2020版高考數(shù)學（理）新創(chuàng)新一輪復習通用版講義：第十章第二節(jié)排列與組合-學案下載-教習網

1.排列、組合的定義
排列的
定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
組合的
定義
合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合

2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質

排列數(shù)
組合數(shù)
定
義
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同排列的個數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)個元素的所有不同組合的個數(shù)
公
式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
C＝
＝
性
質
A＝n！，0?。?
C＝1，C＝C，C＋C＝C

正確理解組合數(shù)的性質
(1)C＝C：從n個不同元素中取出m個元素的方法數(shù)等于取出剩余n－m個元素的方法數(shù).
(2)C＋C＝C：從n＋1個不同元素中取出m個元素可分以下兩種情況：①不含特殊元素A有C種方法；②含特殊元素A有C種方法.
[小題查驗基礎]
一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”)
(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(　　)
(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(　　)
(3)若組合式C＝C，則x＝m成立.(　　)
(4)排列定義規(guī)定給出的n個元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情況.也就是說，如果某個元素已被取出，則這個元素就不再取了.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、選填題
1.從3,5,7,11這四個質數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的個數(shù)是(　　)
A.6　　　　　　　　　　 B.8
C.12 D.16
解析：選C　由于lg a－lg b＝lg ，從3,5,7,11中取出兩個不同的數(shù)分別賦值給a和b共有A＝12種，所以得到不同的值有12個.
2.某校開設A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學從中選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(　　)
A.3種 B.6種
C.9種 D.18種
解析：選C　CC＋CC＝2×3＋1×3＝9.
3.用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為(　　)
A.8 B.24
C.48 D.120
解析：選C　因為末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA＝48(種)排法，所以偶數(shù)的個數(shù)為48.
4.某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)
解析：由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A＝40×39＝1 560(條)畢業(yè)留言.
答案：1 560
5.已知－＝，則m＝________.
解析：由已知得，m的取值范圍為，原等式
可化為－＝，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
答案：2

考點一排列問題[師生共研過關]
[典例精析]
有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).
(1)選5人排成一排；
(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；
(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；
(4)全體排成一排，女生必須站在一起；
(5)全體排成一排，男生互不相鄰.
[解]　(1)從7人中選5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(種).
(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有AA＝5 040(種).
(3)法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5×A＝3 600(種).
法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA＝3 600(種).
(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有A·A＝576(種).
(5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有A·A＝1 440(種).
[解題技法]
求解排列應用問題的6種主要方法
直接法
把符合條件的排列數(shù)直接列式計算
優(yōu)先法
優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置
捆綁法
把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列
插空法
對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中
定序問題
除法處理
對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
間接法
正難則反、等價轉化的方法

[過關訓練]
1.(2019·太原聯(lián)考)高三要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求2個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是(　　)
A.1 800　　　　　　　　 B.3 600
C.4 320 D.5 040
解析：選B　先排除舞蹈節(jié)目以外的5個節(jié)目，共A種，再把2個舞蹈節(jié)目插在6個空位中，有A種，所以共有AA＝3 600(種).
2.(2019·石家莊模擬)用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3 000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(　　)
A.250個 B.249個
C.48個 D.24個
解析：選C?、佼斍簧系臄?shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個)；②當千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有A＝24(個).由分類加法計數(shù)原理得滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48(個)，故選C.
3.將7個人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有(　　)
A.1 108種 B.1 008種
C.960種 D.504種
解析：選B　將丙、丁兩人進行捆綁，看成一人.將6人全排列有AA種排法；將甲排在排頭，有AA種排法；乙排在排尾，有AA種排法；甲排在排頭，乙排在排尾，有AA種排法.則甲不能在排頭，乙不能在排尾，丙、丁兩人必須相鄰的不同排法共有AA－AA－AA＋AA＝1 008(種).
考點二組合問題[師生共研過關]
[典例精析]
某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.
(1)其中某一種假貨必須在內，不同取法有多少種？
(2)其中某一種假貨不能在內，不同取法有多少種？
(3)恰有2種假貨在內，不同取法有多少種？
(4)至少有2種假貨在內，不同取法有多少種？
(5)至多有2種假貨在內，不同取法有多少種？
[解]　(1)從余下的34種商品中，
選取2種有C＝561(種)取法，
所以某一種假貨必須在內的不同取法有561種.
(2)從34種可選商品中，選取3種，
有C種或者C－C＝C＝5 984(種)取法.
所以某一種假貨不能在內的不同取法有5 984種.
(3)從20種真貨中選取1種，
從15種假貨中選取2種有CC＝2 100(種)取法.
所以恰有2種假貨在內的不同的取法有2 100種.
(4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，
共有選取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(種).
所以至少有2種假貨在內的不同的取法有2 555種.
(5)法一：(間接法)
選取3種商品的總數(shù)為C，因此共有選取方式
C－C＝6 545－455＝6 090(種).
所以至多有2種假貨在內的不同的取法有6 090種.
法二：(直接法)
共有選取方式C＋CC＋CC＝6 090(種).
所以至多有2種假貨在內的不同的取法有6 090種.
[解題技法]
組合問題的2類題型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外的元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.
(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.
[過關訓練]
1.(2018·南寧二中、柳州高中第二次聯(lián)考)從{1,2,3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，使得其中至少有兩個相鄰，則不同的選法種數(shù)是(　　)
A.72　　　　　　　　　 B.70
C.66 D.64
解析：選D　從{1,2,3，…，10}中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有C·C＋C·C＝56種選法，三個數(shù)相鄰共有C＝8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56＋8＝64種選法.
2.(2019·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長給6位“萌娃”布置一項搜尋空投食物的任務.已知：①食物投擲地點有遠、近兩處；②由于Grace年紀尚小，所以要么不參與該項任務，但此時另需一位小孩在大本營陪同，要么參與搜尋近處投擲點的食物；③所有參與搜尋任務的小孩須被均分成兩組，一組去遠處，一組去近處.那么不同的搜尋方案有(　　)
A.10種 B.40種
C.70種 D.80種
解析：選B　若Grace不參與任務，則需要從剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C種挑法，再從剩下的4位小孩中挑出2位搜尋遠處，有C種挑法，最后剩下的2位小孩搜尋近處，因此一共有CC＝30種搜尋方案；若Grace參與任務，則其只能去近處，需要從剩下的5位小孩中挑出2位搜尋近處，有C種挑法，剩下3位小孩去搜尋遠處，因此共有C＝10種搜尋方案.綜上，一共有30＋10＝40種搜尋方案.
3.(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種.(用數(shù)字填寫答案)
解析：從2位女生，4位男生中選3人，共有C種情況，沒有女生參加的情況有C種，故共有C－C＝20－4＝16(種).
答案：16
考點三分組、分配問題[全析考法過關]
[考法全析]
考法(一)　整體均分問題
[例1]　國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法.
[解析]　先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有＝15(種)方法.再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有A＝6(種)方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有·A＝90(種)分派方法.
[答案]　90
考法(二)　部分均分問題
[例2]　有4名優(yōu)秀學生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所學校，每所學校至少去一名，則不同的保送方案共有________種.
[解析]　先把4名學生分為2,1,1共3組，有＝6(種)分法，再將3組對應3個學校，有A＝6(種)情況，則共有6×6＝36(種)不同的保送方案.
[答案]　36
考法(三)　不等分問題
[例3]　若將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法.
[解析]　將6名教師分組，分三步完成：
第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C種取法；
第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C種取法；
第3步，余下的3名教師作為一組，有C種取法.
根據分步乘法計數(shù)原理，共有CCC＝60種取法.
再將這3組教師分配到3所中學，有A＝6種分法，
故共有60×6＝360種不同的分法.
[答案]　360
[規(guī)律探求]
看
個
性
考法(一)是整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù).
考法(二)是部分均分問題，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù).
考法(三)是不等分問題，解題時需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)
找
共
性
分組與分配問題是排列、組合問題的綜合應用，解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配.
解決分組與分配問題的步驟：
第一，要弄清分配問題與分組問題的不同.把n個不同元素按照某些條件分配給k個不同的對象，稱為分配問題，分成k組，稱為分組問題；
第二，解決分配問題，應先分組再分配；
第三，弄清分組問題的幾種情況及其解決方案

[過關訓練]
1.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　)
A.12種 B.18種
C.24種 D.36種
解析：選D　因為安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，所以必有1人完成2項工作.先把4項工作分成3組，即2,1,1，有＝6種，再分配給3個人，有A＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種).
2.冬季供暖就要開始，現(xiàn)分配出5名水暖工去3個不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個小區(qū)，且每個小區(qū)都要有人去檢查，那么分配的方案共有______種.
解析：5名水暖工去3個不同的居民小區(qū)，每名水暖工只去一個小區(qū)，且每個小區(qū)都要有人去檢查，5名水暖工分組方案為3,1,1和1,2,2，則分配的方案共有·A＝150(種).
答案：150
考點四排列、組合的綜合問題[師生共研過關]
[典例精析]
(1)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(　　)
A.300　　　　　　　　 B.216
C.180 D.162
(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有________個.(用數(shù)字作答)
[解析]　(1)分兩類：
第一類，不取0，即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，根據分步乘法計數(shù)原理可知，共有C·C·A＝72(個)符合要求的四位數(shù)；
第二類，取0，此時2和4只能取一個，再取兩個奇數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，根據分步乘法計數(shù)原理可知，共有C·C·(A－A)＝108(個)符合要求的四位數(shù).
根據分類加法計數(shù)原理可知，滿足題意的四位數(shù)共有72＋108＝180(個).
(2)當個位、十位和百位上的數(shù)字為三個偶數(shù)時，若選出的三個偶數(shù)含有0，則千位上把剩余數(shù)字中任意一個放上即可，方法數(shù)是CAC＝72；若選出的三個偶數(shù)不含0，則千位上只能從剩余的非0數(shù)字中選一個放上，方法數(shù)是AC＝18，故這種情況下符合要求的四位數(shù)共有72＋18＝90(個).
當個位、十位和百位上的數(shù)字為一個偶數(shù)、兩個奇數(shù)時，若選出的偶數(shù)是0，則再選出兩個奇數(shù)，千位上只要在剩余數(shù)字中選一個放上即可，方法數(shù)為CAC＝72；若選出的偶數(shù)不是0，則再選出兩個奇數(shù)后，千位上只能從剩余的非0數(shù)字中選一個放上，方法數(shù)是CCAC＝162，故這種情況下符合要求的四位數(shù)共有72＋162＝234(個).
根據分類加法計數(shù)原理，可得符合要求的四位數(shù)共有90＋234＝324(個).
[答案]　(1)C　(2)324
[解題技法]
解決排列、組合綜合問題的方法
(1)仔細審題，判斷是組合問題還是排列問題，要按元素的性質分類，按事件發(fā)生的過程進行分步.
(2)以元素為主時，先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主時，先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.
(3)對于有附加條件的比較復雜的排列、組合問題，要周密分析，設計出合理的方案，一般先把復雜問題分解成若干個簡單的基本問題，然后應用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理來解決，一般遵循先選后排的原則.
[過關訓練]
1.(2019·廣州調研)某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2個，乙大學2個，丙大學1個，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有(　　)
A.36種 B.24種
C.22種 D.20種
解析：選B　根據題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個大學各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學和乙大學，共有AA＝12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學和乙大學，共有CAA＝12種推薦方法.故共有24種推薦方法.
2.(2019·成都診斷)從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)服務的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為________.(用數(shù)字作答)
解析：根據題意，分2種情況討論，若甲、乙之中只有一人參加，有C·C·A＝3 600(種)；若甲、乙兩人都參加，有C·A·A＝1 440(種).則不同的安排種數(shù)為3 600＋1 440＝5 040.
答案：5 040

一、題點全面練
1.某小區(qū)有排成一排的7個車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為(　　)
A.16　　　　　　　　　　 B.18
C.24 D.32
解析：選C　將4個車位捆綁在一起，看成一個元素，先排3輛不同型號的車，在3個車位上任意排列，有A＝6(種)方法，再將捆綁在一起的4個車位插入4個空當中，有4種方法，故共有4×6＝24(種)方法.
2.(2019·惠州調研)旅游體驗師小明受某網站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為(　　)
A.24 B.18
C.16 D.10
解析：選D　分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：不在最后體驗甲景區(qū)，則有C·A種可選的路線.所以小李可選的旅游路線數(shù)為A＋C·A＝10.
3.(2019·開封模擬)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科.學生甲要想報考某高校的法學專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數(shù)為(　　)
A.6 B.12
C.18 D.19
解析：選D　從六科中選考三科的選法有C種，其中不選物理、政治、歷史中任意一科的選法有1種，因此學生甲的選考方法共有C－1＝19種.
4.(2019·沈陽教學質量監(jiān)測)若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有(　　)
A.4種 B.8種
C.12種 D.24種
解析：選B　將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8種站法.
5.(2018·甘肅二診)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　)
A.18種 B.24種
C.36種 D.48種
解析：選C　若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12種；若甲、乙搶的是一個8和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6種；若甲、乙搶的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6種，根據分類加法計數(shù)原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36種情況.
6.(2019·南昌調研)某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有(　　)
A.120種 B.156種
C.188種 D.240種
解析：選A　記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48種；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36種.所以編排方案共有48＋36＋36＝120種.
7.從5名學生中選出4名分別參加數(shù)學、物理、化學、生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為(　　)
A.48 B.72
C.90 D.96
解析：選D　由于甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場競賽或甲不參加任何競賽.
①當甲參加另外3場競賽時，共有CA＝72種選擇方案；
②當甲學生不參加任何競賽時，共有A＝24種選擇方案.
綜上所述，所有參賽方案有72＋24＝96(種).
8.某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學、英語、物理、化學各一節(jié)課.要求語文與化學相鄰，數(shù)學與物理不相鄰，且數(shù)學課不排第一節(jié)，則不同排課方案的種數(shù)是(　　)
A.16 B.24
C.8 D.12
解析：選A　根據題意，分三步進行分析，①要求語文與化學相鄰，將語文和化學看成一個整體，考慮其順序，有A＝2種情況；②將這個整體與英語全排列，有A＝2種情況，排好后，有3個空位；③數(shù)學課不排第一節(jié)，有2個空位可選，在剩下的2個空位中任選1個，安排物理，有2種情況，則數(shù)學、物理的安排方法有2×2＝4種，則不同排課方案的種數(shù)是2×2×4＝16.
9.(2019·洛陽第一次統(tǒng)考)某校有4個社團向高一學生招收新成員，現(xiàn)有3名同學，每人只選報1個社團，恰有2個社團沒有同學選報的報法有________種.(用數(shù)字作答)
解析：第一步，選2名同學報名某個社團，有CC＝12種報法；第二步，從剩余的3個社團里選一個社團安排另一名同學，有CC＝3種報法.由分步乘法計數(shù)原理得共有12×3＝36種報法.
答案：36
10.(2018·莆田期中)某學校需從3名男生和2名女生中選出4人，分派到甲、乙、丙三地參加義工活動，其中甲地需要選派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要選派1人，則不同的選派方法有________種.(用數(shù)字作答)
解析：由題設可分兩類：一是甲地只選派1名女生，先考慮甲地有CC種情形，后考慮乙、丙兩地，有A種情形，共有CCA＝36種情形；二是甲地選派2名女生，則甲地有C種情形，乙、丙兩地有A種情形，共有CA＝6種情形.由分類加法計數(shù)原理可知共有36＋6＝42種情形.
答案：42
A
B
C
D
11.(2018·南陽二模)如圖所示2×2方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個，允許重復.若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有______種.(用數(shù)字作答)
解析：根據題意，對于A，B兩個方格，可在1,2,3,4中任選2個，大的放進A方格，小的放進B方格，有C＝6種情況，對于C，D兩個方格，每個方格有4種情況，則共有4×4＝16種情況，則不同的填法共有16×6＝96種.
答案：96
二、專項培優(yōu)練
易錯專練——不丟怨枉分
1.將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有(　　)
A.12種 B.10種
C.9種 D.8種
解析：選A　將4名學生均分為2個小組共有＝3(種)分法；將2個小組的同學分給2名教師共有A＝2(種)分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A＝2(種)分法.
故不同的安排方案共有3×2×2＝12(種).
2.(2019·馬鞍山模擬)某學校有5位教師參加某師范大學組織的暑期骨干教師培訓，現(xiàn)有5個培訓項目，每位教師可任意選擇其中一個項目進行培訓，則恰有兩個培訓項目沒有被這5位教師中的任何一位教師選擇的情況數(shù)為(　　)
A.5 400 B.3 000
C.150 D.1 500
解析：選D　分兩步：
第一步：從5個培訓項目中選取3個，共C種情況；
第二步：5位教師分成兩類：①選擇選出的3個培訓項目的教師人數(shù)分別為1人，1人，3人，共種情況；②選擇選出的3個培訓項目的教師人數(shù)分別為1人，2人，2人，共種情況.故選擇情況數(shù)為CA＝1 500(種).
3.將編號為1,2,3,4,5,6的六個小球放入編號為1,2,3,4,5,6的六個盒子中，每個盒子放一個小球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，則不同的放法總數(shù)是(　　)
A.40 B.60
C.80 D.100
解析：選A　根據題意，有且只有三個盒子的編號與放入的小球編號相同，在六個盒子中任選3個，放入與其編號相同的小球，有C＝20種選法，剩下的三個盒子的編號與放入的小球編號不相同，假設這三個盒子的編號為4,5,6，則4號小球可以放入5,6號盒子，有2種選法，剩下的2個小球放入剩下的兩個盒子，有1種情況，則不同的放法總數(shù)是20×2×1＝40.
4.(2019·贛州聯(lián)考)將標號分別為1,2,3,4,5,6的6個小球放入3個不同的盒子中.若每個盒子放2個，其中標號為1,2的小球放入同一盒子中，則不同的放法共有(　　)
A.12種 B.16種
C.18種 D.36種
解析：選C　先將標號為1,2的小球放入盒子，有3種情況；再將剩下的4個球平均放入剩下的2個盒子中，共有·A＝6(種)情況，所以不同的放法共有3×6＝18(種).
5.將A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中順序為“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有__________種.
解析：五個元素沒有限制全排列數(shù)為A，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以這三個元素的全排列A，可得這樣的排列數(shù)有×2＝40(種).
答案：40
6.如圖，∠MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3為頂點的三角形個數(shù)為________.
解析：用間接法.先從這8個點中任取3個點，最多構成三角形C個，再減去三點共線的情形即可.共有C－C－C＝42(個).
答案：42
7.將7個相同的小球放入4個不同的盒子中.
(1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？
(2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？
解：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，則共有C＝20種不同的放入方式.
(2)每種放入方式相當于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有C＝120種不同的放入方式.