1 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．
同位角相等，兩直線平行
2 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．
內(nèi)錯角相等，兩直線平行
3 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．
同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行
條件是什么，結(jié)論是什么？
已知：∠1和∠2是直線a、b被直線c 截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2．
證明：∵∠1=∠2（已知） ∠1＝∠3（對頂角相等） ∴∠2＝∠3（等量代換） ∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）
定理：兩條直線被第三條直線所截，如果 內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。
簡述為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
定理：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁 內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．
已知：∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2 互補。求證：a∥b．
證明：∵∠1與∠2互補（已知） ∴∠1+∠2=180°（互補定義） ∴∠1=180°－∠2（等式的性質(zhì)） ∵∠3+∠2=180°（平角定義） ∴∠3=180°－∠2（等式的性質(zhì)） ∴∠1=∠3（等量代換） ∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）
定理：兩條直線被第三條直線所截， 如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩 條直線平行。
簡述為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
∵ ∠1+ ∠2=180∴ a∥b
∵∠1=∠2 ∴a∥b
1.小明用下面的方法作出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？
2. 你還記得怎樣用移動三角尺的方法畫兩 條平行線嗎？
同位角相等，兩直線平行.
例；如圖BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°那么AB∥CD嗎？為什么？
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=___°∴_____ （ ）
同旁內(nèi)角互補，兩直線平行
解：∵BE 平分∠ABC（已知）
∵EC平分∠BCD（已知）
∴∠____ =2∠2
∵∠E+∠1+∠2=180°
∴∠1+∠2=___°-∠E
∵∠E =90°（已知）
∴∠1+∠2=_ °
練習(xí)．已知：如圖，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求證：AB∥CE
證明： ∵ CE平分∠ACD， ∴∠1=∠2， ∵∠1=∠B， ∴∠ B =∠2， ∴AB∥CE
1.如圖：∠1=53 o，∠2= 127o，∠3= 53o，試說明直線AB與CD，BC與DE的位置關(guān)系.
證明： ∵ ∠2= 127o，∴ ∠4=180o-127o=53o,∵ ∠3= 53o∴∠3=∠4，∴AB∥CD.∵∠1=∠3，∴BC∥DE
2、如圖，下列推理中，正確的是( ) A．∵∠2＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠1＝∠3，∴AD∥BC C．∵∠4＋∠D＝180°，∴AD∥BC D．∵∠4＋∠B＝180°，∴AB∥CD
3．如圖，填寫下列推理中的理由．已知：BE平分∠ABD，∠2＝∠C.求證：BE∥AC.證明：∵BE平分∠ABD( )，∴∠1＝∠2( )，又∵∠2＝∠C( )，∴∠1＝∠C( )．∴BE∥AC( )．
4．如圖，∠C＝∠1，∠2與∠D互余，DE⊥BF，求證：AB∥CD.證明：∵∠C＝∠1，∴EC∥BF，∵DE⊥BF，∴EC⊥DE，∴∠C＋∠D＝90°，又∵∠2＋∠D＝90°，∴∠2＝∠C，∴AB∥CD
4.如圖∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠AFE=60°, ∠BDE=120°,寫出圖中平行的直線,并說明理由
解析　EF∥BC,DE∥AB.理由:∵∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶4,∠1+∠2+∠3=180°,∴∠1=40°,∠2=60°,∠3=80°,又∵∠AFE=60°,∠BDE=120°,∴∠AFE=∠2,∠BDE+∠2=180°,∴DE∥AB,EF∥BC.
5.如圖,點P在CD上,∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,求證:AE∥PF.
證明　因為∠BAP+∠APD=180°,(已知)∠APC+∠APD=180°,(鄰補角的性質(zhì))所以∠BAP=∠APC,(同角的補角相等)又∠1=∠2,(已知)所以∠BAP-∠1=∠APC-∠2,(等式的性質(zhì))即∠EAP=∠APF,所以AE∥PF.(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)
6.(2017江蘇徐州期中)如圖7-3-7,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線.求證:(1)∠1+∠2=90°;(2)BE∥DF.
證明　(1)∵BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線,∴∠1=∠ABE,∠2=∠ADF,∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=180°,∴2(∠1+∠2)=180°,∴∠1+∠2=90°.
(2)在△FCD中,∵∠C=90°,∴∠DFC+∠2=90°,∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠DFC,∴BE∥DF.
7．如圖7-3-13，已知EF⊥AC于點F，DB⊥AC于點M，∠1=∠2，∠3=∠C，求證：AB∥MN．
證明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
8．如圖7-3-14，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，試判斷ED與FB的位置關(guān)系，并說明理由．
解：BF∥DE．理由如下：∵∠3=∠4，，∴∠5=∠BAF．又∵∠5=∠6，∴AB∥CD，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠EHA，
9．四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD和∠BCD的內(nèi)(或外)角平分線分別為AE和CF．∵當(dāng)AE、CF都為內(nèi)角平分線時(如圖7-3-18①)，不難證明AE∥CF．過程如下：∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-(∠B+∠D)，∠B=∠D=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴2(∠2+∠4)=360°-180°=180°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠B=90°，∴∠2+∠5=90°，則∠4=∠5．∴AE∥CF．
(1)當(dāng)AE、CF都為外角平分線時(如圖7-3-18②)，AE與CF的位置關(guān)系怎樣？給出證明．
∵PD∥AE，∴∠6=∠7．又∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠8=∠9，∴PD∥CF，∴AE∥CF．

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3 平行線的判定

版本： 北師大版

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