1.了解并掌握三角形的外角的定義．（重點(diǎn)）2.掌握三角形的外角的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,則∠C= .
3.什么是三角形的內(nèi)角？其內(nèi)角和等于多少？
三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內(nèi)角，
它們的和是180 °.
2.如圖，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 則∠ACB= ，∠ACD= .
問題：發(fā)現(xiàn)懶洋洋獨(dú)自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進(jìn)到C處，然后再折回到B處截住懶洋洋返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達(dá)B處？
利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來求∠BCD，你會嗎？
思考：像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質(zhì).這節(jié)課讓我們一起來探討吧.
由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
定義如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一個(gè)外角
問題1 如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個(gè)外角？∠DCE是不是△ABC的一個(gè)外角？
在三角形每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角.
∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一個(gè)外角，∠DCE不是△ABC的一個(gè)外角.
問題2 如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處有多少個(gè)外角？
畫一畫 畫出△ABC的所有外角，共有幾個(gè)呢?
每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角． 每一個(gè)頂點(diǎn)相對應(yīng)的外角都有2個(gè)，且這2個(gè)角為對頂角.
三角形的外角應(yīng)具備的條件：
①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線.
每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．
如圖,∠ BEC是哪個(gè)三角形的外角？∠AEC是哪個(gè)三角形的外角？∠EFD是哪個(gè)三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
問題1 如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？
∠BCD與∠ACB互補(bǔ).
問題2 如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？
證明：過C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（兩直線平行，同位角相等）
∠2= ∠A ， （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.
解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.
性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
練一練：說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求證:AD∥BC.
例題是運(yùn)用了定理“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”得到了證實(shí).
證法一:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和),∠B=∠C (已知),∴∠C= ∠EAC(等式的性質(zhì)).∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠DAC= ∠EAC(角平分線的定義).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).
證法二:推理可得:∠DAC=∠C (已證),∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形內(nèi)角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代換). ∴ AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).
這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到了證實(shí).
例2 如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC.∠B= ∠C. 求證:∠BPC＞∠A.
證明:如圖，延長BP，交AC于點(diǎn)D.∵ ∠BPC是△PDC的一個(gè)外角(外角定義), ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∵ ∠PDC是△ABD的一個(gè)外角 (外角定義),∴ ∠PDC>∠A(三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角).∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性質(zhì)）
1.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定
2.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105°
例3 如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC 的度數(shù).
∵ ∠BEC是△AEC的一個(gè)外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一個(gè)外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
例4 如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．
解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．
解：延長BP交AC于點(diǎn)E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【變式題】 (一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).
思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.
解法一：連接AD并延長于點(diǎn)E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法二：延長BD交AC于點(diǎn)E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法三:連接延長CD交AB于點(diǎn)F（解題過程同解法二）.
例5 如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？
解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法二：如圖，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②，∠ACD +∠3=180 ° ③，又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
解法三：過A作AM平行于BC，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
結(jié)論：三角形的外角和等于360°.
思考 你能總結(jié)出三角形的外角和的數(shù)量關(guān)系嗎？
1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍. （ ）（3）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和. （ ）（4）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（ ）（5）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角. （ ）（6）三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角.（ ）
2.如圖，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ）
A.26°B.63°C.37°D.60°
3.（1）如圖，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,試求∠AEC的度數(shù).
解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °.
解：因?yàn)椤螦DC是△ABD的外角.
4 .如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180o-40o-70o=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因?yàn)椤螧=∠BAD，
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180o,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180o.
5.如圖，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數(shù).
6.如圖，試求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.

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5 三角形的內(nèi)角和定理

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