第5講


講























有理數(shù)的減法及加減混合運(yùn)算





























.




















概 述














【教學(xué)建議】


有理數(shù)的減法及加減混合運(yùn)算是有理數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)，在講解這一部分的時(shí)候，要讓學(xué)生練習(xí)大量的習(xí)題來幫助學(xué)生更好的理解和應(yīng)用這方面的知識(shí).











【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


在這一部分習(xí)題的練習(xí)最為重要，在學(xué)習(xí)過程中要注意結(jié)合小學(xué)加減法知識(shí)，使學(xué)生熟練的應(yīng)用加減法的運(yùn)算定律，為代數(shù)計(jì)算打下牢固的基礎(chǔ).


有理數(shù)減法及加減混合運(yùn)算是我們初中知識(shí)的基石，其中最為重要的是做有理數(shù)減法的時(shí)的運(yùn)算定律及加減法在綜合應(yīng)用題里的靈活使用.





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 有理數(shù)的減法








【教學(xué)建議】


通過上一講有理數(shù)加法的學(xué)習(xí)，在理解有理數(shù)減法的時(shí)候要注意舉一反三、觸類旁通.


1.減法法則其實(shí)是一個(gè)轉(zhuǎn)化法則，轉(zhuǎn)化成了加法法則，然后利用加法法則進(jìn)行計(jì)算，從而體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．由于把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而減法轉(zhuǎn)化為加法．有理數(shù)的加法和減法，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)后就可以統(tǒng)一用加法來解決．


2．不論減數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或是零，都符合有理數(shù)減法法則．在使用法則時(shí)，注意被減數(shù)是永不變











考點(diǎn)2 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算











1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.例：2+3=5，(－2)+(－3)=－5


2.異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0.例：(－6)+6=0


絕對(duì)值不相等時(shí)，和取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.例：(－5)+3=－2，5+(－3)=2.


3.一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).


4.兩個(gè)相反數(shù)的和為0，即：如果a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一成加法運(yùn)算.


5.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)化運(yùn)算.





三 、例題精析








類型一 有理數(shù)減法的意義





例題1








填空：


（1）； （2）


（3）； （4）；


（5）


【解析】（1）；（2） （3）；（4）；（5）


【總結(jié)與反思】此題是基礎(chǔ)的運(yùn)算，只要掌握了基本的運(yùn)算法則，即可解決.





類型二 有理數(shù)的減法法則





例題1








在下列括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù).


（1）（ ）；


（2）；


（3）；


（4）.


【解析】


【總結(jié)與反思】 此題也是較為簡(jiǎn)單的運(yùn)算，只要掌握了基本的運(yùn)算法則，即可解決.





類型三 利用有理數(shù)減法解決生活中的問題





例題1








某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)2100輛電動(dòng)車，平均每天生產(chǎn)電動(dòng)車300輛，由于各種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃每天生產(chǎn)量相比有出入。下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)，單位：輛）：


（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知，該廠星期一生產(chǎn)電動(dòng)車 輛


（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)電動(dòng)車 輛


（3）該廠實(shí)行記件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超額部分每輛車另獎(jiǎng)10元，每少生產(chǎn)一輛扣10元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？


【解析】（1）308；（2）23；（3） 126840元


【總結(jié)與反思】根據(jù)300這個(gè)基數(shù)，加減運(yùn)算，即可解答本題.








例題1





例題1


類型四 有理數(shù)減法與絕對(duì)值等知識(shí)的綜合應(yīng)用








已知有理數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示.


判斷下列各式的符號(hào)：；





若，試比較之間的大小關(guān)系.


【解析】（1）負(fù)、負(fù)、正；（2）相等.


【總結(jié)與反思】 根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，結(jié)合有理數(shù)的加減法即可解答本題.


類型五 解決數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問題





例題1








數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；


數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；


數(shù)軸上表示-2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ；


數(shù)軸上表示和2的兩點(diǎn)M、N之間的距離是 ；


如果M、N之間的距離為3，那么 .


【解析】（1）3；3；7；（2）；5或-1.


【總結(jié)與反思】 數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間的距離問題，一般采用大數(shù)減小數(shù)的原則.





類型六 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算





例題1








（1）





（2）（+16）+（-25）+（+24）+（-32）





（3）





（4）





【解析】（1）解：原式=-7+15+25=33；


（2）原式=（+16）+（-25）+（+24）+（-32）=-17；


（3）原式==-3-4-8+9=-15+9=-6；


（4）原式==20.


【總結(jié)與反思】 有理數(shù)的加減混合運(yùn)算對(duì)細(xì)心程度要求比較高，在做題時(shí)要認(rèn)真計(jì)算.











類型七 利用有理數(shù)加減運(yùn)算解決實(shí)際問題





例題1








七年級(jí)（1）班的班委會(huì)把班費(fèi)存入銀行，使用時(shí)再到銀行去取，這學(xué)期管理情況如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，這學(xué)期班費(fèi)還剩多少錢？


【解析】125-97+50-38-12.5+100-78-21=51.5（元）


【總結(jié)與反思】 本題要明確存入為正，取出為負(fù)即可解出正確答案.





例題1


類型八 有理數(shù)的加減與數(shù)軸、絕對(duì)值的綜合








結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：


(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是 ；表示－3和2兩點(diǎn)之間的距離是 ；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于．如果表示數(shù)a和－2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么a= ；





(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于－4與2之間,求+的值；


(3)當(dāng)a取何值時(shí)，++的值最小，最小值是多少？請(qǐng)說明理由。


【解析】表示數(shù)和數(shù)間的距離,所以數(shù)和數(shù)間的距離,數(shù)和數(shù)間的距離,數(shù)和數(shù)間的距離為,,或.


表示數(shù)軸上數(shù)和數(shù)之間距離的和,又因?yàn)槲挥谥g, 等于之間的距離和,即.


同理 表示數(shù)軸上數(shù)和數(shù)之間距離的和, 時(shí)距離的和最小.


【總結(jié)與反思】此題對(duì)綜合能力要求比較高，在此類題型時(shí)，要注意細(xì)心計(jì)算和靈活運(yùn)用.





例題1


類型九 利用有理數(shù)加減混合運(yùn)算探求規(guī)律








請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：


因?yàn)椋?br/>

所以：





計(jì)算：





【解析】


（1）分子為1，分母是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，第n項(xiàng)為=，依此抵消即可求解；


（2）分子為1，分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，第n項(xiàng)為，依此抵消即可求解（注意計(jì)算時(shí)各項(xiàng)都要乘以）．


試題解析：解：原式=


=


=


【總結(jié)與反思】規(guī)律類的題型要注意觀察總結(jié)，找到適合題目的規(guī)律，進(jìn)而求解.




















四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1.一個(gè)數(shù)加上等于，則這個(gè)數(shù)是（ ）


A． B． C． D．


2.下列說法中，正確的是（ ）


A.減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè) 數(shù)的相反數(shù)；


B.兩個(gè)負(fù)數(shù)的差，一定是負(fù)數(shù)；


C.0減去一個(gè)負(fù)數(shù)，仍得這個(gè)數(shù)；


D.兩個(gè)正數(shù)的差，一定是一個(gè)正數(shù).


3.與-3的差為0的數(shù)是（ ）


A.3 B.-3 C. D.


4.與結(jié)果相等的式子是（ ）


A. B. C. D.


5.a,b,c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）





A.a+b＜0 B.a+c＜0 C.a－b＞0 D.b－c＜0


6.已知，b=1，則a-b=_________．


7.（1） （2） （3）


（4） （5） （6）


8.小蟲從某點(diǎn)O出發(fā)在一直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬過的路程依次為（單位：cm）：


+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．


問：（1）小蟲是否回到原點(diǎn)O？


（2）在爬行過程中，如果每爬行1 cm獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻，則小蟲共可得到多少粒芝麻？





答案與解析


1.【答案】B


【解析】-5-（-12）=7.


2.【答案】A


【解析】B 例如-1-（-2）=1 ； C 0減去一個(gè)負(fù)數(shù)，得正數(shù)；D例如1-2= -1.


3.【答案】B


【解析】-3-（-3）=0.


4.【答案】C


【解析】負(fù)負(fù)為正.


5.【答案】C


【解析】根據(jù)數(shù)軸上的位置很容易得到結(jié)果.


6.【答案】4或–6


【解析】a=±5；5-1=4；-5-1=-6.


【答案】（1）2；（2）-53；（3）；（4）4；（5）-9；（6）-27.


【解析】計(jì)算較為簡(jiǎn)單.


8.【答案】（1）回到原點(diǎn)；（2）54．


【解析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；5﹣3+10﹣8﹣6+12﹣10=0．


答：小蟲回到原點(diǎn)；


（2）根據(jù)有理數(shù)的加法，可得每次距出發(fā)點(diǎn)的距離，求出總距離，再乘以1即可．


|+5|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|=54，54×1=54（粒）．


答：小蟲共可以得到54粒芝麻．





鞏固








1.兩個(gè)有理數(shù)的差（ ）


A．小于被減數(shù) B．大于被減數(shù) C．等于被減數(shù) D．上述情況都有可能


2.下列說法正確的是（ ）


A．異號(hào)兩數(shù)相加，取較大的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加


B．同號(hào)兩數(shù)相減，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相減


C．符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)相加得0


D．0加上一個(gè)數(shù)仍得這個(gè)數(shù)


3.a為有理數(shù)，定義運(yùn)算符號(hào)“※”：當(dāng)a＞－2時(shí)，※a＝－a；當(dāng)a＜－2時(shí)，※a＝a；當(dāng)a＝－2時(shí)，※a＝0．根據(jù)這種運(yùn)算，則※[4＋※（2－5）]的值為（ ）


A．1 B．－1 C．7 D．－7


4.甲、乙、丙三地的海拔高度分別為20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）


A．5m B．10m C．25m D．35m


5.某超市出售的三種品牌月餅袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（500±5）g，（500±10）g，（500±20）g的字樣，從中任意拿出兩袋，它們的質(zhì)量最多相差 g．


6.若，且，求的值.


7.計(jì)算下列各題：


（1） （2）


（3）


8.計(jì)算：


（1）； （2）


（3）； （4）；


（5）； （6）





答案與解析


1.【答案】D


【解析】?jī)蓚€(gè)有理數(shù)的差可能大于等于或小于被減數(shù).


2.【答案】D


【解析】A 取絕對(duì)值較大的數(shù)的號(hào)，絕對(duì)值相減；B 同號(hào)時(shí)要看被減數(shù)還是減數(shù)的絕對(duì)值更大一些.C 符號(hào)相反且絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)相加為0.


3.【答案】B


【解析】※（2－5）=※（-3）= -3；※（4-3）=※1= -1.


4.【答案】D


【解析】20-(-15)=35.


5.【答案】40克


【解析】20-(-20)=40.


6.【答案】.


【解析】絕對(duì)值為本身的相反數(shù)，所以m+n為負(fù)數(shù)。m=-37時(shí)，n=±31，m-n=-6或-68.


7.【答案】（1）6；（2）；（3）.


【解析】計(jì)算依據(jù)有理數(shù)加減法法則，較為基礎(chǔ).


8.【答案】（1）1.6；（2）-30；（3）86；（4）-6；（5）7；（6）-16.


【解析】計(jì)算依據(jù)有理數(shù)加減法法則，較為基礎(chǔ).





拔高








1.已知a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列幾個(gè)判斷正確的個(gè)數(shù)有（ ）





①a＜c＜b ②-a＜b ③a+b＞0 ④c-a＜0 ⑤a+c＞0


⑥


A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)


2.設(shè)[x）表示大于x的最小整數(shù)，如[3）=4，[－1.2）=－1，則下列結(jié)論中正確的是．（ ）


A．[0）=0


B、[x）－x的最小值是0


C．[x）－x的最大值是0


D．存在實(shí)數(shù)x，使[x）－x=0.5成立．


3.我們知道，|a|表示數(shù)a到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義，進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B分別用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此結(jié)論，回答以下問題：


（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是______，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是______；


（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A．B之間的距離是______，如果|AB|=2，那么x的值為______；


（3）說出|x+1|+|x+2|表示的幾何意義______，該式的最小值是：______


4.出租車司機(jī)小王某天下午營運(yùn)全是在東西走向的太湖大道上進(jìn)行的．如果向東記作“＋”，向西記作“－”．他這天下午行車情況如下：（單位：千米）


－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，－5，＋6


請(qǐng)回答：


（1）小王將最后一名乘客送到目的地時(shí)，小王在下午出車的出發(fā)地的什么方向？距下午出車的出發(fā)地多遠(yuǎn)？


（2）若規(guī)定每趟車的起步價(jià)是10元，且每趟車3千米以內(nèi)（含3千米）只收起步價(jià)；若超過3千米，除收起步價(jià)外，超過的每千米還需收2元錢．那么小王這天下午共收到多少錢？





答案與解析


1.【答案】B


【解析】②-a>b ③ a+b0 ⑤ a+cy，則2x－y的值為（ ）


A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10


4.數(shù)、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)= 。





5.某檢修小組乘汽車檢修公路道路。向東記為正，向西記為負(fù)。某天自A地出發(fā)。所走路程（單位：千米）為：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；


問：①，最后他們是否回到出發(fā)點(diǎn)？若沒有，則在A地的什么地方？距離A地多遠(yuǎn)？


②，若每千米耗油0.05升，則今天共耗油多少升？





6.某服裝公司一周計(jì)劃生產(chǎn)1000套服裝，平均每天生產(chǎn)200套．由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)的服裝數(shù)量與比計(jì)劃數(shù)量有多有少，下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)，單位：套）：





（1）根據(jù)記錄可知前3天共生產(chǎn) 套．


（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn) 套．


（3）公司規(guī)定每生產(chǎn)一套服裝付工資80元，超額完成任務(wù)每套獎(jiǎng)20元，少生產(chǎn)一套扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少?





答案與解析


1.【答案】A


【解析】a

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2.5 有理數(shù)的減法

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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