三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和是180°
已知：如圖，△ABC 求證：∠A+∠B+∠C=180°
證明：延長BC到D,則 ∠1= ∠A (兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ∠2= ∠B (兩直線平行，同位角相等） ∵ ∠1+ ∠2+ ∠ACB=180°（平角的定義） ∴ ∠A+∠B+∠C=180°
過點C作射線CE∥BA,
證明:過C作AB的平行線EF,即EF∥AB,則 ∠ACE=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) ∠BCF= ∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) 又∵∠ACE+∠BCF+∠ACB=1800 (平角的定義) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代換)
證明:過點C作CE∥AB,則
∠ACE=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∠B+∠BCE=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)
即∠B+∠BCA+∠ACE=180°
∴ ∠B+∠BCA+∠A=180° (等量代換)
說明：為了證明三個角的和為180°，把問題轉(zhuǎn)化為互補的兩個角求解;
∠A+∠B+∠C=180°
∠A=180°-∠B-∠C=180°-（∠B+∠C）
∠A+∠B=180°-∠C
三角形的內(nèi)角和是180°可以寫成下列各式
任意一個角等于180°減去另外二個角，或減去另外二個角的和，
任意二個角的和等于180°減去另外一個角
例;如圖，在△ABC中，∠B=38°， ∠C=62°AD是△ABC的角平分線， 求∠ADB的度數(shù)。
解： 在△ABC中， ∠B+ ∠C+ ∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理) ∵ ∠B=38°,∠C=62°（已知） ∴ ∠BAC=180°- 38°-62°= 80°（等式的性質(zhì)） ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ ∠BAD= ∠CAD = （角平分線的定義） ∠B+ ∠BAD+ ∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理) ∵ ∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已證) ∴ ∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°
練習：如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°D,E分 別是AB,AC上的點，且DE∥BC，求∠ADE的度數(shù)。
解： 在△ABC中， ∠B+∠C+∠BAC=180° ∵ ∠A=60°,∠C=70° ∴ ∠B=180°- 60°-70°= 50° ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B= 50°
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－∠A(等式的性質(zhì))
又∵BE、CF分別平分∠ABC 和∠ACB(已知)
∴ ∠BOC=180° －(∠1+∠2)=180° －(90°－ ɑ) =90°＋ ɑ
∵∠A+∠ABC+∠ACB=1800 (三角形的內(nèi)角和定理)
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－ɑ (等量代換)
∴ ∠1= ∠ABC ，∠2= ∠ACB(角平分線的定義)
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×(180°－ɑ )=90°－ ɑ
又∵∠BOC+∠1+∠2=180° (三角形的內(nèi)角和定理)
例：如圖，已知△ABC中，∠A=α ,∠ABC 和∠ACB的平分線BE、CF交于點O.求∠BOC
練習：如圖，已知△ABC中，∠A=50°，∠ABC 和∠ACB的平分線BE、CF交于點O.求∠BOC
∴ ∠BOC=180°－(∠1+∠2)=180°－65°=115°(等式的性質(zhì))
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° (三角形的內(nèi)角和定理)
∴ ∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°(等量代換)
∴ ∠1= ∠ABC ∠2= ∠ACB(角平分線的定義)
∴∠1+∠2= （∠ABC+∠ACB）= ×130°=65°(等式的性質(zhì))
課后作業(yè)習題7.6 1，2.3，4
1.如圖，已知∠B= 35° ,∠C=60°,AD⊥BC,AE平分∠BAC,求∠EAD的度數(shù).
解：在△ABC中，∠BAC= 180°-B-∠C= 85°，
∴∠ADE= 90°
∵AE平分∠BAC,
2.如圖，在△ABC中,AD是BC邊上的高,BE平分∠ABC交AC邊于E,∠DAC= 26° ,∠CBE=22°.求∠BAC的度數(shù).

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5 三角形的內(nèi)角和定理

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