∴△ABF為等邊三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB與b成60°角，故②正確，①錯(cuò)誤．
由最小角定理可知③正確；
很明顯，可以滿足平面ABC⊥直線a，
∴直線AB與a所成角的最大值為90°，④錯(cuò)誤．
∴正確的說(shuō)法為②③.
答案：②③
7.[直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算]如圖所示，AC是圓O的直徑，B，D是圓O上兩點(diǎn)，AC＝2BC＝2CD＝2，PA⊥圓O所在的平面，PA＝，點(diǎn)M在線段BP上，且BM＝BP.
(1)求證：CM∥平面PAD；
(2)求異面直線BP與CD所成角的余弦值．
解：(1)證明：作ME⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，則ME∥AP.因?yàn)锳C是圓O的直徑，AC＝2BC＝2CD＝2，
所以AD⊥DC，AB⊥BC，
所以∠BAC＝∠CAD＝30°，
∠BCA＝∠DCA＝60°，
AB＝AD＝，
因?yàn)锽M＝BP，所以BE＝BA＝，
tan∠BCE＝＝，
所以∠BCE＝∠ECA＝30°＝∠CAD，
所以EC∥AD.
又ME∩CE＝E，PA∩DA＝A，
所以平面MEC∥平面PAD，
又CM?平面MEC，CM?平面PAD，
所以CM∥平面PAD.
(2)過(guò)點(diǎn)A作平行于BC的直線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作BF∥CG交AG于點(diǎn)F，連接PF，
則∠PBF或其補(bǔ)角為異面直線BP與CD所成的角，設(shè)∠PBF＝θ.
易知AF＝1，BP＝，BF＝2，PF＝2，
故cos θ＝＝＝.
即異面直線BP與CD所成角的余弦值為.


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