7.5 三角形的內(nèi)角和定理 （第1課時）北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊 在一個三角形花壇的外圍走一圈，在每一個拐彎的地方都轉(zhuǎn)了一個角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原來位置時（方向與出發(fā)時相同），一共轉(zhuǎn)了多少度？想一想導(dǎo)入新知1.了解并掌握三角形的外角的定義． 2. 能利用三角形內(nèi)角和定理及其兩個推論進行簡單的計算和證明.素養(yǎng)目標(biāo)BDCAO●40 ° 70 ° ？●●●問題 發(fā)現(xiàn)懶羊羊獨自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進到C處，然后再折回到B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達B處？三角形的外角的概念探究新知利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來求∠BCD，你會嗎？思考 像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質(zhì).這節(jié)課讓我們一起來探討吧.BDCAO●40 ° 70 ° ？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.定義 如圖，把△ABC的一邊BC 延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.∠ACD是△ABC的一個外角.CBAD問題1 如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？E在三角形每個頂點處都有兩個外角.∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE； ∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.問題2 如圖，∠ACD與∠BCE有什么關(guān)系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？畫一畫 畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢? 每一個三角形都有6個外角． 每一個頂點相對應(yīng)的外角都有2個，且這2個角為對頂角. 三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點是三角形的頂點；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線. ∠ACD是△ABC的一個外角 每一個三角形都有6個外角．FABCDE如圖,∠BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角;∠AEC是△BEC的外角;∠EFD是△BEF和△DCF的外角.三角形內(nèi)角和定理的推論（一）問題1 如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補.探究新知問題2 如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？D證明：過C作CE平行于AB，ABC∴∠1= ∠B，（兩直線平行，同位角相等）. ∠2= ∠A ，（兩直線平行， 內(nèi)錯角相等）∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.驗證結(jié)論三角形內(nèi)角和定理的推論（一）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.應(yīng)用格式：∵ ∠ACD是△ABC的一個外角∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.知識要點說出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：∠1=40 °, ∠2=140 °∠1=18 °, ∠2=130 °做一做已知:如圖,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C. 求證:AD∥BC.例題是運用了定理“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”得到了證實.分析:要證明AD∥BC,只需要證明“同位角相等”或“內(nèi)錯角相等”或“同旁內(nèi)角互補”.證明:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),∠B=∠C (已知),∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠C(等量代換).∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).你還有其他證明方法嗎？例ACDBE還可以有如下證法：證明:推理可得:∠DAC=∠C (已證),∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形內(nèi)角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代換).∴ AD∥BC(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行).該方法是運用了定理“同旁內(nèi)角互補,兩直線平行”得到了證實.如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數(shù).∵ ∠BEC是△AEC的一個外角，∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.∵∠A=42° ，∠ACE=18°，∴ ∠BEC=60°.∵ ∠BFC是△BEF的一個外角，∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，∴ ∠BFC=88°.解：FACDEB例 如圖，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．E通過作輔助線求角的度數(shù)探究新知解：延長BP交AC于點E，則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A.∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°=120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.如圖，求證：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.證明：延長BO交AC于點D,因為三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C，所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.D 如圖 ，試比較∠2 、∠1的大??；如圖 ，試比較∠3 、∠2、 ∠1的大小.??圖?圖?解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1.三角形內(nèi)角和定理的推論（二）BCEDAACBD探究新知如圖,P是△ABC內(nèi)一點，連接PB，PC.∠B=∠C. 求證:∠BPC＞∠A.證明:如圖，延長BP，交AC于點D.∵ ∠BPC是△PDC的一個外角(外角定義), ABCPD還有其他證明方法嗎？∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∵ ∠PDC是△ABD的一個外角 (外角定義),∴ ∠PDC>∠A(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性質(zhì)）例如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是(　　 )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B如圖，點D在BC的延長線上，DE⊥AB于點E，交AC于點F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（　?。? A．65° B．70° C．75° D．85°B鏈接中考 1.判斷下列命題的對錯.（1）三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和. （ ）（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.（ ）（3）三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角. （ ）（4）三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角.（ ）2.如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠ECD等于（　　）A．40° B．45° C．50° D．55°3.將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（　　）A．45° B．60° C．75° D．85°CC課堂檢測4.如圖，點D在△ABC邊AB的延長線上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，則∠D的度數(shù)是（　 　）A．24° B．59° C．60° D．69° B(1)如圖，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,試求∠AEC的度數(shù).ABCD△ADE△ADC解：∵∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. ∴∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+ ∠E,同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180o.如圖，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數(shù).三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長線性質(zhì)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360 °課堂小結(jié)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊練習(xí)課后作業(yè)

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級上冊電子課本

5 三角形的內(nèi)角和定理

版本： 北師大版

年級： 八年級上冊

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