第6講


講























有理數(shù)的乘除法





























.




















概 述

















【教學建議】


有理數(shù)的乘除法是有理數(shù)計算中的重點內容，在講解這一部分的時候，要讓學生練習大量的習題來幫助學生更好的理解和應用這方面的知識.





【知識導圖】











教學過程








一、導入








【教學建議】


在這一部分習題的練習最為重要，在學習過程中要注意結合小學乘除法知識，使學生熟練的應用加減法的運算定律，為代數(shù)計算打下牢固的基礎.


有理數(shù)乘除法及上幾講的加減法是我們初中計算的基石，其中最為重要的是加減乘除的運算定律及綜合應用題里的靈活使用.





二、知識講解








考點1 有理數(shù)乘法運算律








乘法交換律：.


乘法結合律：.


乘法分配律：


乘法分配律逆運算：


考點2 有理數(shù)的除法法則














1、兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.


0除以任何非0的數(shù)都得0.（0不能做除數(shù)）


2、除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù).





三 、例題精析








類型一 有理數(shù)的乘法法則





例題1








計算下列各題：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）.


【解析】（1）-15；（2）48；（3）；（4）0.


【總結與反思】負負為正，任何數(shù)與0相乘都為0.





類型二 倒數(shù)





例題1








的倒數(shù)是( )


A．3 B． C．-3 D．


【解析】C


【總結與反思】 一個數(shù)與它的倒數(shù)相乘得-1.





類型三 有理數(shù)乘法法則的推廣





例題1








下列各式的乘積符號為正的是（ ）


A、；


B、；


C、；


D、.


【解析】D


【總結與反思】奇數(shù)個負數(shù)相乘為負數(shù)，偶數(shù)個負數(shù)相乘為正數(shù).








例題1





例題1


類型四 有理數(shù)乘法的運算律








這是為了運算簡便而使用（ ）


A.乘法交換律 B.乘法結合律


C.乘法分配律 D.乘法結合律和交換律


【解析】D


【總結與反思】 小學階段學習的乘法交換律、結合律、分配律在有理數(shù)的乘法中依然適用.


類型五 有理數(shù)乘法的實際應用





例題1








某食品加工廠的冷庫能使冷藏的食品每小時降溫5℃，如果剛進庫的牛肉溫度是10℃，進庫8小時后溫度可達 ℃．


【解析】-30


根據題意可知：進庫8小時后溫度為10﹣5×8=10﹣40=﹣30，故答案為：﹣30．


【總結與反思】 在應用題中，正負表示的是特定的含義.





類型六 有理數(shù)除法法則





例題1








計算下列各題：


（1）； （2）； （3）


【解析】（1）6；（2）-3；（3）0.


【總結與反思】 有理數(shù)的除法依然遵循乘法中的負負為正的計算規(guī)律，先定符號，再定商的絕對值.





例題2








計算下面各題


（1）；（2）；（3）；


【解析】（1）48；（2）-1.44；（3）.


【總結與反思】有理數(shù)的除法中，除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).





類型七 有理數(shù)的乘除混合運算





例題1








（1）； （2）；


（3）； （4）；


【解析】（1）180；（2）；（3）256；（4）-1；


【總結與反思】 遵循負負為正，除以一個數(shù)等于等于這個數(shù)的倒數(shù)的計算法則即可.





例題1


類型八 有理數(shù)的加、減、乘、除混合運算








下列計算正確的是（ ）


A、；


B、；


C、；


D、.


【解析】C


A 正確值為 B 正確值為，只有一級運算的時候，要遵循從左往右計算的規(guī)則


D 正確值為


【總結與反思】此題對綜合能力要求比較高，在此類題型時，要注意細心計算和靈活運用.





四 、課堂運用








基礎








1.下列四個運算中，結果最小的是（ ）


A．-1+（-2） B．1-（-2）


C．1×（-2） D．1÷（-2）


2.下列說法中正確的有（ ）


①同號兩數(shù)相乘，符號不變；


②異號兩數(shù)相乘，積取負號；


③互為相反數(shù)的數(shù)相乘，積一定為負；


④兩個有理數(shù)的積的絕對值，等于這兩個有理數(shù)的絕對值的積．


A.1個 B.2個 C.3個 D.4個


3.﹣3的倒數(shù)是（ ）


A． 3 B.﹣3 C． D．-


4.如果一個數(shù)等于它的倒數(shù)，那么這個數(shù)一定是（ ）


A.0 B.1 C.-1 D.1或-1


5.有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式成立的是（ ）





A. B. C. D.


6.計算：


（1）； （2）； （3）


7.若，則


若，則


若，則


若，則


8.某自行車廠一周計劃生產2100輛電動車，平均每天生產電動車300輛，由于各種原因，實際每天生產量與計劃每天生產量相比有出入。下表是某周的生產情況（超產記為正、減產記為負，單位：輛）：





（1）根據記錄的數(shù)據可知，該廠星期一生產電動車 輛


（2）產量最多的一天比產量最少的一天多生產電動車 輛


（3）該廠實行記件工資制，每生產一輛車可得60元，若超額完成任務，則超額部分每輛車另獎10元，每少生產一輛扣10元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？








答案與解析


1.【答案】A


【解析】A的值為-3，最小.


2.【答案】B


【解析】①負負為正；③0和0互為相反數(shù)，但積不為負.


3.【答案】D


【解析】﹣3的倒數(shù)是-


4.【答案】D


【解析】-1和1的倒數(shù)等于它本身.


5.【答案】C


【解析】-2＜a＜-1,0＜a＜1.


6.【答案】（1）-84；（2）21；（3）


【解析】計算較為簡單.


7.【答案】＞，＞；＞，＞；＜，＜；=，=.


【解析】依據除0之外，同號為正，異號為負的規(guī)律即可.


8.【答案】（1）308；（2）23；（3） 126840元


【解析】（1）有題意可知星期一生產電動車數(shù)量比300多8，列式計算即可．


（2） 產量最多的一天比300多11輛，產量最少的一天比300少12輛，所以計算11-（-12）即可．


（3）該廠工人這一周的工資總額=這周的產量60加上獎勵的或減去扣得．所以先計算出這周的產量，看是超額還是沒有完成，再帶人計算即可．


試題解析：（1）300+8=308（輛）； （2）11-（-12）=23（輛）


（3）8-2-6+11-12+6+7=12，所以超額完成計劃；211260+1012=126840元


答：該廠工人這一周的工資總額是126840元．




















鞏固








1.下列說法正確的是（ ）


A.一個數(shù)的絕對值大于它的倒數(shù)；


B.一定是負數(shù)；


C.任何正數(shù)一定大于它的倒數(shù)；


D.零與任何有理數(shù)相乘，其積一定為零.


2.下列說法正確的是（ ）


①a的倒數(shù)為；②0的倒數(shù)是0；③若，則與互為倒數(shù)；


A.①② B.②③ C.①③ D.③


3.a、b、c的符號符合下面哪種情況時，這三個數(shù)的乘積必為正數(shù)（ ）


A .a、b、c同號 B.b為負，a與c同號


C.a為負，b與c異號 D.c為正，a與b異號


4.如果四個有理數(shù)的積是負數(shù)，那么其中負因數(shù)有多少個？（ ）


A．3 B．1 C．0或2 D．1或3


5.根據有理數(shù)的運算律，下列等式正確的是（ ）


A.； B.；


C.； D..


6.計算下列各題：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）；








答案與解析


1.【答案】D


【解析】A 0和正數(shù)的絕對值等于它本身 B a可以是正數(shù)、負數(shù)和0


C 小于1的正數(shù)大于它的倒數(shù)


2.【答案】D


【解析】0不能為分母，且沒有倒數(shù)


3.【答案】C


【解析】除0之外，同號為正，異號為負


4.【答案】D


【解析】在沒有0的情況下，式子中有奇數(shù)個負數(shù)為負，偶數(shù)個負數(shù)為正.


5.【答案】B


【解析】A 互為相反數(shù) C先算括號內，再算括號外


D 除以一個數(shù)等于等于這個數(shù)的倒數(shù)


6.【答案】（1）8；（2）0；（4）；（5）.


【解析】按照乘法計算規(guī)則計算即可.








拔高








1.用簡便的方法計算下列各題:


（1）


（2）(-+-)×48


（3）60×-60×+60×．


（4）


2.若為非零有理數(shù)，求的值.


3.在數(shù)中任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是，最小的積是.


（1）求的值；


（2）若，求的值.





答案與解析


1.【答案】（1）原式=；


（2）原式=-8+36-4=24；


（3）原式=60×（-+）=60；


（4）.


【解析】按照乘法計算規(guī)則計算即可.


2.【答案】-1或1或-3或3.


【解析】、、均可為±1，因此三個負數(shù)的時候，和為-3；


兩個負數(shù)的時候和為-1；


一個負數(shù)的時候，和為+1


沒有負數(shù)的時候，和為+3.


3.【答案】見解析.


【解析】（1）最大的積是75，最小的積是-30


（2）兩個絕對值的和為0，則兩個絕對值分別為0，即x=-75，y=-30


=.





五 、課堂小結








本節(jié)講了2個重要內容：


有理數(shù)的乘除法


乘法交換律：.


乘法結合律：.


乘法分配律：


乘法分配律逆運算：


兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.


0除以任何非0的數(shù)都得0.（0不能做除數(shù)）


除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù).


2.有理數(shù)的加減乘除混合運算.


本節(jié)課重點是對有理數(shù)加減乘除混合運算的計算以及對有理數(shù)運算法則的應用


六 、課后作業(yè)

















基礎








1.若，且，那么必定有（ ）


A.＞0，＜0；


B.＜0，＞0；


C.，異號且正數(shù)的絕對值較大；


D.，異號且負數(shù)的絕對值較大.


2.如果兩個數(shù)的和為正數(shù)，積是負數(shù)，那么這兩個數(shù)（ ）


A.都是正數(shù)；


B.一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，且負數(shù)的絕對值較大；


C.都是負數(shù)；


D.一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，且正數(shù)的絕對值較大.


3.若互為相反數(shù)，則 （ ）


A.＜0 B.＞0 C.≤0 D.≥0


4.下列說法正確的是（ ）


A.兩個數(shù)的積大于每一個因數(shù)；


B.兩個有理數(shù)的積的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的積；


C.兩個數(shù)的積是0，則這兩個數(shù)都是0；


D.一個數(shù)與它的相反數(shù)的積是負數(shù).


5.下列說法錯誤的是（ ）


A.與-0.25互為倒數(shù) B.與-4互為倒數(shù) C.0.1與10互為倒數(shù) D.0的倒數(shù)是0


6.下列說法正確的是（ ）


①兩個正數(shù)中倒數(shù)大的反而?。虎趦蓚€負數(shù)中倒數(shù)大的反而?。虎蹆蓚€有理數(shù)中倒數(shù)大的反而??；④兩個符號相同的有理數(shù)中倒數(shù)大的反而小.


A.①②④ B.① C.①②③ D.①④


7.下列各式中計算正確的有（ ）.


（1）（―24）÷（―8）＝―3


（2）（＋32）÷（―8）＝―4


（3）（―）÷（―）＝1


（4）（―）÷（―1.25）＝―3


A.1個 B.2個 C.3 個 D.4個


8.若，則的值是（ ）


A．-1 B．1 C．1或5 D．





答案與解析


1.【答案】D


【解析】，異號且負數(shù)的絕對值較大.


2.【答案】D


【解析】一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，且正數(shù)的絕對值較大.


3.【答案】C


【解析】除0之外，同號為正，異號為負.


4.【答案】B


【解析】 A 一正一負時，積至少小于其中的一個因數(shù)，


C 兩個數(shù)的積是0，則有一個數(shù)為0


D 0的相反數(shù)為0.


5.【答案】D


【解析】0沒有倒數(shù).


6.【答案】A


【解析】③如果兩個數(shù)異號，例如-5和6，


7.【答案】B


【解析】（1）商為+3 （3）商為+1


8.【答案】D


【解析】m和n異號，-3+2=-1,3-2=1.





鞏固











1.大于小于5的所有整數(shù)的積是( )


A、240 B、 C、0 D、


2.若有2015個有理數(shù)相乘所得的積為0，那么這2015個數(shù)中（ ）


A、最多有一個數(shù)為0 B、至少有一個數(shù)是0 C、恰有一個數(shù)為0 D、均為0


3.（1）若且試確定的正負性.


（2）根據（1）的解法填空：


①若且則


②若且則


③若且則


4.計算下列各題：


（1）；


（2）.


（3）；


（4）；


（5）；


（6）





答案與解析


1.【答案】C


【解析】大于-3小于5的所有整數(shù)有-2、-1、0、1、2、3、4，因此積為0.


2.【答案】B、


【解析】至少有一個為0.


3.【答案】（1）都是正數(shù)；（2）①＞，＞；②＜；③＞.


【解析】和和積均為正，所以兩數(shù)均為正數(shù)；


和和積一正一負，所以一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，且負數(shù)的絕對值較大；


和為正，積為負，所以一個是正數(shù)，一個是負數(shù)，且正數(shù)的絕對值較大.


4.【答案】（1）147；（2）0.（3）15；（4）；（5）；（6）.


【解析】 按照四則運算法則計算即可.





拔高








1.計算下列各題：


（1）；


（2）；


（3）；


（4）；


2.觀察下面的一列數(shù)：，－，，－……請你找出其中排列的規(guī)律，并按此規(guī)律填空．第9個數(shù)是________，第10個數(shù)是________．





答案與解析


【答案】（1）；（2）0；（3）0；（4）0.


【解析】按照四則運算計算法則計算即可.


2.【答案】,.


【解析】 可以發(fā)現(xiàn)分子永遠為1，分母是兩個相鄰數(shù)的成積，且其中一個為項的序號，奇數(shù)項永遠為正數(shù)，偶數(shù)項永遠為負數(shù)，由此規(guī)律推出第9個數(shù)和第10個數(shù)．


試題解析：∵，，，…，


∴第9個數(shù)是：，


第10個數(shù)是：.








七 、教學反思











適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初一
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1、有理數(shù)的乘法法則 8、有理數(shù)除法法則（一）


2、倒數(shù) 9、求一個有理數(shù)的倒數(shù)


3、有理數(shù)乘法法則的推廣 10、有理數(shù)除法法則（二）


4、有理數(shù)乘法的運算律 11、有理數(shù)的乘除混合運算


5、絕對值、相反數(shù)、和倒數(shù)的綜合運算 12、有理數(shù)的加、減、乘、除混合運算


6、有理數(shù)乘法的實際應用 13、有理數(shù)乘除法在實際生活中的應用


7、探究規(guī)律題型 14、除法、絕對值、倒數(shù)的綜合應用
教學目標
1、理解有理數(shù)乘法、除法的意義，掌握有理數(shù)乘法法則中積的符號法則和絕對值運算法則，并初步理解有理數(shù)乘法、除法法則的合理性．


2、理解互為倒數(shù)的意義，并會找一個數(shù)的倒數(shù).
教學重點
1、會按照“先確定符號，后計算絕對值”的方法進行有理數(shù)的乘法、除法運算.


2、理解互為倒數(shù)的意義，并能求倒數(shù).
教學難點
1、理解互為倒數(shù)的意義，并能求倒數(shù).


2、準確運算有理數(shù)的乘除計算題.
星期
一
二
三
四
五
六
日
減增
+8
-2
-6
+11
-12
+6
+7

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2.8 有理數(shù)的除法

版本： 北師大版

年級： 七年級上冊

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