倍速學(xué)習(xí)五種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.特殊角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.已知三角函數(shù)值求角的度數(shù)
題型2.直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算
題型3.利用特殊角的三角函數(shù)值判定三角形的形狀
題型4.特殊三角函數(shù)值與平面直角坐標(biāo)系
題型5.特殊三角函數(shù)值的應(yīng)用
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：將特殊角的三角函數(shù)值記混
【方法四】 仿真實(shí)戰(zhàn)法
考法. 特殊角的三角函數(shù)值
【方法五】 成果評(píng)定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
知道30°45°60°角的三角函數(shù)值
熟記特殊角的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。
重點(diǎn)：30°45°60°角的三角函數(shù)值
難點(diǎn)：利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。
【倍速學(xué)習(xí)五種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.特殊角的三角函數(shù)值（重點(diǎn)、難點(diǎn)）
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
【例】．（2023秋?張店區(qū)期中）計(jì)算：
（1）2sin30°﹣sin45°?cs45°；
（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cs30°+sin60°+tan260°．
【分析】將特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確解答的前提．
【變式】．（2023秋?任城區(qū)期中）計(jì)算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：2sin30°﹣cs245°+cs60°
＝2×﹣（）2+
＝1﹣+
＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.已知三角函數(shù)值求角的度數(shù)
1．（2023秋?沙河口區(qū)期中）已知tanA＝，∠A是銳角，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．
【解答】解：∵，且∠A是銳角，
∴∠A＝30°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．
2．（2023秋?廣饒縣期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣csB）2＝0，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．45°B．75°C．105°D．120°
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，sinA﹣＝0，﹣csB＝0，
即sinA＝，＝csB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋?樂亭縣期中）在△ABC中，若，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【分析】根據(jù)絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性分別求出∠A、∠B，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【解答】解：∵|csA﹣|+2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA﹣＝0，2（1﹣tanB）2＝0，
∴csA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）若csA＝，則銳角∠A＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．
【解答】解：∵csA＝，
∴銳角∠A＝60°．
故答案為：60°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
題型2.直接利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算
5．（2023秋?槐蔭區(qū)期中）2cs45°的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】把cs45°＝代入原式，即可計(jì)算．
【解答】解：2cs45°＝2×＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．
6．（2023秋?蘇州期中）cs60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答．
【解答】解：cs60°＝，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋?昌黎縣期中）計(jì)算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cs30°＝ ．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣（）2+1﹣2×
＝﹣+1﹣
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
8．（2023秋?槐蔭區(qū)期中）計(jì)算：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：2cs30°﹣tan60°+sin45°cs45°
＝2×﹣+×
＝﹣+
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角是三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
題型3.利用特殊角的三角函數(shù)值判定三角形的形狀
9.若△ABC中，銳角A、B滿足，則△ABC是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等邊三角形
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到sinA＝，csB＝，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到銳角A＝60°，銳角B＝60°，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法進(jìn)行判斷．
【解答】解：根據(jù)題意得sinA﹣＝0，csB﹣＝0，
∴sinA＝，csB＝，
∴銳角A＝60°，銳角B＝60°，
∴△ABC為等邊三角形．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：sin30°＝； cs30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cs45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cs60°＝； tan60°＝；
10．（2023春·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，都是銳角，，則是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．銳角三角形
【答案】D
【分析】．
【詳解】解：∵在中，都是銳角，，
∴，
∴，
∴是銳角三角形，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知等特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
11．（2023秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B為銳角，且tanA，csB恰為一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．求m的值并判斷△ABC的形狀．
【分析】先求出一元二次方程的解，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出各角的度數(shù)，判斷三角形的形狀．
【解答】解：∵∠A＝60°，∴tanA＝．
把x＝代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2（）2﹣3m+3＝0，解得m＝．
把m＝代入方程2x2﹣3mx+3＝0得2x2﹣3x+3＝0，解得x1＝，x2＝．
∴csB＝，即∠B＝30度．
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，即△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】本題較復(fù)雜，涉及到一元二次方程的解法，特殊角的三角函數(shù)值，及等邊三角形的性質(zhì)需同學(xué)們熟練掌握．
題型4.特殊三角函數(shù)值與平面直角坐標(biāo)系
12．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B，C在y軸上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由得到，所以，即兩角互余，即可得到
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩角互余時(shí)角的三角函數(shù)關(guān)系及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵
13．（2023秋·重慶巴南·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以每秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，的面積為．
根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化規(guī)律進(jìn)行探究．

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，注明x的取值范圍，并畫出y的函數(shù)圖像；
(2)觀察y的函數(shù)圖像，寫出一條該函數(shù)的性質(zhì)；
(3)觀察圖像，直接寫出當(dāng)時(shí)，x的值______．（保留1位小數(shù)，誤差不超過）
【答案】(1)，見解析
(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
(3)或
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一，計(jì)算，根據(jù)面積公式，分類計(jì)算即可．
（2）根據(jù)圖像的性質(zhì)描述即可．
（3）分類計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，

過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，
則，
∴，
故，
畫圖像如下：
．
（2）根據(jù)圖像，可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．
（3）∵，
∴或，
∵保留1位小數(shù)，誤差不超過，
∴或，
故或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，函數(shù)的圖像，誤差，熟練掌握三線合一性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形中，，，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B， 然后以同樣速度沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．設(shè)當(dāng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，長為y．下面是小聰?shù)奶骄窟^程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
(1)根據(jù)三角函數(shù)值小聰想到連接交于點(diǎn)O（如圖2），請(qǐng)同學(xué)們幫忙求的長．
(2)小聰學(xué)習(xí)了函數(shù)知識(shí)后，運(yùn)用函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，對(duì)y與x的變化規(guī)律進(jìn)行了下列探究，根據(jù)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)到不同位置進(jìn)行畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，并畫出了函數(shù)圖象（如圖3）：
請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，在同一坐標(biāo)系中補(bǔ)全圖象，并寫出這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)．
(3)結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)時(shí)，x有四個(gè)不同的值．求y取何值時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值．
【答案】(1)；
(2)補(bǔ)全圖見解析，這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；這個(gè)函數(shù)的最大值為6；
(3)當(dāng)或時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值．
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得，在中，利用正弦函數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)，知點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，與點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)稱，據(jù)此可補(bǔ)全圖象，根據(jù)圖象可寫出其性質(zhì)；
（3）觀察圖象知當(dāng)或y取最小值時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形菱形，
∴，即，
在中，，，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形菱形，
∴，
∴點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況，與點(diǎn)E在上的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)稱，
在同一坐標(biāo)系中補(bǔ)全圖象如圖，
這個(gè)函數(shù)的兩條性質(zhì)：
①這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；
②這個(gè)函數(shù)的最大值為6；
（3）解：觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值；
當(dāng)y取最小值時(shí)，x也有且僅有兩個(gè)不同的值，此時(shí)，或，
在中，，，
∴，
∴；
綜上，當(dāng)或時(shí)，x有且僅有兩個(gè)不同的值
【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的圖象，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型5.特殊三角函數(shù)值的應(yīng)用
15．（2023春·陜西銅川·九年級(jí)銅川市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧交BC于
點(diǎn)E．DF⊥AE于F．若E恰好為BC的中點(diǎn).
⑴ ∠BAE＝ °；
⑵ DF平分AE嗎？證明你的結(jié)論.

【答案】⑴ 30°⑵ DF平分AE，證明見解析
【分析】（1）可先證，利用中點(diǎn)的性質(zhì)易得∠BAE的正弦值，可知其度數(shù)；
（2）連接DE，結(jié)合（1）中結(jié)論，可證是等邊三角形，根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】解：（1）是以點(diǎn)A為圓心、AD為半徑畫弧得到的
四邊形ABCD是矩形

點(diǎn)E恰好為BC的中點(diǎn)


（2）DF平分AE.
如圖，連接DE

由（1）知，，
是等邊三角形


所以DF平分AE.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與三角形的綜合，還涉及了解直角三角形，靈活的利用矩形與等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
16．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請(qǐng)你來解一解：
如圖，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F(xiàn)，G，H，使得，，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE．
（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；
（2）若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且，，求AE的長．
【答案】（1）平行四邊形，證明見解析；（2）2
【分析】（1）由四邊形ABCD為矩形，，可得BE=DG，F(xiàn)C=AH，由勾股定理可得EH=FG，EF=GH，故四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）設(shè)AE為x，由，可求得BF=DH=x+1，AH=x+2，由可求得AH=2x，則x=2，即AE=2.
【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形
∴AD=BC，AB=CD，∠HAB=∠EBC=∠FCD=∠ADG=90°，
又∵，
∴BE=DG，F(xiàn)C=AH
∴，，，
∴EH=FG，EF=GH
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）設(shè)AE=x則BE=DG=x+1
在中，
∴
∵BF=DH=x+1
∴AH=x+1+1=x+2
又∵
∴
∴AH=2AE=2x
∴2x=x+2
解得x=2，
∴AE=2
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的判定從而證明出EH=FG，EF=GH是解題關(guān)鍵．
17．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在上，其中．

(1)證明：．
(2)若，求的值．
(3)設(shè)，和的面積分別為，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)見解析
【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)證得，，即可證明；
（2）利用勾股定理求得，，利用余弦函數(shù)的定義即可求解；
（3）求得，推出和的相似比為，得到，由，據(jù)此即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
（3）解：由（1）得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴和的相似比為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義，解第3小題的關(guān)鍵是得到和的相似比為．
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：將特殊角的三角函數(shù)值記混
1.求下列各式的值：
(1) 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；
(2) sin60°﹣4cs230°+sin45°?tan60°；
(3) +ct30°﹣．
【答案與解析】
解：（1）原式=
=﹣．
(2) 原式=×﹣4×（）2+×
=﹣3+
=；
(3) 原式=+﹣
=2+﹣
=3﹣2+2
=+2．
【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個(gè)三角板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的三角函數(shù)值，再
進(jìn)行化簡．
【方法四】 仿真實(shí)戰(zhàn)法
考法. 特殊角的三角函數(shù)值
1．（2022?天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
2．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：
sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ，
sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ．
例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為 ．
【分析】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計(jì)算得結(jié)論．
【解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）
＝sin45°cs30°﹣cs45°sin30°
＝×﹣×
＝﹣
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022?金華）計(jì)算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
4．（2022?牡丹江）先化簡，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cs30°．
【分析】直接利用分式的加減運(yùn)算法則將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝x﹣1，
∵x＝cs30°＝，
∴原式＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、分式的混合運(yùn)算，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【方法五】 成果評(píng)定法
一、單選題
1．（23·24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）下列三角函數(shù)的值是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
【詳解】解：，，， ，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確掌握常見的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·北京海淀·模擬預(yù)測）在銳角中，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平方及絕對(duì)值的非負(fù)性可得，，由特殊角的三角函數(shù)值求得和，再由三角形內(nèi)角和為即可解答；
【詳解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴在銳角中，，
故選： A；
【點(diǎn)睛】本題考查了平方及絕對(duì)值的非負(fù)性，銳角三角函數(shù)，三角形內(nèi)角和定理；掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
3．（22·23九年級(jí)上·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)，則下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)的取值范圍選擇特殊值，然后求出正弦、余弦、正切的值，進(jìn)行比較即可得到答案．
【詳解】解：，
取，
，，，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解此題的關(guān)鍵．
4．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）計(jì)算的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別計(jì)算三角函數(shù)值、零指數(shù)冪，化簡絕對(duì)值，再進(jìn)行加減即可．
【詳解】解：
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)、零指數(shù)冪以及絕對(duì)值，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．（22·23九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則的值為( )

A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】連接，，根據(jù)勾股定理可以得到，則是等腰三角形底邊上的中線，根據(jù)三線合一定理，可以得到是直角三角形．根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．
【詳解】如圖，連接，，設(shè)正方形的網(wǎng)格邊長是，則根據(jù)勾股定理可以得到：

，，
在中，由等腰三角形三線合一得：，
則，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念，注意到圖中的等腰三角形是解決本題的關(guān)鍵．
6．（22·23九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【詳解】解：∵，則，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
7．（22·23九年級(jí)上·福建泉州·期中）三角板是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，現(xiàn)將一副含45°角和30°角的三角板按如圖所示的方式放置，則的值為（ ）

A．B．C．D．無法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)和三角板的特殊角的度數(shù)解答即可．
【詳解】解：如圖：

，
，
，
∴
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)以及三角板的特殊角的度數(shù)，解題時(shí)注意：熟記特殊角的三角函數(shù)值．
8．（23·24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)代入求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B．
9．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊在軸正半軸上，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且交菱形對(duì)角線于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)，則長為（ ）

A．1B．3C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，過A點(diǎn)作軸，利用銳角三角函數(shù)和即可求出m，根據(jù)，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)D經(jīng)過反比例函數(shù)，即可求出n，進(jìn)而求出答案．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
過A點(diǎn)作軸，如圖，

∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
或（舍），
∴，
∵四邊形是菱形，，
∴，
設(shè)，
則，
∴，
∵點(diǎn)D經(jīng)過反比例函數(shù)，
，
或（舍），
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)，巧設(shè)未知數(shù)利用已知解析式是本題的突破口．
10．（22·23九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，的延長線分別交于點(diǎn)、，連接，與相交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的為（ ）

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【分析】由是等邊三角形和相似三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到，而，故①正確；根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出，可判定②正確；由，得，由與同高，可知，則判定③正確，由，得，則，可判定④正確．
【詳解】解：為等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，
，
，
又，
，
故①正確；
，，
，
，
故②正確；
，
，
，
又與同高，
，
又，，
，
，
故③正確；
，，
，
，
，
又，，
，
故④正確，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．（22·23九年級(jí)下·山東臨沂·期末）在中，，，則的值為 ．
【答案】
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得出，的值，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：在中，，，
，
則
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
12．（22·23九年級(jí)下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）銳角滿足，則 度．
【答案】
【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴
則
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
13．（23·24九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）計(jì)算：．
【答案】
【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后再計(jì)算．
【詳解】解：原式
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
14．（2022·湖北宜昌·模擬預(yù)測） ．
【答案】3
【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的加法運(yùn)算法則即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的加法運(yùn)算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值及二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
15．（23·24九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）若的余角是，則的值是 ．
【答案】/0.5
【分析】先求出的余角，由即可求解．
【詳解】解：由題意得
，
，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題考查了互余的定義，特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·陜西榆林·三模）如圖，在菱形中，．點(diǎn)分別為四邊的中點(diǎn)，連接，則 ．

【答案】
【分析】連接，如圖所示，由菱形性質(zhì)及三角形中位線的判定與性質(zhì)證得，，在中，．
【詳解】解：連接，如圖所示：

在菱形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
，
，
，
在菱形中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
在中，點(diǎn)分別為菱形的中點(diǎn)，
，
，
，
在中，點(diǎn)分別為菱形的中點(diǎn)，
，
，
在菱形中，，則，
在中，，，則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查利用菱形性質(zhì)求特殊角的三角形函數(shù)值，根據(jù)菱形性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)求出及是解決問題的關(guān)鍵．
17．（22·23九年級(jí)上·山東東營·期末）如圖，一塊含有的直角三角板的直角頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，角的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為 ．

【答案】
【分析】過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，即可得證，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到和利用特殊角的正切值得出，然后設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，繼而根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征得到，再次利用反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征即可求得答案．
【詳解】解：過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，如圖：

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
∴，，
∴，
∵在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴．
故答案是：
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定和性質(zhì)、特殊的銳角三角函數(shù)值，能夠求得是解題的關(guān)鍵．
18．（23·24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，等邊中，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，，連接、交于點(diǎn)F，，，則的長為 ．

【答案】
【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，利用勾股定理，三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)，三角形全等計(jì)算即可．
【詳解】∵等邊，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，
則，
設(shè)
則，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，
則，

設(shè)
則，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，正切函數(shù)，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．（23·24九年級(jí)上·福建泉州·期中）計(jì)算：
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，用到了二次根式的化簡、絕對(duì)值化簡、特殊角三角函數(shù)值等知識(shí)，先依次對(duì)二次根式、絕對(duì)值、特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：
．
20．（23·24九年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）計(jì)算：
【答案】．
【分析】利用二次根式的加減，零指數(shù)次冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)和絕對(duì)值化簡進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式，
，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的加減，零指數(shù)次冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次運(yùn)算及熟記特殊角的三角函數(shù)值．
21．（2022·廣東廣州·模擬預(yù)測）計(jì)算：．
【答案】
【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、二次根式、三角函數(shù)化簡4考點(diǎn)．在計(jì)算時(shí)，需要針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則、算術(shù)平方根的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
22．（21·22九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．
【答案】，
【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將特殊銳角的三角函數(shù)值代入得出的值，繼而代入計(jì)算即可．
【詳解】原式
，
∵
，
∴原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
23．（23·24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．
【答案】，
【分析】直接利用分式的混合運(yùn)算法則化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．
【詳解】解：
當(dāng)時(shí)，
原式．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的化簡求值，正確掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
24．（23·24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，已知，．

(1)求證：；
(2)若，，求．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)的正切值得，即可證明相似．
（2）先證明，進(jìn)而求出，再根據(jù)得出，即可求出．
【詳解】（1）∵
∴
∵
∴，
∴
∴
（2）∵由（1），
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定、特殊角三角函數(shù)值及勾股定理，根據(jù)特殊角得出對(duì)應(yīng)線段成比例是解題關(guān)鍵．
25．（23·24九年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）（1）【問題探究】
如圖1，在正方形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．在線段上任取一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），連接、．

①證明：：
②將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在的延長線上的點(diǎn)處．當(dāng)點(diǎn)在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；
③探究與的數(shù)量關(guān)系為______．
（2）【遷移探究】
如圖2，將正方形換成菱形，且，點(diǎn)位于中點(diǎn)，其他條件不變．探究與的數(shù)量關(guān)系為______．
【答案】（1）①見詳解②的大小不發(fā)生變化，理由見詳解③（2）
【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；
②作，，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進(jìn)而可得結(jié)論；
③作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，證明，，即可得出結(jié)論；
（2）先證明，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，，都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，
∴，．
∵，
∴，
∴；
②解：的大小不發(fā)生變化，；
理由：作，，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴．
.∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，即；
③解：
理由：作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
作于點(diǎn)M，
則，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：四邊形是菱形，，
∴，，，
∴是等邊三角形，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，

則四邊形是平行四邊形，，，
∴，，都是等邊三角形，
∴，
作于點(diǎn)M，
則，，
∴，
∴．
∵點(diǎn)位于中點(diǎn)，
∴
∴，
即
所以
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
26．（23·24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)B，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，記旋轉(zhuǎn)角為α．
(1)如圖1，若，連接，求的長度；
(2)如圖2，若，求的坐標(biāo)并直接寫出的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，邊上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，請(qǐng)直接寫出的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)5
(2)點(diǎn)；
(3)，
【分析】（1）利用勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，計(jì)算即可．
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用特殊角的三角函數(shù)計(jì)算即可．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到繼而得到，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M，此時(shí)，有最小值，故點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最小值，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，計(jì)算即可．
【詳解】（1）∵ 點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)F，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵ 點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
∵ ，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故點(diǎn)；．
（3）如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，
∴，
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，
連接交于點(diǎn)M，此時(shí)，有最小值，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，取得最小值，
∵ 點(diǎn)，
∴點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
解得，
故直線的解析式為，
令，
得，
解得，
故點(diǎn)，
，
故的最小值為，此時(shí)點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用，勾股定理，將軍飲馬河原理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用，勾股定理，將軍飲馬河原理是解題的關(guān)鍵．
x
0
1
2
3
4
5
y
5
4．82
4．84
5．06
5．46
6

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級(jí)下冊(cè)電子課本

2 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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