第14講


講














垂徑定理及圓周角和圓心角的關系


























概述





【教學建議】


本節(jié)課的內容是中考中的?？純热荩袝r單獨考，但常在綜合題中出現(xiàn)。教師在教學中要把垂徑定理及其推論的由來和推論講解清楚，對于圓周角定理及其推論要求學生會使用，這對以后的做題很有幫助。


學生學習本節(jié)時可能會在以下兩個方面感到困難：


1. 垂徑定理及其的推論的應用問題。


2. 圓周角定理的靈活使用。


【知識導圖】











教學過程








一、導入





【教學建議】


垂徑定理及圓周角和圓心角的關系是圓中最重要的內容之一，在中考試題中也常出現(xiàn)。在圓中可以融合三角形、四邊形的相關知識，可以全面考察學生幾何方面的知識和能力，本節(jié)在圓這一章的教學中，地位非常重要，在教學中，教師要給學生講解典型模型，常用輔助線的加法等，增加學生的解題經驗。





二、知識講解








知識點1 垂徑定理及其推論








垂徑定理及推論








知識點2 圓周角定理及其推論





圓周角定理及其推論





三、例題精析








例題1





【題干】如圖是“明清影視城”的圓弧形門，黃紅同學到影視城游玩，很想知道這扇門的相關數據，于是她從景點管理人員處打聽到：這個圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的(即圓心到地面的距離等于半徑)，AB＝CD＝20 cm，BD＝200 cm，且AB，CD與水平地面都是垂直的．根據以上數據，請你幫助黃紅同學計算出這個圓弧形門的最高點離地面的高度是多少．








【答案】見解析


【解析】如下圖，連接AC，作AC的垂直平分線交AC于點G，交BD于點N，交圓的另一點為M，則MN為圓弧形所在圓的直徑，取MN的中點O，則點O為圓心，連接OA，OC.





∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD.


∵AB＝CD，∴四邊形ABDC為矩形，


∴AC＝BD＝200 cm，GN＝AB＝CD＝20 cm，


∴AG＝GC＝eq \f(1,2)AC＝100 cm.


設⊙O的半徑為R cm，由勾股定理，得


OA2＝OG2＋AG2，即R2＝(R－20)2＋1002，


解得R＝260，


∴MN＝2R＝520 cm.


答：這個圓弧形門的最高點離地面的高度是520 cm.





例題2





【題干】《九章算術》是我國古代第一部自成體系的數學專著,代表了東方數學的最高成就,他的算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應用.書中記載：“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,鋸口深一寸,鋸道長一尺.問徑幾何？”


譯為：“今有一圓柱形木材埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸木料,鋸口深一寸（ED=1寸）,鋸道長一尺（AB=1尺=10寸）.問這塊圓形木材的直徑是多少？”如圖所示,請根據所學知識計算：圓形木材的直徑是 （ ）





A.13寸 B. 20寸 C.26寸 D. 28寸


【答案】C


【解析】如圖，根據題意可知，ED=1寸，AB=1尺=10寸，∵OD⊥AB，∴AD=BD=5寸，不妨設⊙O的半徑為r，在△AOD中，，解得，∴圓形木材的直徑AC的長為26寸，故答案為C.





例題3





【題干】如圖，⊙O的半徑OA⊥OB，弦AC⊥BD.求證：AD∥BC.





【答案】見解析


【解析】證明：∵∠AOB與∠ADB分別是所對的圓心角和圓周角，


∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝eq \f(1,2)×90°＝45°.


同理可證∠ACB＝eq \f(1,2)∠AOB＝45°.


由AC⊥BD，∠ADB＝45°，可知∠DAC＝45°，即∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.








例題4





【題干】已知：如圖，為的直徑，交于點，交于點．





（1）求的度數；


（2）求證：．





【答案】見解析


【解析】解:①∵∠A=45°，AB是直徑，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，


∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67．5°，∴∠EBC=67．5°-45°=22．5°．


②連接AD，


∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，


∵AB=AC，∴BD=CD．








四 、課堂運用





【教學建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，再給學生做針對性的練習，注意把握試題的難度。





基礎








【答案】C


【解析】連半徑，解直角三角形即可得。


【答案】D


【解析】根據垂徑定理易得。


3.如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點，∠BAC=30°，則∠BOC的大小是( )


A、60° B、45° C、30° D、15°








【答案】A


【解析】由圓周角定理易得。





鞏固





1.下列命題中正確的有（ ）


①垂直于弦的直徑平分這條弦；


②與弦垂直的直線必過圓心；


③平分一條弧的直線必平分這條弧所對的弦；


④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的兩條?。?br/>

A. 1 個B. 2 個C. 3 個D. 4 個


【答案】D


【解析】根據垂徑定理的逆定理易得。





2.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，若∠BCD=110°，則∠BAD為（ ）





A．140° B．110° C．90° D．70°





【答案】D


【解析】提示：圓內接四邊形對角互補。





3.一條弦把圓分成1：3兩部分，則弦所對的圓周角為 ．


【答案】45°或135°


【解析】注意考慮兩種情況。





拔高





1.工程上常用鋼珠來測量零件上小圓孔的寬口，假設鋼珠的直徑是10mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個小圓孔的寬口AB的長度為 mm.








【答案】8


【解析】根據垂徑定理易得。





2.某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，現(xiàn)計劃安裝玻璃，請幫工程師求出弧AB所在圓O的半徑．








【答案】見解析


【解析】由垂徑定理得BF＝eq \f(1,2)AB＝1.5 m，OE⊥AB，


設圓O的半徑為x m，則OF＝(x－1) m.


在Rt△OBF中，根據勾股定理得x2＝1.52＋(x－1)2，解得x＝1.625.


即圓O的半徑是1.625 m.





3.如圖所示，⊙O的弦AB，CD的延長線相交于點M，AD與CB交于點E.若eq \(AC,\s\up8(︵))所對的圓心角為72°，eq \(BD,\s\up8(︵))所對的圓心角為18°，求∠M＋∠AEC的度數．








【答案】見解析


【解析】根據題意，得∠A＝∠C＝9°，∠ABC＝36°。


∵∠AEC＝∠A＋∠ABC，


∴∠AEC＝9°＋36°＝45°.


又∵∠ABC＝∠C＋∠M，


∴∠M＝∠ABC－∠C＝36°－9°＝27°，


∴∠M＋∠AEC＝27°＋45°＝72°。











課堂小結





1.垂徑定理及其推論


2.圓周角定理及其推論








拓展延伸








基礎





1. 如圖，已知半徑OD與弦AB互相垂直，垂足為點C，若AB=8cm，CD=3cm，則圓O的半徑為（ ）








【答案】A


【解析】連半徑，根據勾股定理易得。





2. 如圖是一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，如果水面AB寬為8cm，水面最深地方的高度為2cm，則該輸水管的半徑為（ ）





A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm


【答案】C


【解析】作垂直，連半徑，根據勾股定理易得。





3.如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE=OB， ∠AOC=84°，則∠E等于（ ）





A．42 ° B．28° C．21° D．20°





【答案】B


【解析】連OD，根據等邊對等角，三角形內角和是180°易求。





鞏固





1.如圖，已知⊙O的半徑為2，△ABC內接于⊙O，∠ACB＝135°，則AB＝ ．





【答案】


【解析】在優(yōu)弧上任取一點D，∵∠ACB＝135°，則∠ADB＝45°，∠AOB＝90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∵OA＝OB＝2，∴AB＝．





2.如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O、A、B、C在格點（兩條網格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立直角坐標系，則過A，B，C三點的圓的圓心坐標為___________．





【答案】(﹣1，﹣2)


【解析】根據垂徑定理，借助網格，找到兩條弦AC,AB的垂直平分線的交點，即為圓心,其坐標為（-1，-2）．





3.如圖，AC為⊙O的直徑，點B在圓上，OD⊥AC交⊙O于點D，連接BD，∠BDO＝15°，則∠ACB＝____．





【答案】60°


【解析】連接AD．∵AC為⊙O的直徑，點D在圓上，OD⊥AC，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO＝45°，又∠BDO＝15°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB與∠ADB所對的弧都是AB弧，∴∠ACB＝∠ADB＝60°．








拔高





1. 如圖，量角器的O度刻度線為AB．將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點C，直尺另一邊交量角器于點A、D，量得AD＝10cm，點D在量角器上的讀數為60°．則該直尺的寬度為 cm．





【答案】


【解析】根據題意，抽象出數學圖形





根據題意可知：AD＝10，∠AOD＝120°，由OA＝OD，∴∠DAO＝30°，設OE＝x，則OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5，在Rt△AOE中，x2+52＝（2x）2，解得：，∴CE＝OE＝．





2.如圖所示，點I是△ABC的內心，AI的延長線交BC于點D，交△ABC的外接圓于點E.


(1)求證：CE=BE=IE；


(2)若，AE=4，求DE的長.





【答案】見解析


【解析】(1)連接BI.





∵點I是內心，


∴∠BAI=∠EAC，∠ABI=∠IBC.


∵∠EBC=∠EAC，∠BCE=∠BAI，


∴∠EBC=∠BCE.


∴CE=BE.


∵∠BIE=∠BAI+∠ABI，∠IBE=∠IBC+∠EBC，


∴∠BIE=∠IBE.


∴BE=IE. ∴CE=BE=IE.


(2)∵∠BAE=∠EBC，∠BEA=∠DEB，


∴△EBD∽△EAB.


∴.∴.


∵，AE=4，∴.∴DE=2.





3.如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是弧AC的中點，DE⊥AB于點E且DE交AC于點F,


DB交AC于點G，若 eq \f(EF,AE) = eq \f(3,4), 則 eq \f(CG,GB) =





























【答案】


【解析】∵ eq \f(EF,AE) = eq \f(3,4),設EF=，AE=，∴AF=，連結AD、OD、BC，設OD與AC交于點H，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠ABD=90°-∠DAE，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠DAE，∴∠ADE=∠ABD，∵D是弧AC的中點，∴∠CAD=∠ABD，∴∠CAD=∠ADF，∴AF=DF，∵D是弧AC的中點，∴OD⊥AC，∴∠FHD=90°，∴∠FHD=∠AEF=90°，又∵∠DFH=∠AFE，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF=，DH=AE=，∴AH=AF+FH=+=，∴，∴，∵∠DAH=∠DBC，∴，在Rt△BCG中， eq \f(CG,GB)=.

















教學反思





適用學科
初中數學
適用年級
初中三年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1.垂徑定理及其推論


2.圓周角定理及其推論
教學目標
1.掌握垂徑定理及推論


2.掌握圓周角與圓心角的關系
教學重點
能熟練掌握垂徑定理及圓周角圓心角的關系
教學難點
能熟練掌握垂徑定理及圓周角圓心角的關系
示意圖
垂徑定理
推論
垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧．


如圖,是⊙的弦,是⊙的直徑,于點,則, EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`D),


EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`C)．
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧．


如圖,是⊙的弦,是⊙的直徑,,與交于點,,則, EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AD)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`D), EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AC)= EQ \\ac(\S\UP7(⌒),A`C)．
圓是 圖形,它有 對稱軸,每一條過 的直線都是它的對稱軸．
定理
垂直于弦的直徑_____________這條弦,并且平分弦所對的_____________．
推論
推論1
平分弦(不是直徑)的直徑_________于弦,并且_________弦所對的兩條?。?br/>弦的垂直平分線經過_________,并且平分弦所對的兩條?。?br/>平分弦所對的一條弧的_________垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條?。?br/>推論2
圓的兩條平行弦所夾的弧_________．
推論3
過圓心、平分弦、垂直于弦、平分弦所對的劣弧、平分弦所對的優(yōu)弧,若一條直線具備這五項中任意兩項,則必具備另外三項．
示意圖
圓周角的定義
圓周角定理
推論1
推論2
頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交,我們把這樣的角叫做圓周角．
在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半．
在同圓或等圓中,如果兩個圓周角相等,那么它們所對的弧長也相等．
半圓（或直徑）所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑．
同一條弧所對的圓周角有 個．如上圖,我們可以得到：∠AOB＝ ∠ACB．
1.如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（ ）


A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
2.如圖，AB是⊙的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不成立的是（ ）


A.CM=DM B. C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD




A．
cm
B．
5cm
C．
4cm
D．
cm

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3 垂徑定理

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