第8講


講























有理數(shù)的混合運(yùn)算














.
































概 述














【教學(xué)建議】


有理數(shù)的混合運(yùn)算貫穿我們初中數(shù)學(xué)的大部分知識(shí)點(diǎn)，是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在講解這一部分的時(shí)候，要讓學(xué)生練習(xí)大量的習(xí)題來幫助學(xué)生更好的理解和應(yīng)用這方面的知識(shí).


【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


在這一部分習(xí)題的練習(xí)最為重要，在學(xué)習(xí)過程中要注意結(jié)合聯(lián)系大量習(xí)題，使學(xué)生熟練地計(jì)算各種綜合算式，為初中數(shù)學(xué)打下牢固的基礎(chǔ).


有理數(shù)混合運(yùn)算是我們初中數(shù)學(xué)的基石，在做題時(shí)一定要注意運(yùn)算定律在綜合運(yùn)算題里的靈活使用.





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 有理數(shù)混合運(yùn)算順序








先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.





三 、例題精析








類型一 有理數(shù)的混合運(yùn)算順序





例題1








計(jì)算下列各題：


（1）（+45）+（－92）+5+（－8）


（2）÷


+︱6－10︱－


（4）


【解析】（1）-50；（2）-12；


（3）-15；（4）-3.


【總結(jié)與反思】此題是基礎(chǔ)的運(yùn)算，只要掌握了基本的混合運(yùn)算法則，即可解決.








類型二 有理數(shù)混合運(yùn)算的常用技巧





例題1








計(jì)算：


（1）； （2）


【解析】（1）﹣9；（2）7.


【總結(jié)與反思】 此題可以簡便運(yùn)算，在計(jì)算時(shí)要注意用運(yùn)算律先計(jì)算可以簡便運(yùn)算的





類型三 利用有理數(shù)的混合運(yùn)算解決實(shí)際問題





例題1








某巡警車在一條南北大道上巡邏，某天巡警車從崗?fù)處出發(fā)，規(guī)定向北方向?yàn)檎?dāng)天行駛記錄如下（單位：千米）





（1）最終巡警車是否回到崗?fù)處？若沒有，在崗?fù)ず畏剑嚯x崗?fù)ざ噙h(yuǎn)？


（2）巡警車行駛1千米耗油0.2升，夠不夠？若不夠，途中還需補(bǔ)充多少升油？


【解析】（1），


所以，沒有回到崗?fù)處，在崗?fù)つ?千米處.


（2）共行駛路程：（千米），


需要油量為：（升），


則還需要補(bǔ)充的油量為：（升）.


答：沒有回到崗?fù)處，在崗?fù)つ?千米處；需要補(bǔ)充1.6升.


【總結(jié)與反思】根據(jù)正負(fù)數(shù)在此題中的具體含義，即可解答此題..


























例題1





例題1


類型四 利用混合運(yùn)算玩“二十四點(diǎn)”游戲








現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)3，4，-6，10，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等于24， （只需寫出一個(gè)算式）．


【解析】3×（4-6+10）．


【總結(jié)與反思】此類題型在與仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，熟練運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算.





類型五 利用混合運(yùn)算解決圖表信息題





例題1








YES


NO


＜-5


×4


輸入


-（-1）


輸出





如圖所示是計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入，則最后輸出的結(jié)果是 ．


【解析】①-1×4-（-1）=-3＞-5；


②-3×4-（-1）=-11＜-5


所以輸出結(jié)果為-11


【總結(jié)與反思】 充分理解圖表信息，根據(jù)圖表中的限制條件來解題.








四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1.計(jì)算：


（1）2＋（－3）－（－5）


（2）


（3）；


2.計(jì)算題：


（1）


（2）


（3）


（4）








3.股民小楊上星期五買進(jìn)某公司股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況（單位：元）：





（1）星期三收盤時(shí)，該股票漲或跌了多少元？


（2）本周內(nèi)該股票的最高價(jià)是每股多少元？最底價(jià)是每股多少元？


（3）已知小楊買進(jìn)股票時(shí)付了15‰的手續(xù)費(fèi)，賣出時(shí)還需要付成交額的15‰的手續(xù)費(fèi)和1‰的交易稅如果小楊在星期五收盤前將全部股票賣出，則他的收益情況如何?





答案與解析


1. 【答案】（1）4；（2）1；（3）-2．


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


2. 【答案】(1)-20； （2）-2； （3）-45； （4）； （5）23 ； （6）22．


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


3.【答案】（1）星期三收盤時(shí)，該股票漲了282元


（2）本周內(nèi)該股票的最高價(jià)是每股3062元；最低價(jià)是每股2730元


（3）小楊在星期五收盤前將全部股票賣出，則他將賺1488元


【解析】（1）22+142-08=282元


答：星期三收盤時(shí)，該股票漲了282元


（2）27+22+142=3062元


27+22+142-08-252=2730元


答：本周內(nèi)該股票的最高價(jià)是每股3062元；最低價(jià)是每股2730元


（3）27+22+142-08-252+13=286元，


286×1000×（1-15‰-1‰）-27×1000×（1+15‰）=285285-270405=1488元


答：小楊在星期五收盤前將全部股票賣出，則他將賺1488元.








鞏固








1.計(jì)算：


（1）；


（2）（—1）×（—）÷（—2）


（3） ；


（4）


（5） （－96）×（－0．125）＋96×＋（－96）×．


（6）


2.按照如圖所示的操作步驟，若輸入的值為3，則輸出的值為 ．








3.某自行車廠計(jì)劃一周生產(chǎn)自行車1400輛，平均每天生產(chǎn)200輛，但由于種種原因，實(shí)際每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入。下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）:


(1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期五生產(chǎn)自行車_____________輛；


(2）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實(shí)際生產(chǎn)自行車_____________輛；


(3）該廠實(shí)行每日計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得60元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每輛另獎(jiǎng)15元；少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？





答案與解析


1. 【答案】（1）-29；（2）-；（3）-8；（4）-4；（5）-72；（6）．


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


2.【答案】55．


【解析】由圖可知，輸入的值為3時(shí)，（32+2）×5=（9+2）×5=55．


故答案為：55．


3.【答案】;;元.


【解析】表格中的數(shù)據(jù)是實(shí)際每天生產(chǎn)量與的出入情況.所以,星期一、二、三、四、五、六、日產(chǎn)量分別為.





；


元.








拔高








1.計(jì)算：


（1）


（2）


2.小紅家粉刷房間，雇用了5個(gè)工人，干了10天完成，用了某種涂料150升，購買涂料費(fèi)用為4800 元，粉刷面積是150 m2，最后計(jì)算時(shí)，有以下幾種方案：


方案一：按工計(jì)算，每個(gè)工30元（1個(gè)人干一天是1個(gè)工）；


方案二：按涂料費(fèi)用算，涂料費(fèi)用的30％作為工錢；


方案三：按粉刷面積算，每平方米付工錢12元：


請(qǐng)你幫小紅家出主意，選擇最合算的付錢方案，是 元．


3.現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)2、3、7、9，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算使其結(jié)果等于24，請(qǐng)你寫出3個(gè)符合條件的算式：① ；


② ；③ .


4.若、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，到原點(diǎn)的距離為2，則代數(shù)式|m|－cd+的值為 ．





答案與解析


1.【答案】（1）10；（2）-1


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


2.【答案】1440.


【解析】第一種方案的工資=30×10×5=1500（元）；


第二種方案的工資=4800×30%=1440（元）；


第三種方案的工資=150×12=1800（元）．


所以選擇第二種方案最合算，付費(fèi)1440元.


3.【答案】①；②；③.


【解析】根據(jù)題中條件即可列出符合的算式.


4.【答案】1


【解析】由、互為相反數(shù)知a+b=0,；由、互為倒數(shù)知cd=1；由到原點(diǎn)的距離為2知|m|=2，因此|m|－cd+=2-1+0=1.














五 、課堂小結(jié)











本節(jié)的重要內(nèi)容：


有理數(shù)的混合運(yùn)算，在計(jì)算的過程中要遵循：先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.計(jì)算過程需要細(xì)心計(jì)算并耐心驗(yàn)算.








六 、課后作業(yè)











基礎(chǔ)








1.計(jì)算下列各題：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）；


（5）；


（6）；


2.計(jì)算：


（1）；


（2）.


（3）；


（4）.


3.出租車司機(jī)小李某天下午的營運(yùn)全是在東西走向的城中路上進(jìn)行的，如果規(guī)定向東行駛為正，他這天下午行車的里程（單位：千米）如下：


+8， -7， +10， -6， +3， -5， +9， -6


（1）小李下午出發(fā)地記為0，他將最后一名乘客送抵目的地時(shí)，小李在出發(fā)地的什么方向？距下午出發(fā)地有多遠(yuǎn)？


（2）如果汽車耗油量為0．5升/千米，油箱容量為26升，若出發(fā)時(shí)油箱裝滿汽油,請(qǐng)你判斷途中是否需要補(bǔ)充汽油？


4.某班抽查了10名同學(xué)的期末成績，以80分為基準(zhǔn)，超出的記為正數(shù)，不足的記為負(fù)數(shù)，記錄結(jié)果如下：＋8，－3，＋12，－7，－10，－3，－8，＋1，0，＋10．


(1) 這10名同學(xué)中最高分是多少?最低分是多少 ?


(2) 這10名同學(xué)的平均成績是多少 ?





答案與解析


1.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


2.【答案】（1）1；（2）0 ；（3）31；（4）23.


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


3.【答案】見解析


【解析】如果規(guī)定向東行駛為正，那么向西行駛就為負(fù)，根據(jù)司機(jī)全天的行程，可把全部行車?yán)锍滔嗉?，看結(jié)果是正還是負(fù)，正就是在東邊，負(fù)就是在西邊，距出發(fā)地的距離就是結(jié)果的絕對(duì)值；如果計(jì)算耗油量，就得計(jì)算司機(jī)全天走的路程，也就是這些數(shù)的絕對(duì)值的和，再計(jì)算出總耗油量．


試題解析：（1）由題意得，向東方向?yàn)檎瑒t：


（+8）+（-7）+（+10）+（-6）+（+3）+（-5）+（+9）+（-6）


=8-7+10-6+3-5+9-6


=6千米


答：小李在出發(fā)地東面6千米處．


由題意，總耗油量為：





因?yàn)?7＞26，所以途中需要補(bǔ)充汽油．


4.【答案】（1）70 （2）80


【解析】（1）最高分為：80+12=92（分）；


最低分為：80-10=70（分）


（2）（分）





鞏固











1.計(jì)算


（1）；


（2）；





（3）；





2.如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)，輸出的結(jié)果應(yīng)為6，那么a的值為_______。





3.某服裝店老板以60元的單價(jià)購進(jìn)20件流行款的女服裝，老板交代銷售小姐以80元為標(biāo)準(zhǔn)價(jià)出售．針對(duì)不同的顧客，銷售小姐對(duì)20件服裝的售價(jià)不完全相同，她把超過80元的記為正數(shù)，其銷售結(jié)果如下表所示：





該服裝店在售完這20件服裝后，請(qǐng)你通過計(jì)算說明該服裝店老板是賺錢還是虧本？如果賺錢，那么賺了多少錢？如果虧本，那么虧了多少錢？


4.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值是3，求的值．











答案與解析


1.【答案】（1）；（2）；（3）.


【解析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.


2.【答案】±4


【解析】根據(jù)題意，按照?qǐng)D中的步驟，列出方程6÷+4=a2求解a=±4.


3.【答案】該老板賺錢了，賺了422元．


【解析】銷售額：80×20+8×5+2×3+5×0﹣2×3﹣2×5﹣1×8=1600+40+6﹣6﹣10﹣8=1622，


總成本：60×20=1200，


利潤：1622﹣1200=422＞0，


∴該服裝店老板賺錢了賺了422元．


4.【答案】13或7．


【解析：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，


∴a+b=0，cd=1，


又x的絕對(duì)值是3


∴x=±3．


當(dāng)x=3時(shí)





=9-（0+1）×3+02014+（-1）2014


=9-3+1


=7；


當(dāng)x=-3時(shí)，


=9-（0+1）×（-3）+02014+（-1）2014


=9+3+1


=13．








拔高








1.定義新運(yùn)算“*”為： ，則當(dāng)時(shí)，計(jì)算的結(jié)果為 ．


2.（1）比較下列各式的大?。海ㄓ茫?、＜或=連接）














（2）通過（1）的比較，請(qǐng)你分析，歸納當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，的大小關(guān)系；


（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍.


3.十一國慶期間，俄羅斯特技飛行隊(duì)在黃山湖公園特技表演，其中一架飛機(jī)起飛后的高度變化如左下表：


（1）此時(shí)這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了多少千米？


（2）如果飛機(jī)每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么這架飛機(jī)在這4個(gè)動(dòng)作表演過程中，一共消耗了多少升燃油？


（3）如果飛機(jī)做特技表演時(shí)，有4個(gè)規(guī)定動(dòng)作，起飛后高度變化如下：上升3．8千米，下降2．9千米，再上升1．6千米。若要使飛機(jī)最終比起飛點(diǎn)高出1千米，問第4個(gè)動(dòng)作是上升還是下降，上升或下降多少千米？


4.有一種“24點(diǎn)”游戲，其游戲規(guī)則是這樣的：任取四個(gè)1至13之間的自然數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)用且只用一次）進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算，使其結(jié)果等于24.例如對(duì)1,2,3,4可作運(yùn)算（1+2+3）×4.[注意上述運(yùn)算與4×（1+2+3）應(yīng)視作相同方法的運(yùn)算]


（1）現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)2,4，-6,10，請(qǐng)你運(yùn)用上述規(guī)則寫出三種不同的運(yùn)算式；


（2）另有四個(gè)數(shù)3,-5,9，-12，試寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24.


（3）請(qǐng)用3,2,7，-1，寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24.


（4）請(qǐng)用3,4，-6,10，寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24.


（5）請(qǐng)用3，-5,7，-13，寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24.


（6）請(qǐng)用2,-3，4，-6，寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24；


（7）請(qǐng)用2,3，-4，-9，寫出一個(gè)算式使其結(jié)果等于24；





答案與解析


1.【答案】8


【解析】=3×3-（4-3）=8.


2.【答案】見解析


【解析】（1）＞、＞、＝、＝；


（2））當(dāng)異號(hào)時(shí)，；當(dāng)同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)，.


（3）


3.【答案】（1）0．8㎞，（2）20．4升（3）1．5千米


【解析】（1）（km）


答：這架飛機(jī)比起飛點(diǎn)高了0．8千米


（2）（升），


答：4個(gè)動(dòng)作表演完，一共消耗20．4升燃油


（3）（千米）


答：第4個(gè)動(dòng)作下降1．5千米


4.【答案】見解析


【解析】（1）（2+4-10）×（-6）=24；（-6+2）×（4-10）=24；（-6+10）×（2+4）=24；


（2）根據(jù)題意得：（-5-3）×（-12+9）=24.


（3）3×7+2-（-1）=24；


（4）（-6+4+10）×3=24


（5）[7+（-5）×（-13）]÷3=24；


（6）[2+（-3）]×4×（-6）=24；2×4×[-3-（-6）]=24.


（7）[3-（-9）]×[-（-4）÷2]=24；（-4）×（-9）÷3×2=24.





七 、教學(xué)反思








適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初一
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1、有理數(shù)混合運(yùn)算順序.


2、有理數(shù)混合運(yùn)算的常用技巧.


3、利用有理數(shù)的混合運(yùn)算解決實(shí)際問題.


4、利用混合運(yùn)算玩“二十四點(diǎn)”游戲.


5、有理數(shù)混合運(yùn)算與絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的綜合應(yīng)用.


6、利用混合運(yùn)算解決圖表信息題.
教學(xué)目標(biāo)
1、熟練并準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.


2、在運(yùn)算過程中合理地適用運(yùn)算律簡化運(yùn)算.
教學(xué)重點(diǎn)
熟練并準(zhǔn)確地進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.
教學(xué)難點(diǎn)
能解決有理數(shù)混合運(yùn)算與絕對(duì)值、相反數(shù)、倒數(shù)的綜合應(yīng)用.
星期
一
二
三
四
五
每股漲跌
+220
+142
-080
-252
+130
星期
一
二
三
四
五
六
日
增減產(chǎn)值
+5
－2
－4
＋13
－10
＋16
－9
高度變化
記作
上升4．4 km
4．4km
下降3．2 km
km
上升1．1 km
km
下降1．5 km
﹣1．5km

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初中數(shù)學(xué)第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)綜合與測試教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

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初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)上冊電子課本 舊教材

2.11 有理數(shù)的混合運(yùn)算

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊

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