第13講


講























相似三角形的性質(zhì)及位似















































概 述











【教學(xué)建議】


在這一講中著重講的是相似三角形的性質(zhì)，在講解本講前.先復(fù)習(xí)一下學(xué)習(xí)過的有關(guān)相似的知識(shí)，會(huì)使學(xué)生更好的理解本講中的性質(zhì).


【知識(shí)導(dǎo)圖】




















教學(xué)過程








一、導(dǎo)入








【教學(xué)建議】


本講是相似三角形的性質(zhì)為主要知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)的時(shí)候要讓注意復(fù)習(xí)回顧學(xué)過的有關(guān)相似的知識(shí)點(diǎn).


三角形相似我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過很多知識(shí)點(diǎn)，本講針對(duì)三角形和多邊形的性質(zhì)來把學(xué)習(xí)過的知識(shí)點(diǎn)綜合講述，相信本講會(huì)使同學(xué)們對(duì)于三角形的相似有一個(gè)更深入的認(rèn)識(shí).





二、知識(shí)講解








考點(diǎn)1 相似三角形的性質(zhì)








1、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)邊之比就是相似比.


2、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.


3、相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.





考點(diǎn)2 相似多邊形的性質(zhì)








1、相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段之比等于相似比，對(duì)應(yīng)周長比等于相似比，對(duì)應(yīng)面積比等于相似比的平方，而相似三角形是相似多邊形的特例，因此，相似三角形具有相似多邊形的一切性質(zhì).


2、四條邊以上的多邊形可分割成若干個(gè)三角形，相似多邊形還具有“對(duì)應(yīng)三角形相似的性質(zhì)”.


3、相似多邊形面積比等于相似比的平方，反之，相似多邊形的相似比等于面積比的算術(shù)平方根.


說明：相似多邊形的定義、性質(zhì)與相似三角形基本一致，而相似多邊形的判別與相似三角形是有區(qū)別的，對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例的三角形相似，而只有對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形才相似，所以不能把判別三角形相似的方法套用在多邊形相似上，如兩個(gè)矩形各角都相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以矩形不一定相似，又如，兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)邊成比例，但對(duì)應(yīng)角不相等，所以菱形不一定相似，另外，研究多邊形相似通常利用添加輔助線劃為三角形.





考點(diǎn)3 相似多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用








1、用來證明角相等，線段成比例.


2、證明線段的平方比.


3、證明三角形相似.





考點(diǎn)4 位似的定義和性質(zhì)


4、用于有關(guān)計(jì)算.








如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所成的直線多經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.


位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比.


說明：（1）位似圖形上任意兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)或其延長線的交點(diǎn)就是位似中心，位似中心和兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)構(gòu)成“A型”或“X型”的基本圖形.


（2）利用位似圖形的定義可將一個(gè)圖形放大或縮小.


（3）位似圖形是相似圖形的特例，不僅要求形狀相同，而且還要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn)，因此，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.











三 、例題精析








類型一 相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比





例題1








兩個(gè)相似三角形的相似比為1：2，則對(duì)應(yīng)高的比為 （ ）


1：1 B． 1：2 C． 1：3 D． 1：4





【解析】B


三角形的相似比是1：2，


那么這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比是1：2．


故選B.


【總結(jié)與反思】三角形相似的性質(zhì)即可解答此題.





類型二 相似三角形面積的比





例題1








如果兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3, 那么這兩個(gè)相似三角形的面積比為__


【解析】4：9


根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可直接得出結(jié)果．


解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，


∴這兩個(gè)相似三角形的面積比為4：9．


本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．


【總結(jié)與反思】 此題利用相似三角形的性質(zhì)來解答.





類型三：相似三角形性質(zhì)的綜合





例題1








已知：如圖，矩形DEFG的一邊DE在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上，AH是邊BC上的高，AH與GF相交于點(diǎn)K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周長．





【解析】設(shè)EF=，則GF=2．


∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．


∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC．


∴


∵AH=6，BC=12，∴．


解得=3


∴矩形DEFG的周長為18．


【總結(jié)與反思】 此題利用相似三角形的綜合性質(zhì)來解答.


類型四：位似圖形的定義與性質(zhì)





例題1








下列關(guān)于位似圖形的表述：


①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；


②位似圖形一定有位似中心；


③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；


④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．


其中正確命題的序號(hào)是（ ）


A．②③ B．①②


C．③④ D．②③④


【解析】相似圖形不一定是位似圖形，故①錯(cuò)；


位似圖形上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比，故④錯(cuò)；


其他都正確．故選A．


【總結(jié)與反思】 此題利用位似的定義即可解答.





例題2








如圖，△ABC與是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8，則=（ ）


A．18 B．12 C．32 D．16


C


O


A


B




















【解析】：△ABC與△A′B′C′是位似圖形且由OA=2AA′．


可得兩位似圖形的位似比為2：3，所以兩位似圖形的面積比為4：9，


又S△ABC=8，


∴S△A'B'C'= =18．故選A


【總結(jié)與反思】 此題利用位似的定義即可解答.





類型五：位似圖形的畫法





例題1








在如圖的方格紙中（每個(gè)小方格的邊長都是1個(gè)單位）有一點(diǎn)和．





（1）請以點(diǎn)為位似中心，把縮小為原來的一半（不改變方向），得到．


（2）請用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋龅捻旤c(diǎn)，，的位置．





【解析】本題主要考查了相似圖形里的位似作圖


運(yùn)用相似的原理，進(jìn)行圖形的擴(kuò)大或者縮小變換，要求熟練掌握相似作圖．


解：（1）利用三角形相似作圖，連接OA，OB，OC，分別找出這三條線段的中點(diǎn)A′、B′、C′，順次連接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如圖所示．





（2）描述△A′B′C′的頂點(diǎn)A′、B′、C′的位置可建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)來描述；也可說成點(diǎn)A′、B′、C′的位置分別為OA、OB、OC的中點(diǎn)等．


【總結(jié)與反思】 此題利用位似的定義和性質(zhì)即可解答.











四 、課堂運(yùn)用








基礎(chǔ)








1.兩相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3︰4，則對(duì)應(yīng)中線的比為（ ）


A．3︰4 B．9︰16 C． D．4︰3


2.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高之比是9︰16，那么它們的對(duì)應(yīng)周長之比是（ ）


A．︰4 B．4︰3 C．9︰16 D．16︰9


3.下列說法中正確的是( )


A.位似圖形可以通過平移而相互得到


B.位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行且相等


C.位似圖形的位似中心不只有一個(gè)


D.位似中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等


4.兩個(gè)相似三角形的相似比為2︰5，它們周長的差為9，則較大三角形的周長為________．


5.如果兩個(gè)相似三角形的周長分別是10cm、15cm，小三角形的面積是24cm2，那么大三角形的面積是_________cm2．


6.如圖，DC∥AB，OA=2OC，，則與的位似比是________．








答案與解析


1.【答案】A


【解】相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比．


2.【答案】C


【解析】相似三角形周長的比等于相似比，對(duì)應(yīng)高的比也等于相似比．


3.【答案】D


【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)依次分析各項(xiàng)即可判斷.


A.位似圖形是相似圖形，不可以通過平移而相互得到，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


B.位似圖形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線且對(duì)應(yīng)成比例，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


C.位似圖形的位似中心只有一個(gè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


D.位似中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等，本選項(xiàng)正確；


故選D.


4.【答案】15


【解析】設(shè)較大三角形的周長為x，則較小三角形的周長為x－9，根據(jù)周長的比等于相似比可得（x－9）︰x＝2︰5，解得x＝15，即較大三角形的周長為15


5.【答案】36.


【解析】由兩個(gè)相似三角形周長比為2：3，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，又由相似三角形周長的比等于相似比，所以大三角形的面積=小三角形的面積=36 cm2.


6.【答案】1︰2


【解析】本題考查了位似變換.


先證明△OAB∽△OCD，△OCD與OAB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都過點(diǎn)O，所以可得△OCD與△OAB的位似，即可求得△OCD與△OAB的位似比為OC：OA=1：2．


解：∵DC∥AB


∴△OAB∽△OCD


∵△OCD與OAB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都過點(diǎn)O


∴△OCD與△OAB的位似


∴△OCD與△OAB的位似比為OC：OA=1：2．





鞏固











1.如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高之比是2:3，則它們的周長比是


2.“標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表”對(duì)我們來說并不陌生，如圖是視力表的一部分，其中最上面較大的“E”與下面四個(gè)較小的“E”中是位似圖形的是 ( )





A．左上 B．左下 C．右上 D．右下


3.如圖，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-1，0).以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是2，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是


4.如圖中小方格都是邊長為1的正方形，△ABC和△A′B′C′是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上.





（1）畫出位似中心點(diǎn)O；


（2）△ABC與△A′B′C′的位似比為_______；


（3）以O(shè)為位似中心，再畫一個(gè)△A1B1C1，使它與△ABC的位似比等于1.5.





答案與解析


1.【答案】2:3


【解析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比進(jìn)行解答即可．


∵兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，


∴它們對(duì)應(yīng)周長的比為2：3．


故答案為：2：3．


2.【答案】B


【解析】解：根據(jù)位似變換的特點(diǎn)可知：最上面較大的“E”與左下較小的“E“是位似圖形．


故選B


3.【答案】-2.5


【解析】根據(jù)位似的性質(zhì)和坐標(biāo)系的知識(shí)即可解答此題


4.【答案】（2）1：2


（1）（3）如圖所示





【解析】位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線AA′、BB′的交點(diǎn)就是位似中心O．△ABC與△A′B′C′的位似比等于AB與A′B′的比，也等于AB與A′B′在水平線上的投影比，即3：6=1：2．要畫△A1B1C1，先確定點(diǎn)A1的位置，因?yàn)椤鰽1B1C1與△ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以O(shè)A1=9．再過點(diǎn)A1畫A1B1∥AB交O B′于B1，過點(diǎn)A1畫A1C1∥AC交O C′于C1．








拔高








1.例八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)合作小組在學(xué)過《圖形的相似》這一章后，發(fā)現(xiàn)可將相似三角形的定義、判定以及性質(zhì)拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我們可以定義：“長和寬之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性質(zhì)：相似矩形的對(duì)角線之比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方等等．請你參與這個(gè)學(xué)習(xí)小組，一同探索這類問題：





（1）寫出判定菱形相似的一種判定方法：若有一組角對(duì)應(yīng)相等（或兩組對(duì)角線對(duì)應(yīng)成比例），則這兩個(gè)菱形相似；


（2）如圖，將菱形ABCD沿著直線AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，試證明：四邊形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；


（3）若AC=，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，求平移的距離AA′的長．











答案與解析


1.【答案】見解析


【解析】相似多邊形的面積的比等于相似比的平方，因而已知面積的比，就可以求出邊長的比，求出A′C的長就可以解決．


解：（1）有一組角對(duì)應(yīng)相等（或兩組對(duì)角線對(duì)應(yīng)成比例）；（3分）


（2）利用AD∥A′E，AB∥A′F，得∠DAB=∠D′A′B′


再利用（1）的結(jié)論，得到證明；（6分）


（3）∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面積是菱形ABCD面積的一半，


∴菱形ABCD與菱形A′FCE的面積比為2：1，


∴對(duì)應(yīng)邊之比為：1，即AC：A′C=：1，（7分）


∵AC=，


∴A′C=1，（9分）


∴AA′=﹣1．（10分）








五 、課堂小結(jié)








本節(jié)的重要內(nèi)容：三角形、多邊形相似的性質(zhì)及位似的定義和性質(zhì)


1、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，且對(duì)應(yīng)邊之比就是相似比.


2、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比.


3、相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.


如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所成的直線多經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.








六 、課后作業(yè)











基礎(chǔ)








1.若兩個(gè)相似三角形的相似比是2∶3，則它們的對(duì)應(yīng)高線的比是 ，對(duì)應(yīng)中線的比是 ，對(duì)應(yīng)角平分線的比是 ，周長比是 ，面積比是 .


2.兩個(gè)相似三角形的相似比為2:3，它們的面積和為65，那么較大三角形的面積是______.


3.兩個(gè)相似三角形面積之比是9:25,較大的三角形的周長是20cm,則較小的三角形的周長是______cm.


4.兩個(gè)相似三角形的相似比為2 ：3，面積差為30cm2，則較小三角形的面積為 cm2．


5.如圖，已知△ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（-2，3），（-1，0）.把它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別變成原來的2倍，得到點(diǎn)，下列說法正確的是( )





A.和△ABC是位似圖形，位似中心是（1，0）.


B.和△ABC是位似圖形，位似中心是（0，0）.


C.和△ABC是相似圖形，但不是位似圖形.


D.和△ABC不是相似圖形．





答案與解析


1.【答案】1、2∶3，2∶3，2∶3，2∶3，4∶9


【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)依次填空即可.


若兩個(gè)相似三角形的相似比是2∶3，則它們的對(duì)應(yīng)高線的比是2∶3，對(duì)應(yīng)中線的比是2∶3，對(duì)應(yīng)角平分線的比是2∶3，周長比是2∶3，面積比是4∶9.


2.【答案】45


【解析】∵兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，


∴它們的面積比為4：9，


∵它們的面積之和為65，


∴較大的三角形的面積是：65×=45（cm2）


3.【答案】12


【解析】


試題分析：兩個(gè)相似三角形的面積比是9：25，


面積比是周長比的平方，


∴小三角形與打三角形的相似比是3：5．


相似三角形周長的比等于相似比，


因而設(shè)小三角形的周長為xcm，


則有x：20=3：5，


解得x=12


4.【答案】24


【解析】解：相似比為2 ：3，面積比為4 ：9，設(shè)這兩個(gè)三角形的面積分別為，


由題意得，，解得，所以較小三角形的面積為


5.【答案】B


【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可知，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（-2，3），（-1，0），把它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍，可求得直線AA′，BB′，CC′得解析式分別為y=2x，y=-x，y=0，所以可知△A′B′C′與△ABC是位似圖形，位似中心是點(diǎn)（0，0）．解答：解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（-2，3），（-1，0），把它們的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍


∴點(diǎn)A′，B′，C′的坐標(biāo)分別為（2，4），（-4，6），（-2，0）


∴直線AA′，BB′，CC′得解析式分別為y=2x，y=- x，y=0


∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于原點(diǎn)


∴△A′B′C′與△ABC是位似圖形，位似中心是點(diǎn)（0，0）





鞏固








1.已知，如圖，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，則△ABC與________是位似圖形，位似比為________；△OAB與________是位似圖形，位似比為________.





2.如果兩個(gè)位似圖形的對(duì)應(yīng)線段長分別為3cm和5cm，且較小圖形周長為30cm，則較大圖形周長為 .


3.如圖，已知圖中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則△ABC與△A1B1C1的位似中心的坐標(biāo)是 ．





4.如下圖，△ABC中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1,0），以點(diǎn)C為位似中心，在軸的下方作△ABC的位似圖形△A，B，C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B’的橫坐標(biāo)是，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（）


A. B. C. D.








5.畫出⊿ABC以點(diǎn)P為位似中心的位似圖形且⊿ABC與 ⊿A＇B＇C＇的位似比是2∶1.








答案與解析


1.【答案】△A′B′C′，7∶4，△OA′B′，7∶4


【解析】根據(jù)位似圖形的定義得到△ABC與△A′B′C′；△OAB與△OA′B′是位似圖形，再根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．由題意得△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似比為7：4；△OAB與△OA′B′是位似圖形，位似比為7：4．


2.【答案】50cm


【解析】本題考查了位似變換.


兩個(gè)位似圖形的對(duì)應(yīng)線段長分別為3cm和5cm，則相似比是3：5，而周長的比等于相似比，較小圖形周長為30cm，則較大圖形周長為50cm．


解：∵相似比是3：5，小圖形周長為30cm


∴較大圖形周長為50cm．


3.【答案】(9,0)


【解析】相似三角形的位似中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn),所以A1A、C1C的交點(diǎn)（9,0）就是位似中心.








4.【答案】見解析


【解析】點(diǎn)B、B‘向x引垂線、垂足分別為M、N


NC=NO+1


BMCB'NO（理由你懂得）





BO=(1+a）+1


因?yàn)樵诘诙笙?br/>

所以為負(fù)數(shù)


-（1+a）+1= -（a+3）


5.【答案】








【解析】延長AP，BP，CP，根據(jù)相似比，在延長線上分別截取AO，BO，CO的2倍，確定所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)A'，B'，C'再順次連接所作各點(diǎn)，即可得到放大2倍的位似圖形△A'B'C'














拔高








1.△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B．





（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．


（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．


（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的時(shí)，求線段EF的長．





2.在中，，，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交、或其延長線于、兩點(diǎn)，如圖①與②是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況．





（1）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，是否能成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出是等腰直角三角形時(shí)的長），若不能，請說明理由；


（2）三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，線段和之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖①或②加以證明；


（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)處（如圖③），當(dāng)時(shí)，和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．








答案與解析


1.【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）5


【解析】（1）圖（1）中與△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．


證明：∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，


∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，


又∵∠MDN=∠B，


∴△ADE∽△ABD，


同理可得：△ADE∽△ACD，


∵∠MDN=∠C=∠B，


∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，


∠B=∠MDN，


∴∠BAD=∠EDC，


∵∠B=∠C，


∴△ABD∽△DCE，


∴△ADE∽△DCE，


（2）△BDF∽△CED∽△DEF，


證明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°


∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，


又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，


由AB=AC，得∠B=∠C，


∴△BDF∽△CED，


∴


∵BD=CD，


∴．


又∵∠C=∠EDF，


∴△BDF∽△CED∽△DEF．


（3）連接AD，過D點(diǎn)作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分別為G，H．


∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，


∴AD⊥BC，BD=BC=6．


在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，


∴AD=8


∴S△ABC=BC?AD=×12×8=48．


S△DEF=S△ABC=×48=12．


又∵AD?BD=AB．DH，


∴DH=，


∵△BDF∽△DEF，


∴∠DFB=∠EFD


∵DG⊥EF，DH⊥BF，


∴DH=DG=．


∵S△DEF=×EF×DG=12，


∴EF==5．








2.【答案】（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，（2）OE=OF．（3）PE：PF=1：3．


【解析】（1）由題意可知，①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，由AB=BC=5，可以推出CF和OF的長度，即可推出BF的長度，②當(dāng)B與F重合時(shí)，③當(dāng)OC=FC時(shí)，根據(jù)直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，即可推出OF的長度，即可推出BF的長度；


（2）連接OB，由已知條件推出△OEB≌△OFC，即可推出OE=OF；


（3）過點(diǎn)P做PM⊥AB，PN⊥BC，結(jié)合圖形推出△PNF∽△PME，△APM∽△PNC，繼而推出PM：PN=PE：PF，PM：PN=AP：PC，根據(jù)已知條件即可推出PA：AC=1：4得出PE：PF=1：3．


試題解析：（1）△OFC是能成為等腰直角三角形，


①當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，


∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，


∴OF∥AB，


∴CF=OF=AB=，


∵AB=BC=5，


∴BF=，


②當(dāng)B與F重合時(shí)，


∵OF=OC=，


∴BF=0；


（2）如圖1，連接OB，





∵由（1）的結(jié)論可知，BO=OC=，


∵∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠C，


∴△OEB≌△OFC（ASA），


∴OE=OF．


（3）如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥BC，





∵∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，


∴∠EPM=∠FPN，


∵∠AMP=∠FNP=90°，


∴△PNF∽△PME，


∴PM：PN=PE：PF，


∵△APM和△PNC為等腰直角三角形


∴△APM∽△PNC，


∴PM：PN=AP：PC，


∵PA：AC=1：4，


∴PE：PF=1：3．





七 、教學(xué)反思








適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初三
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1、相似三角形中對(duì)應(yīng)線段的比


2、相似三角形周長的比


3、相似三角形周長的比


4、相似三角形性質(zhì)的綜合


5、位似圖形的定義


6、位似圖形的性質(zhì)


7、位似圖形的畫法
教學(xué)目標(biāo)
1、掌握三角形相似的性質(zhì).


2、掌握圖形的位似的性質(zhì)及畫法.
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握相似三角形的性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握相似三角形的性質(zhì).

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7 相似三角形的性質(zhì)

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