第17講


講























反比例函數(shù)的應(yīng)用















































概 述














【教學(xué)建議】


反比例函數(shù)的應(yīng)用廣泛且十分重要，在教學(xué)過(guò)程中要提醒學(xué)生聯(lián)系一次函數(shù)的應(yīng)用，對(duì)比學(xué)習(xí).


【知識(shí)導(dǎo)圖】


























教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


本講的反比例函數(shù)的應(yīng)用與生活結(jié)合較為緊密，在教學(xué)過(guò)程中可以引導(dǎo)學(xué)生廣泛結(jié)合實(shí)例，進(jìn)而對(duì)反比例函數(shù)的靈活運(yùn)用有一個(gè)更好的理解.


反比例函數(shù)是每年中考中的熱門(mén)考點(diǎn)，其應(yīng)用題的形式主要分為幾何類、實(shí)際應(yīng)用類，在本講中我們將對(duì)這兩種應(yīng)用進(jìn)行深入的學(xué)習(xí).





二、知識(shí)講解











考點(diǎn)1 反比例函數(shù)的應(yīng)用








反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用：涉及到面積類的題型；


反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：生活中成反比的實(shí)例.





三 、例題精析








類型一 反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用





例題1








已如圖，反比例函數(shù) y＝eq \f(k,x) 的圖象與一次函數(shù)y＝mx＋b的圖象交于兩點(diǎn)A（1,3） ,B（n,－1）．





（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；


（2）根據(jù)圖象，直接回答：當(dāng)x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；


（3）連接AO、BO，求△ABO的面積；


【解析】（1）∵A（1，3）在y=的圖象上，


∴=3，∴=．


又∵B（，﹣1）在=的圖象上，


∴=﹣3，即B（﹣3，﹣1）


∴


解得：=1，=2，


∴反比例函數(shù)的解析式為=，一次函數(shù)的解析式為=+2．


（2）從圖象上可知，當(dāng)＜﹣3或0＜＜1時(shí)，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．


（3）設(shè)一次函數(shù)與軸交點(diǎn)為C，


令一次函數(shù)值=0，得=-2，


∴C（-2，0）


∴S△ABO=S△BOC+S△AOC=×|OC|×|yB|+×|OC|×|yA|=×2×1+×2×3=4.


【總結(jié)與反思】本題考察的是反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，結(jié)合一次函數(shù)是最常見(jiàn)的類型.





類型二 反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用





例題1








你吃過(guò)拉面嗎？實(shí)際上在做拉面的過(guò)程中就滲透著數(shù)學(xué)知識(shí)：一定體積的面團(tuán)做成拉面，面條的總長(zhǎng)度（四面條的粗細(xì)（橫截面積）S（的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.





（1）寫(xiě)出與S的函數(shù)關(guān)系式；


（2）求當(dāng)面條粗1.6時(shí)，面條的總長(zhǎng)度是多少米？


【解析】（1）；（2）80米.


設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，由圖象知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4，32）即可求出；


把代入函數(shù)關(guān)系式即得結(jié)果.


設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，


圖象過(guò)點(diǎn)（4，32），


，解得，


與的函數(shù)關(guān)系式為；


當(dāng)時(shí)，，


答：當(dāng)面條粗時(shí)，面條的總長(zhǎng)度為80米.


【總結(jié)與反思】 解答考察的是反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，和生活實(shí)際結(jié)合緊密．








四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1.已知反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+m的圖象相交于點(diǎn)A（2，1）．





（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式；


（2）當(dāng)x取什么范圍時(shí)，反比例函數(shù)值大于0；


（3）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)另一交點(diǎn)為B，且縱坐標(biāo)為﹣4，當(dāng)x取什么范圍時(shí)，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值；


（4）試判斷點(diǎn)P（﹣1，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′是否在一次函數(shù)y=kx+m的圖象上．


2.已知，如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A（3，2）





（1）填空：a= ；k= ．


（2）M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0＜m＜3，過(guò)點(diǎn)M作直線MB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．


①當(dāng)BM=DM時(shí)，求△ODM的面積；


②當(dāng)BM=2DM時(shí)，求出直線MA的解析式．


3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線y=x﹣2與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)B（m，2）．





（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；


（2）將直線y=x﹣2向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為18，求平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式．


4.蓄電池的電壓為定值，使用此電源時(shí)，電流I（A）是電阻R（Ω）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．


（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；


（2）當(dāng)R=10Ω時(shí)，電流能是4A嗎？為什么？





答案與解析


1.【答案】（1）y=，y=2x﹣3；（2）x＞0；（3）點(diǎn)P′在直線上．


【解析】（1）根據(jù)題意，反比例函數(shù)y=的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1），可求得k的值，進(jìn)而可得解析式；一次函數(shù)y=kx+m的圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1），代入求得m的值，從而得出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中求得的解析式，當(dāng)y＞0時(shí)，解得對(duì)應(yīng)x的取值即可；


（3）由題意可知，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值，即可得＞2x﹣3，解得x的取值范圍即可；


（4）先根據(jù)題意求出P′的坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)的解析式即可判斷P′是否在一次函數(shù)y=kx+m的圖象上．．


試題解析：解：（1）根據(jù)題意，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+m的圖象相交于點(diǎn)A（2，1），


則反比例函數(shù)y=中有k=2×1=2，


y=kx+m中，k=2，


又∵過(guò)（2，1），解可得m=﹣3；


故其解析式為y=，y=2x﹣3；


（2）由（1）可得反比例函數(shù)的解析式為y=，


令y＞0，即＞0，解可得x＞0．


（3）根據(jù)題意，要反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值，


即＞2x﹣3，解可得x＜﹣0.5或0＜x＜2．


（4）根據(jù)題意，易得點(diǎn)P（﹣1，5）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣5）


在y=2x﹣3中，x=﹣1時(shí)，y=﹣5；


故點(diǎn)P′在直線上．


2.【答案】（1） 6（2）①3 ②y=﹣x+5


【解析】（1）將A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中，求出a的值；將A坐標(biāo)代入反比例解析式中，即可求出k的值；


（2）①由A的橫坐標(biāo)為3，得到BD=3，當(dāng)BM=DM時(shí)，求出m的值，將m代入反比例解析式中求出n的值，確定出M坐標(biāo)，三角形ODM以MD為底邊，OB為高，利用三角形的面積公式求出即可；


②由BM=2DM及BD=3，求出m的長(zhǎng)，將m的值代入反比例解析式中求出n的值，確定出M坐標(biāo)，設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，將A與M的坐標(biāo)代入得到關(guān)于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可求出直線AM的解析式．


解：（1）將A的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=ax中得：2=3a，解得：a=；


將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中得：2=，解得：k=6；


故答案為：；6；


（2）①由已知得BD=3，當(dāng)BM=DM時(shí)，m=，


當(dāng)x=時(shí)，y=4，則S△ODM=××4=3；


②由已知得BD=3，當(dāng)BM=2DM時(shí)，m=3×=2，


當(dāng)x=2時(shí)，y=3，即M（2，3），


設(shè)直線MA的解析式為y=kx+b，


將A（3，2），M（2，3）代入得：，


解得：，


∴y=﹣x+5．


3.【答案】見(jiàn)解析


【解析】（1）將B坐標(biāo)代入直線y=x﹣2中得：m﹣2=2，解得：m=4，





∴B（4，2），即BE=4，OE=2.


設(shè)反比例解析式為，


將B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，


∴反比例解析式為.


（2）設(shè)平移后直線解析式為y=x+b，C（a，a+b），


對(duì)于直線y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2，


過(guò)C作CD⊥y軸，過(guò)B作BE⊥y軸，


將C坐標(biāo)代入反比例解析式得：a（a+b）=8①，


∵，


∴②.


①②聯(lián)立，解得：b=7.


∴平移后直線解析式為y=x+7.


4.【答案】（1）I=（2）電流不可能是4A.理由見(jiàn)解析


【解析】解：（1）∵電流I（A）是電阻R（Ω）的反比例函數(shù)，∴設(shè)I=（k≠0）.


把（4，9）代入得：k=4×9=36.


∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式I=.


（2）∵當(dāng)R=10Ω時(shí)，I=3.6≠4，∴電流不可能是4A.








鞏固








1.如圖, 在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC在X軸上，點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為B（1，0），D（3，3）.





（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；


（2）若反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)直線AC上的點(diǎn)E，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，m），求 的值及反比例函數(shù)的解析式；


（3）若（2）中的反比例函數(shù)的圖象與CD相交于點(diǎn)F，連接 EF，在線段AB上（端點(diǎn)除外）找一點(diǎn)P，使得：S△PEF＝S△CEF，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).


2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)（）的圖象上．一次函數(shù)（）的圖象與該反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知，，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．





（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；


（2）連接、，求△的面積．


3.南寧市某生態(tài)示范村種植基地計(jì)劃用90畝～120畝的土地種植一批葡萄，原計(jì)劃總產(chǎn)量要達(dá)到36萬(wàn)斤．


（1）列出原計(jì)劃種植畝數(shù)y（畝）與平均每畝產(chǎn)量x（萬(wàn)斤）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；


（2）為了滿足市場(chǎng)需求，現(xiàn)決定改良葡萄品種．改良后平均每畝產(chǎn)量是原計(jì)劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了9萬(wàn)斤，種植畝數(shù)減少了20畝，原計(jì)劃和改良后的平均每畝產(chǎn)量各是多少萬(wàn)斤？





答案與解析


1.【答案】（1）C（3,0）（2）3/2，（3）(1，1)


【解析】解：（1）C（3,0）


（2）設(shè)直線AC的解析式為，則


，解得：


∴直線AC的解析式為


∵點(diǎn)E（2，m）在直線AC上


∴


∴


∵反比例函數(shù)y＝ 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E


∴


∴反比例函數(shù)的解析式為


（3）在中，當(dāng)時(shí)， ∴


過(guò)點(diǎn)C作直線PC∥EF交AB于P，


則


設(shè)直線EF的解析式為


∴ 解得： ∴


設(shè)直線PC的解析式為，并把C(3，0)代入得：


∴


當(dāng)時(shí)，y＝1 ∴點(diǎn)P(1，1)


2.【答案】（1），（2）14


【解析】解：（1）作軸，垂足為











∵，


∴


∴Rt△中，


即（，）


∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)


∴


∴該反比例函數(shù)為


∵當(dāng)時(shí)，


∴（，）


∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)


∴ 解得


∴該一次函數(shù)為


（2）對(duì)一次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，


∴（，）


∴


∴


3.【答案】（1）（≤x≤）（2）改良前畝產(chǎn)0.3萬(wàn)斤，改良后畝產(chǎn)0.45萬(wàn)斤


【解析】解：（1）由題意知：xy=36，


故（≤x≤）


（2）根據(jù)題意得：


解得：x=0.3


經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根


1.5x=0.45


答：改良前畝產(chǎn)0.3萬(wàn)斤，改良后畝產(chǎn)0.45萬(wàn)斤．





拔高








1.如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B（4，2）．





（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；


（2）求四邊形OAED的面積；


（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，若，求直線GH的函數(shù)關(guān)系式．


2.類比二次函數(shù)的圖象的平移，我們對(duì)反比例函數(shù)的圖象作類似的變換：


（1）將y=的圖象向右平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為 _________ ，再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為 _________ ；


（2）函數(shù)y=的圖象可由y=的圖象向 _________ 平移 _________ 個(gè)單位得到；y=的圖象可由哪個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到；


（3）一般地，函數(shù)y=（ab≠0，且a≠b）的圖象可由哪個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？


3.如圖所示，小華設(shè)計(jì)了一個(gè)探究杠桿平衡條件的實(shí)驗(yàn)：在一根勻質(zhì)的木桿中點(diǎn)O左側(cè)固定位置B處懸掛重物A，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，改變彈簧秤與點(diǎn)O的距離x（cm），觀察彈簧秤的示數(shù)y（N）的變化情況.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下：








（1）把上表中x，y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，用平滑曲線連接這些點(diǎn)并觀察所得的圖象，猜測(cè)y（N）與x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)彈簧秤的示數(shù)為24N時(shí)，彈簧秤與O點(diǎn)的距離是多少cm？隨著彈簧秤與O點(diǎn)的距離不斷減小，彈簧秤上的示數(shù)將發(fā)生怎樣的變化？








答案與解析


1.【答案】．（1）；（2）S=2．5；（3）解析式為


【解析】（1）∵B（4，2），點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，∴D（2，1），


∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)（k≠0）上，∴k=2×1=2，


∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為： ；


（2）∵反比例函數(shù)的關(guān)系式為，四邊形OABC是矩形，B（4，2），


∴E（4， ），∴BE=2-=，


∵D（2，1），∴S四邊形OAED=S△OAB-S△BDE=×4×2-××2=4-=2．5 ；


（3）設(shè)點(diǎn)F（a，2），H（b，0），


∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，∴ =2，解得a=1，∴CF=1，


連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2-t，


在Rt△CGF中，，GF2=CF2+CG2，即t2=（2-t）2+12，解得t= ，∴G（0，），


∵ ，∴OG2+OH2=GH2，即（）2+b2=（）2，解得b=2．5或b=-2．5（舍去），


∴H（2．5 ，0）．


設(shè)直線GH的解析式為y=kx+c（k≠0），


∵G（0， ），H（2．5，0），


∴，解得 ，


∴直線GH的解析式為y=x+．


2.【答案】（1） （2）上 1 （3）見(jiàn)解析


【解析】（1）可設(shè)新反比例函數(shù)的解析式為y=，可從原反比例函數(shù)找一點(diǎn)（1，1），向右平移1個(gè)單位得（2，1），代入解析式可得：a=﹣1．故所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為；


再向上平移1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式為．


（2）先把函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)反比例的形式y(tǒng)=+1，然后即可根據(jù)反比例函數(shù)圖象平移的性質(zhì)解答：y=可轉(zhuǎn)化為．


故函數(shù)y=的圖象可由y=的圖象向上移1個(gè)單位得到；y=的圖象可由反比例函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到．


（3）函數(shù)（ab≠0，且a≠b）可轉(zhuǎn)化為．


當(dāng)a＞0時(shí)，的圖象可由反比例函數(shù)的圖象向左平移a個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到；


當(dāng)a＜0時(shí)，的圖象可由反比例函數(shù)的圖象向右平移﹣a個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到．


3.【答案】（1）畫(huà)圖略，，（2）；示數(shù)不斷增大.


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用


先根據(jù)x，y的各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)作出圖象，根據(jù)圖象特征即可得到結(jié)果；


把代入函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)果；


根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)即可判斷隨著彈簧秤與0點(diǎn)的距離不斷減小，彈簧秤上的示數(shù)的變化情況.


（1）畫(huà)圖略，由圖象猜測(cè)之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函數(shù)，所以設(shè)


把代入得：，將其余各點(diǎn)代入驗(yàn)證均適應(yīng)，所以之間的函數(shù)關(guān)系式為：


（2）把代入得


所以當(dāng)彈簧秤的示數(shù)為24時(shí)，彈簧秤與0點(diǎn)的距離是，隨著彈簧秤與0點(diǎn)的距離不斷減小，彈簧秤上的示數(shù)不斷增大.








五 、課堂小結(jié)








本節(jié)的重要內(nèi)容：反比例函數(shù)的應(yīng)用


（1）反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用：涉及到面積和一次函數(shù)；


（2）反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：生活中成反比的實(shí)例.








六 、課后作業(yè)











基礎(chǔ)








1.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（x＜0）的圖象相交于A點(diǎn)，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，且C（2，0），當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值．





A


B


P








C


Q


y


x


O





（1）求一次函數(shù)的解析式；


（2）設(shè)函數(shù)（x＞0）的圖象與（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在（x＞0）的圖象上取一點(diǎn)P（P點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2），過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥x軸，垂足是Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．


2.如圖，直線l：y=x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上且位于C點(diǎn)左側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線分別交直線l于M、N兩點(diǎn)．





（1）求反比例函數(shù)的解析式；


（2）求AN?BM的值．


3.工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛造兩個(gè)工序，即需要將材料燒到800℃，然后停止煅燒進(jìn)行鍛造操作，經(jīng)過(guò)8min時(shí)，材料溫度降為600℃．煅燒時(shí)溫度y（℃）與時(shí)間x（min）成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時(shí)，溫度y（℃）與時(shí)間x（min）成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖）．已知該材料初始溫度是32℃．





（1）分別求出材料煅燒和鍛造時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式，并且寫(xiě)出自變量x的取值范圍；


（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于480℃時(shí)，須停止操作．那么鍛造的操作時(shí)間有多長(zhǎng)？


4.如圖所示，制作一種產(chǎn)品，需將原材料加熱，設(shè)該材料溫度為y℃，從加熱開(kāi)始計(jì)算的時(shí)間為x分鐘．據(jù)了解，該材料在加熱過(guò)程中溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系．已知該材料在加熱前的溫度為l5℃，加熱5分鐘使材料溫度達(dá)到60℃時(shí)停止加熱，停止加熱后，材料溫度逐漸下降，這時(shí)溫度y與時(shí)問(wèn)x成反比例函數(shù)關(guān)系．


（1）分別求出該材料加熱和停止加熱過(guò)程中y與x的函數(shù)關(guān)系(要寫(xiě)出x的取值范)；


（2）根據(jù)工藝要求，在材料溫度不低于30℃的這段時(shí)間內(nèi)，需要對(duì)該材料進(jìn)行特殊處理，那么對(duì)該材料進(jìn)行特殊處理所用的時(shí)間為多少分鐘?








答案與解析


1.【答案】（1）一次函數(shù)解析式為y= –x+2. （2）P（，）


【解析】（1）∵x

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

3 反比例函數(shù)的應(yīng)用

版本： 北師大版

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