【舊知再現(xiàn)】
反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義
過反比例函數(shù)圖象上任意一點向兩坐標(biāo)軸引垂線，與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積是一個定值，為__|k|__．
【新知初探】
閱讀教材P158—P159完成下面問題：
反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用
1．反比例函數(shù)y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)與正比例函數(shù)y＝k2 x(k2≠0)
(1)當(dāng)比例系數(shù)同號時，所在象限__相同__，有__2__個交點，交點關(guān)于__坐標(biāo)原點__對稱．
(2)當(dāng)比例系數(shù)異號時，所在象限__不同__，__0__個交點．
2．反比例函數(shù)y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)與一次函數(shù)y＝k2x＋b(k2≠0)
求雙曲線y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)與一次函數(shù)y＝k2x＋b(k2≠0)的交點就是求該方程組__ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(k1,x)，,y＝k2x＋b)) __的解．
【圖表導(dǎo)思】
如圖，y＝ eq \f(k1,x) 與y＝k2x＋b交于A(1，2)，B(－2，－1)，回答下列問題：
1．求y＝ eq \f(k1,x) 和y＝k2x＋b的解．
【解析】由圖可知解為x＝1或x＝－2.
2．求 eq \f(k1,x) ＞k2x＋b的解集．
【解析】由圖可知解集為x12).
(2)結(jié)合實際，令y＝ eq \f(108,x) 中，y≤0.45，解得x≥240.
即從藥物燃燒開始，至少需要經(jīng)過240分鐘后，才能進(jìn)入室內(nèi)．
【歸納提升】
解決反比例函數(shù)應(yīng)用題的一般思路
1．從實際問題中抽象出函數(shù)模型．
2．代入已知對應(yīng)值確定待定系數(shù)，建立反比例函數(shù)關(guān)系式．
3．根據(jù)自變量的取值求出函數(shù)值．
4．根據(jù)因變量的取值求自變量．
變式一：鞏固
(2021·甘肅質(zhì)檢)某項研究表明：人的眼睛疲勞系數(shù)y與睡眠時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．其中，當(dāng)睡眠時間少于4小時(0＜t＜4)時，眼睛疲勞系數(shù)y與睡眠時間t(h)成反比例函數(shù)；當(dāng)睡眠時間不少于4小時(4≤t≤6)時，眼睛疲勞系數(shù)y是睡眠時間t的一次函數(shù)，且當(dāng)睡眠時間達(dá)到6小時后，眼睛疲勞系數(shù)為0，根據(jù)圖象，回答下列問題：
(1)求當(dāng)睡眠時間不少于4小時(4≤t≤6)時，眼睛疲勞系數(shù)y與睡眠時間t之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如果某人睡2小時后，再連續(xù)睡m小時，此時他的眼睛疲勞系數(shù)恰好減少了3，求m的值．
【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)4≤t≤6時，眼睛疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時間t的函數(shù)表達(dá)式為：y＝kt＋b(k≠0).
∵它經(jīng)過點(4，2)和(6，0)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝2，,6k＋b＝0)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝6，))
∴當(dāng)睡眠時間不少于4小時時，眼睛疲勞系數(shù)y關(guān)于睡眠時間t的函數(shù)表達(dá)式是y＝－t＋6.
(2)當(dāng)睡眠時間少于4小時(0＜t”“0)圖象上的兩點，AB⊥x軸．
(1)如圖1，當(dāng)△ABC是邊長為2的等邊三角形時，求k的值；
(2)如圖2，當(dāng)AC＝BC時，連接OA，隨著點A在反比例函數(shù)圖象上移動，四邊形OACB的面積是否為定值？若是，請用含k的代數(shù)式表示這個定值；若不是，請說明理由．
【解析】(1)如圖1，設(shè)點A(a，2)，過點C作CD⊥AB于點D，則CD＝ eq \r(3) ，BD＝1，
則C(a＋ eq \r(3) ，1)，
∵點A，C在同一個反比例函數(shù)的圖象上，
∴2a＝a＋ eq \r(3) ，∴k＝2× eq \r(3) ＝2 eq \r(3) .
(2)四邊形OACB的面積是定值，理由如下：
設(shè)A(a， eq \f(k,a) )，過點C作CD⊥AB于點D，
∵AC＝BC，
∴BD＝ eq \f(k,2a) ，即點C的縱坐標(biāo)為 eq \f(k,2a) .
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，
∴C(2a， eq \f(k,2a) )，∴CD＝a，
∴△ABC的面積為 eq \f(1,2) AB·CD＝ eq \f(1,2) · eq \f(k,a) ·a＝ eq \f(k,2) ，
∵S△OAB＝ eq \f(k,2) ，
∴四邊形OACB的面積是k，為定值．
【母題變式】
如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)與反比例函數(shù)y＝ eq \f(a,x) (a≠0)的圖象在第一象限交于A，B兩點，A點的坐標(biāo)為(m，4)，B點的坐標(biāo)為(3，2)，連接OA，OB，過B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA于C.若OC＝CA，
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求△AOB的面積；
(3)在直線BD上是否存在一點E，使得△AOE是以AO為直角邊的直角三角形，直接寫出所有可能的E點坐標(biāo)．
【解析】見全解全析
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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）九年級上冊電子課本

3 反比例函數(shù)的應(yīng)用

版本： 北師大版（2024）

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