(1)公理：同位角相等，兩直線平行；
(2)定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
(3)定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
(2)在平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 .
已知：如圖所示，直線AB∥CD，∠1和∠2是直線AB，CD被直線EF截出的同位角.求證：∠1=∠2.
定理1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等
又因?yàn)锳B ∥ CD，這樣經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB和GH都與直線CD平行.
證明：假設(shè)∠1 ≠ ∠2，過點(diǎn)M作直線GH，使∠EMH= ∠2，
根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH ∥ CD.
這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明∠1 ≠ ∠2的假設(shè)不成立，所以∠1 =∠2.
定理2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等
已知，如圖，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯角.求證：∠1=∠2.
證明：∵a∥b（已知）,∴∠3=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∵∠1=∠3（對頂角相等）,∴∠1=∠2（等量代換）.
定理3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
已知，如圖，直線a∥b，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.
證明：∵a∥b（已知），∴∠3=∠2（兩直線平行，同位角相等）?！摺?+∠3=180°（1平角=180°），∴∠1+∠2=180°（等量代換）。
兩條直線被第三條直線所截.
判定與性質(zhì)的條件與結(jié)論正好反過來
例已知: 如圖, b//a, c//a,∠1,∠2，∠3是直線a, b, c被直線d截出的同位角.求證: b//c.
證明: ∵ b//a(已知),
∴∠2=∠l (兩直線平行，同位角相等).
∵c//a (已知),
∴∠3=∠l (兩直線平行，同位角相等).
∴∠2=∠3 (等量代換).
∴ b//c (同位角相等，兩直線平行) .
定理：如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.（三線平行定理）
練習(xí)：1.如圖所示，CD∥OB，EF∥AO，求證∠1=∠O.
證明：∵CD∥OB，∴∠1=∠2，又∵EF∥AO，∴∠2=∠O，∴∠1=∠O.
2.根據(jù)題意填空：如圖，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求證：AB∥CD．證明：∵AD∥BC（已知）∴∠1=_____________________________又∵∠BAD=∠BCD （ 已知 ）∴∠BAD﹣∠1=∠BCD﹣∠2 _______________________即：∠3=∠4∴ ．
（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
解：BF⊥AC．理由：∵∠AGF=∠ABC，∴BC∥GF（同位角相等，兩直線平行），∴∠1=∠3.又∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠3=180°，∴BF∥DE.∵DE⊥AC，
1．如圖，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°，試判斷BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由．
2.如圖,已知∠1=∠2，∠B=∠C,(1)找出圖中相互平行的線，說說它們之間為什么是平行的。(2)證明：∠A=∠D.
解：（1）AE∥FD，AB∥CD（2）證明：∵∠B=∠C ∴AB∥CD ∴ ∠A=∠AEC ∵∠1=∠2,∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴AE∥FD ∴∠AEC=∠D ∴∠A=∠D
3. 如圖已知AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，MP平分∠EMB，NQ平分∠MND.請分別寫出∠AMN與∠MND，∠BMN與∠MND，∠EMP與∠MNQ之間的大小關(guān)系，并說明理由.
解：∠AMN=∠MND，∠BMN+∠MND=180°，∠EMP=∠MNQ.理由如下：因?yàn)锳B∥CD(已知)，所以∠AMN=∠MND（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∠BMN+∠MND=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∠EMB=∠MND(兩直線平行，同位角相等).因?yàn)镸P平分∠EMB，NQ平分∠MND(已知)，所以∠EMP= ∠EMB，∠MNQ= ∠MND(角平分線的定義).所以∠EMP=∠MNQ(等量代換).
4. 如圖7-4-4，已知AB∥CD，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)O，CE平分∠DCG，∠ACE=90°.證明：BD⊥AC.
證明：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠ABC=∠DCG（兩直線平行，同位角相等）.因?yàn)锽D平分∠ABC，CE平分∠DCG（已知），所以∠DBC= ∠ABC，∠ECG= ∠DCG（角平分線的定義）.所以∠DBC=∠ECG（等量代換），所以BD∥CE（同位角相等，兩直線平行），所以∠BOC=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.又因?yàn)椤螦CE=90°（已知），
所以BD⊥AC（垂直的定義）.
所以∠BOC=90°（等量代換），
5. 如圖C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西40°方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB等于多少度？
所以∠ACD=∠CAN，∠BCD=∠CBN′.又因?yàn)镃島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西40°方向，所以∠CAN=50°，∠CBN′=40°.所以∠ACD=50°，∠BCD=40°,所以∠ACB=∠ACD+∠BCD=50°+40°=90°.
解：如圖7-4-6，過點(diǎn)C作南北方向線CD，則CD∥AN，CD∥BN′，
6．如圖，AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，求∠BCD的度數(shù)．解：∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝70°，∵DE∥CF，∴∠DCF＝180°－∠CDE＝50°，∴∠BCD＝∠BCF－∠DCF＝20°
7.如圖，BD⊥AC，EF⊥AC，D，F(xiàn)為垂足，G是AB上一點(diǎn)，且∠1＝∠2，求證：∠AGD＝∠ABC.證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠1＝∠3，又∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴GD∥BC，∴∠AGD＝∠ABC
∠1+∠2=180°，∠3=∠B,試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并說明理由.
解∠AED=∠C.理由:∵∠1十∠DFE=180° (鄰補(bǔ)角定義)，∠1十∠2＝180°（已知)，∴∠2=∠DFE(同角的補(bǔ)角相等)，∴EF // AB(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),∴∠3=∠ADE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).又∵∠ B＝∠3（已知）∴∠ADE=∠B(等量代換)∴DE // BC(同位角相等,兩直線平行),∴∠AED=∠C(兩直線平行，同位角相等)
如圖,∠BAE+∠AED=180°,∠M=∠N,那么∠1與∠2是否相等?為什么?
∵∠BAE+∠AED= 180°，∴AB//CD(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行),∴∠BAE=∠AEC(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).
又∵∠M=∠N(已知),∴AM//NE(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),∴∠MAE=∠NEA(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∴∠BAE- ∠MAE=∠AEC-∠ NEA即∠1=∠2.

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