第16講


講























反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)















































概 述














【教學建議】


反比例函數(shù)的應用廣泛且十分重要，在教學過程中要提醒學生做好筆記.


【知識導圖】























教學過程








一、導入








【教學建議】


本講的反比例函數(shù)是一個全新的函數(shù)，圖像和性質(zhì)十分重要，在學習圖像和性質(zhì)的知識時，要提醒學生對比一次函數(shù)性質(zhì)，對反比例函數(shù)有一個更深刻的理解.


反比例函數(shù)是每年中考中的熱門考點，其形式較為簡單，但經(jīng)常結(jié)合一次函數(shù)出題，在學習本講可以對比一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，從而對函數(shù)有一個新的認識.





二、知識講解











考點1 反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)








圖像是曲線的形式，且關(guān)于原點中心對稱.


當k＞0時，圖像位于一三象限，y值隨著x值得增大而減?。?br/>

當k＜0時，圖像位于二四象限，y值隨著x值得增大而增大.


隨著x的變化，y值無限接近于0，但不等于0，即y值可取不等于0的任意值.





三 、例題精析








類型一 反比例函數(shù)圖像的分布





例題1





已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過P（－1，2），則這個函數(shù)的圖像位于（ ）


A.第二，三象限 B.第一，三象限


C.第三，四象限 D.第二，四象限


【解析】D


先把點代入函數(shù)解析式，求出k值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可：


∵知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過P（－1，2），


∴k=-1×2=-2＜0.


∴函數(shù)的圖象位于第二，四象限．


故選D．


【總結(jié)與反思】本題較為簡單，使用反比例函數(shù)的圖像分布規(guī)律即可得出答案.





類型二 反比例函數(shù)的增減性





例題1








已知反比例函數(shù)的圖象在第二、第四象限內(nèi)，函數(shù)圖象上有兩點A(，y1)、B(5，y2)，則y1與y2的大小關(guān)系為（ ）.


A、y1＞y2 B、y1＝y(tǒng)2 C、y1＜y2 D、無法確定


【解析】A


本題考查的是反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)


根據(jù)反比例函數(shù)圖象的增減性即可判斷.


圖象在第二、第四象限說明，在每一象限內(nèi)，隨的增大而增大，


，，故選A.


【總結(jié)與反思】 解答本題的關(guān)鍵是掌握反比例的函數(shù)的圖像與性質(zhì)中的增減性．





類型三 反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題





例題1








在同一坐標系中，函數(shù)和的圖像大致是（ ）


x


x


x


x


y


y


y


y


O


O


O


O





A． B． C． D．


【解析】B


當k＞0時，反比例圖象在一、三象限而一次函數(shù)也必過一、三象限且與y軸交于正半軸.故選擇B.


【總結(jié)與反思】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì).分情況討論.


類型四 反比例函數(shù)圖像中的面積問題





例題1








如圖，正方形ABOC的邊長為2，反比例函數(shù)的圖象過點A，則k的值是（ ）





A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4





【解析】D


因為圖象在第二象限，


所以k＜0，


根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知|k|=2×2=4，


所以k=﹣4．


故選D


【總結(jié)與反思】 解答本題的關(guān)鍵是掌握反比例的函數(shù)的圖像與性質(zhì).





類型五 反比例函數(shù)找規(guī)律





例題1








兩個反比例函數(shù)y=，y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P1，P2，P3，…，P2005在反比例函數(shù)y=圖象上，它們的橫坐標分別是x1，x2，x3，…，x2005，縱坐標分別是1，3，5，…，共2005個連續(xù)奇數(shù)，過點P1，P2，P3，…，P2005分別作y軸的平行線，與y=的圖象交點依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），則y2005= ．








【解析】由題意可知：P2005的坐標是（x2005，4009），


又∵P2005在y=上，


∴x2005=，


∵Q2005在y=上，且橫坐標為x2005，


∴y2005==2004．5．


【總結(jié)與反思】 解答本題的關(guān)鍵是掌握反比例的函數(shù)的圖像與性質(zhì)．





類型六 反比例函數(shù)綜合題





例題1








如圖所示，已知A（，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點，動點P（x，0）在x軸正半軸上運動，當線段AP與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是（ ）





A.（，0） B.（1，0） C.（，0） D.（，0）


【解析】D


在△ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|AP﹣BP|＜AB，延長AB交x軸于P′，當點P與點P′重合時，PA﹣PB=AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大；把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函數(shù)y=得：y1=2，y2=，即可得A（，2），B（2，）；設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入求出直線AB的解析式為y=﹣x+，所以當y=0時，x=，即P（，0），故答案選D.





【總結(jié)與反思】 解答本題的關(guān)鍵是掌握反比例的函數(shù)的圖像與性質(zhì)．








四 、課堂運用








基礎(chǔ)








y





x





y


x


x





y


y


x





1.反比例函數(shù)（k＜0）的大致圖像是（ ）

















A B C D


2.已知點(1，a)在反比例函數(shù)y= (k≠0)的圖象上，其中a=m2+2m+5(m為實數(shù))，則這個函數(shù)的圖象在第_________象限.（ ）


A.一B.二C.一、三D.二、四


3.若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，其中，則此反比例函數(shù)的圖象在（ ）


A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D(zhuǎn)．第三、四象限


4.如圖所示，過雙曲線上兩點A、B分別作x軸、y軸的垂線，若矩形ADOC與矩形BFOE的面積分別為S1、S2，則S1與S2的關(guān)系是（ ）





A. S1＜S2 B. S1=S2


C. S1＞S2 D. 不能確定


5.正比例函數(shù)y=－x與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點.AB⊥x軸于B，CD⊥y軸于D(如圖)，則四邊形ABCD的面積為（ ）





A.1 B. C.2 D.


6.已知反比例函數(shù)的圖像位于第二、四象限，則k的值可以是 (寫出滿足條件的一個k的值即可).


7.已知反比例函數(shù)的圖像的一支位于第一象限，則常數(shù)m的取值范圍是 ．


8.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，2）和（m，－2），則m的值是＿＿．





答案與解析


1.【答案】B


【解析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的特點與系數(shù)的關(guān)系解答即可．


當k＜0時，反比例函數(shù)y=的圖象在二、四象限．


故選B．


2.【答案】C


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象


先配方即可得到的范圍，從而可以判斷函數(shù)的圖象所在的象限.


，


點（1，）在第一象限，


這個函數(shù)的圖象在一、三象限，


故選C.


3.【答案】B


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)


由反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（m，3m），其中，將，代入反比例解析式中表示出k，根據(jù)m不為0，得到k恒大于0，即可得到此反比例函數(shù)圖象在第一、三象限．


由題意得，


，，


此反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，


故選B.


4.【答案】B


【解析】


試題分析：因為A，B都是雙曲線y= eq \f(k,x)（k是常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上的兩點，根據(jù)過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所圍成的矩形面積S是個定值，即，可知．


依題意可知， ，


故選B．


5.【答案】C


【解析】


試題分析：首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即，得出，再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OB=OD，得出，從而得出結(jié)果．


根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知：OB=OD，AB=CD，


∵四邊形ABCD的面積等于，


∵A（1，1），B（1，0），C（-1，-1），D（-1，0）


∴，


，


∴四邊形ABCD的面積=2．


故選C．


6.【答案】＜-2的任意數(shù)


【解析】


試題分析：解：


該反比例函數(shù)圖像位于第二，四象限，所以


k+2＜0，


∴k＜-2


故，滿足＜-2的任意數(shù)


考點：反比例函數(shù)的圖像


7.【答案】m＞1．


【解析】


試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱可得到圖象的另一分支所在的象限及m的取值范圍．


試題解析：∵反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，圖象一支位于第一象限，


∴圖象的另一分支位于第三象限；


∴m-1＞0，


∴m＞1．


8.【答案】－3


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的解析式


先把（3，2）用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將（m，－2）代入求得


設(shè)反比例函數(shù)解析式為，


圖象過點（3，2）


，


反比例函數(shù)解析式為，


當時，，解得





鞏固








1、如圖，反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象交于點（2，1），則使y1＞y2的x的取值范圍是【 】





A．0＜x＜2 B．x＞2 C．x＞2或-2＜x＜0 D．x＜－2或0＜x＜2


2.在同一直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx-k與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象大致是（ ）





3.如圖，正方形ABCD的頂點B，C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（k≠0）在第一象限的圖象經(jīng)過頂點A（m，2）和CD邊上的點E（n，），過點E的直線l交x軸于點F，交y軸于點G（0，-2），則點F的坐標是（ ）





A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）





4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，頂點A、B的坐標分別是A（1，0），B（0，﹣2），頂點C、D在雙曲線上，邊AD與軸相交于點E，=10，則k的值是（ ）





（A）16 （B）9 （C）8 （D）12


5.雙曲線y1、y2在第一象限的圖象如圖，y1=4x，過y1上的任意一點A，作x軸的平行線交y2于B，交y軸于C，若S△AOB=1，則y2的解析式是





如圖，雙曲線y=交矩形OABC的邊分別于點D、E，若BD=2AD，且四邊形ODBE的面積為8，則k=








答案與解析


1.【答案】D.


【解析】先根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的性質(zhì)求出B點坐標，由函數(shù)圖象即可得出結(jié)論：


∵反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象均關(guān)于原點對稱，∴A、B兩點關(guān)于原點對稱.


∵A（2，1），∴B（－2，－1）.


∵由函數(shù)圖象可知，當0＜x＜2或x＜－2時函數(shù)y1的圖象在y2的上方，


∴使y1＞y2的x的取值范圍是x＜－2或0＜x＜2.故選D.


2.【答案】D．


【解析】


試題分析： A、由函數(shù)y=kx-k的圖象可知k＜0，由函數(shù)y=的圖象可知k＞0，相矛盾，故A錯誤；


B、由函數(shù)y=kx-k的圖象可知k＞0，由函數(shù)y=的圖象可知k＜0，相矛盾，故B錯誤；


C、由函數(shù)y=kx-k的圖象可知k＞0，與-k＞0矛盾，故C錯誤；


D、由函數(shù)y=kx-k的圖象可知k＜0，由函數(shù)y=的圖象可知k＜0，故D正確；


故選D．


3.【答案】C．


【解析】


試題分析：∵正方形的頂點A（m，2），


∴正方形的邊長為2，


∴BC=2，


而點E（n，），


∴n=2+m，即E點坐標為（2+m，），


∴k=2?m=（2+m），解得m=1，


∴E點坐標為（3，），


設(shè)直線GF的解析式為y=ax+b，


把E（3，），G（0，-2）代入得，解得，


∴直線GF的解析式為y=x-2，


當y=0時，x-2=0，解得x=，


∴點F的坐標為（，0）．


故選C．


考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．


4.【答案】D


【解析】


試題分析：過點D作DM⊥x軸，垂足為F，交BC與點F，過點C分別作CN⊥x軸、CH⊥DM，垂足分別為N、H，


∵S四邊形BEDC=S△ABE=10，∴S△ABE=2，即BE·AO=2，∵A（1，0），∴OA=1，∴BE=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，∠ABC=∠CDA，∵DM//BE，∴∠EBC=∠EDM，∴∠CDH=∠ABO，∵∠AOB=∠CDH，∴△CDH≌△ABO，∴CH=AO=1，DH=BO=2，又∵BC//AD，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴DF=BE=4，∴S△CDF=×4×1=2，∴S四邊形BEDF=10-2=8，即BE·OM=8，∴OM=2，∴M（-2，0），∴設(shè)D（-2，m），C（-3，m-2），∴-2m=-3（m-2）=k，∴m=6，∴k=-12；


故選D．





考點：反比例函數(shù)綜合題．


5.【答案】y2=6x．


【解析】根據(jù)y1=4x，過y1上的任意一點A，得出△CAO的面積為2，進而得出△CBO面積為3，即可得出y2的解析式．


解：∵y1=4x，過y1上的任意一點A，作x軸的平行線交y2于B，交y軸于C，S△AOB=1，


∴△CBO面積為3，


∴xy=6，


∴y2的解析式是：y2=6x．


6.【答案】4


【解析】設(shè)D點的橫坐標為x，則其縱坐標為，根據(jù)BD=2AD，得到點B點的坐標為（3x，），點C的坐標為（3x，0）利用S四邊形ODBE=8，即S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD=8，得到有關(guān)k的方程求解即可．


解：設(shè)D點的橫坐標為x，則其縱坐標為，


∵BD=2AD，


∴點B點的坐標為（3x，），點C的坐標為（3x，0）


∵S四邊形ODBE=8，


∴S矩形ABCD﹣S△OCE﹣S△OAD=8，


即：3x?﹣﹣=8


解得：k=4．


故答案為4．








拔高








1.如圖，直y=mx與雙曲線y=交于點A，B．過點A作AM⊥x軸，垂足為點M，連接BM．若S△ABM=1，則k的值是（ ）





A．1B．m﹣1C．2D．m


2.如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點，交x軸的正半軸于C點，若AB:BC＝（m－1）:1（m>1），則△OAB的面積（用m表示）為（ ）





A． B． C． D．


3.如圖，直線l與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像交于A、B，且兩點與x軸的正半軸交于C點.若AB=2BC，△OAB的面積為8，則k的值為（ ）





A、6 B、9 C、12 D、18


4.如圖，在反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象上，有點P1，P2，P3，P4，…Pn，它們的橫坐標依次為1，2，3，4，…n．分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，…Sn，則S1+S2+S3+…+Sn= ．（用n的代數(shù)式表示）


5.如圖，在直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A．C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN．下列結(jié)論：


①△OCN≌△OAM；


②ON=MN；


③四邊形DAMN與△MON面積相等；


④若∠MON=450，MN=2，則點C的坐標為.


其中正確的個數(shù)是（）





A．1 B．2 C．3 D．4





答案與解析


1.【答案】A


【解析】


試題分析：利用三角形的面積公式和反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)可知．


解：由圖象上的點A、B、M構(gòu)成的三角形由△AMO和△BMO的組成，點A與點B關(guān)于原點中心對稱，


∴點A，B的縱橫坐標的絕對值相等，


∴△AMO和△BMO的面積相等，且為，


∴點A的橫縱坐標的乘積絕對值為1，


又因為點A在第一象限內(nèi)，


所以可知反比例函數(shù)的系數(shù)k為1．


故選A．


2.【答案】B


【解析】


試題分析：作AD⊥x軸于點D，BE⊥x軸于點E，根據(jù)相似三角形的判定得到△CAD∽△CBE，則CB：CA=BE：AD，而AB：BC=（m-1）：1（m＞1），則有AC：BC=m：1，AD：BE=m：1，





設(shè)A點坐標為（，m），則B點的坐標為（2,1），由反比例函數(shù)的性質(zhì)知,


因此


=


=（2-）（m+1）


=．


故選B


3.【答案】A．


【解析】 作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，先證明△CBE∽△CAD，利用相似比得到AD=3BE，設(shè)B（t，），利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到A點坐標為（，），根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得S△AOD=S△BOE，由于S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，所以S△AOB=S梯形ABED，然后利用梯形的面積公式計算即可求得．


試題解析：作AD⊥x軸于D，BE⊥x軸于E，如圖，





∵BE∥AD，


∴△CBE∽△CAD，


∴，


∵AB=2BC，


∴CB：CA=1：3，


∴，


∴AD=3BE，


設(shè)B（t，），則A點坐標為（，），


∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，


而S△AOD=S△BOE=k，


∴S△AOB=S梯形ABED=（+）?（t-t）=8，


解得:k=6．


故選A．


考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．


4.【答案】


【解析】求出P1?P2?P3?P4…的縱坐標，從而可計算出S1?S2?S3?S4…的高，進而求出S1?S2?S3?S4…，從而得出S1+S2+S3+…+Sn的值．


解答：當x=1時，P1的縱坐標為2，


當x=2時，P2的縱坐標1，


當x=3時，P3的縱坐標，


當x=4時，P4的縱坐標，


當x=5時，P5的縱坐標，


…．


則S1=1×（2-1）=2-1；


S2=1×（1-）=1-；


S3=1×（-）=-；


S4=1×（-）=-；


…


Sn=；


S1+S2+S3+…+Sn=2-1+1-+-+-+…+=2-=


故答案為：


5.【答案】C．


【解析】設(shè)正方形OABC的邊長為a，


則A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．


∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，∴△OCN≌△OAM（SAS）．結(jié)論①正確．


根據(jù)勾股定理，，，∴ON和MN不一定相等．結(jié)論②錯誤．


∵，∴．結(jié)論③正確．


如圖，過點O作OH⊥MN于點H，則





∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．


∵∠MON=450，MN=2，∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．


∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．∴，即．


由，得：，∴，∴．


解得：（舍去負值）．


∴點C的坐標為．結(jié)論④正確．∴結(jié)論正確的為①③④3個．故選C．


考點：反比例函數(shù)綜合題．








五 、課堂小結(jié)








本節(jié)的重要內(nèi)容：反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)


（1）圖像是曲線的形式，且關(guān)于原點中心對稱.


（2）當k＞0時，圖像位于一三象限，y值隨著x值得增大而減?。?br/>

當k＜0時，圖像位于二四象限，y值隨著x值得增大而增大.


（3）隨著x的變化，y值無限接近于0，但不等于0，即y值可取不等于0的任意值.























六 、課后作業(yè)











基礎(chǔ)








1.反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖像的一個交點的橫坐標為1，則反比例函數(shù)的圖像大致為（ ）





2.反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖，點M是圖像上一點，MP垂直x軸于點P，如果△MOP的面積為1，那么k的值是（ ）


y


x


O


P


M





A．1 B．2 C．4 D．


3.如圖，已知雙曲線y=（k＜0）經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OA的中點D，且與直角邊AB相交于點C．若點A的坐標為（-6，4），則△AOC的面積為（ ）





A.12 B．9 C．6 D．4


4.如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=上，第二象限的點B在反比例函數(shù)上，且OA⊥OB，tanA=，則k的值為（）





A．-2B．4 C．-4 D．2


5.練習：如圖，已知矩形OABC的面積是，它的對角線OB與雙曲線交于點D，且OB:OD＝5:3，則 ．





6.如圖，直線y=6x，y=2 3 x分別與雙曲線y=k x 在第一象限內(nèi)交于點A，B，若S△OAB=8，則k= ．





7.寫出一個圖象在第一、三象限的反比例函數(shù)的解析式 ．


8.若函數(shù)的圖象是在二、四象限的雙曲線，則m= _________ ．


9.如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限內(nèi)，那么滿足條件的正整數(shù)的值是 .


10.反比例函數(shù)y=的圖象既是_________圖形又是_________圖形，它有_________條對稱軸，且對稱軸互相_________，對稱中心是_________.








答案與解析


1.【答案】B


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖像


此題應先根據(jù)正比例函數(shù)求出交點坐標為（1，2），再代入反比例函數(shù)解析式即得結(jié)果.


把代入求出交點的縱坐標為2，即交點的坐標為（1，2），再代入求得，圖象位于一、三象限，故選B.


2.【答案】B


【解析】過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即．


由題意得：，解得，


又因為函數(shù)圖象在一象限，所以，


故選B.


3.【答案】B．


【解析】∵OA的中點是D，點A的坐標為（-6，4），∴D（-3，2），∵雙曲線y=經(jīng)過點D，∴k=-3×2=-6，∴△BOC的面積=|k|=3．又∵△AOB的面積=×6×4=12，∴△AOC的面積=△AOB的面積-△BOC的面積=12-3=9．


故選B．


考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．


4.【答案】C．


【解析】作AC⊥x軸于點C，作BD⊥x軸于點D．





則∠BDO=∠ACO=90°，則∠BOD+∠OBD=90°，


∵OA⊥OB，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠BOD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC，∴=（tanA）2=2，


又∵S△AOC=×2=1，∴S△OBD=2，∴k=-4．


故選C．


5.【答案】12


【解析】設(shè)點D的坐標為（x，y），由題意可得點B的坐標為（，），再根據(jù)矩形OABC的面積即可得到，從而求得結(jié)果.


設(shè)點D的坐標為（x，y），由題意可得點B的坐標為（，）


∵矩形OABC的面積


∴


∵圖象在第一象限，


∴


6.【答案】6


【解析】解：如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，





設(shè)點A（x1，），B（x2，），


聯(lián)立，解得，


聯(lián)立，解得，


S△OAB=S△OAC＋S梯形ACDB－S△OBD，


x2 ，


，


，


，


，


∵S△OAB=8，


∴，


解得k=6．


過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)雙曲線設(shè)出點A、B的坐標，并用直線與雙曲線解析式聯(lián)立求出點A、B的橫坐標，再根據(jù)S△OAB=S△OAC＋S梯形ACDB－S△OBD，然后列式整理即可得到關(guān)于k的方程，求解即可．


7.【答案】答案不唯一，如：y＝，


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的解析式


根據(jù)圖象在第一、三象限的反比例函數(shù)的反比例系數(shù)即可得到結(jié)果.


由題意得，只要的任意數(shù)即可，如y＝，.


8.【答案】﹣2﹣


【解析】


試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)可得出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍即可．


解：∵函數(shù)的圖象是在二、四象限的雙曲線，


∴，


解得m=﹣2﹣或m=﹣2+（不合題意舍去）．


故答案為：﹣2﹣．


9.【答案】1，2


【解析】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)


由反比例函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，解出k的范圍，在這個范圍寫出k的整數(shù)解則可．


由題意得，則滿足該條件的正整數(shù)的值是1，2.


10.【答案】軸對稱，中心對稱，2，垂直，原點


【解析】


試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可得到結(jié)果.


反比例函數(shù)y=的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，它有2條對稱軸，且對稱軸互相垂直，對稱中心是原點.





鞏固











1.若ab>0，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=在同一坐標系數(shù)中的大致圖象是（ ）





2.已知一次函數(shù)y1＝kx＋b（k＜0）與反比例函數(shù)（m≠0）的圖象相交于A、B兩點，其橫坐標分別是－1和3，當y1＞y2時，實數(shù)x的取值范圍是（ ）


A．x＜－1或0＜x＜3


B．－1＜x＜0或0＜x＜3


C．－1＜x＜0或x＞3


D．0＜x＜3


3.練習：若反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像沒有交點，則的值可以是（ ）


A. －2 B. －1 C. 1 D. 2


4.下列選項中，陰影部分面積最小的是（ ）


A．B．


C．D．


5.如圖，點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=（k≠0）上，AB∥x軸，分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為D、C，若矩形ABCD的面積是8，則k的值為（ ）





A．12B．10C．8 D．6


6.如圖，點A是反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上的一點，過點A作?ABCD，使點B、C在x軸上，點D在y軸上，則?ABCD的面積為（ ）





A．1B．3C．6D．12


7.如圖：等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線y=（k≠0）與△ABC有交點，則k的取值范圍是（ ）





A.1＜k＜2 B.1≤k≤3 C.1≤k≤4 D.1≤k＜4


8.如圖，點A是反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上任意一點，AB∥x軸并交反比例函數(shù)y=﹣的圖象于點B，以AB為邊作?ABCD，其中點C，D在x軸上，則?ABCD的面積為（ ）





A.3 B.5 C.7 D.9


9.如圖，點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（ ）





A.1 B.2 C.3 D.4





答案與解析


1.【答案】B


【解析】A、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＜0，b＜0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＜0，故不符合題意，本選項錯誤；B、根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＞0，b＞0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＞0，故符合題意，本選項正確；


根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＜0，b＞0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＞0，故不符合題意，本選項錯誤；


根據(jù)一次函數(shù)可判斷a＞0，b＞0，根據(jù)反比例函數(shù)可判斷ab＜0，故不符合題意，本選項錯誤；


故選A．


2.【答案】A


【解析】簡要畫出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象如下，由圖可知當y1＞y2時，x＜－1或0＜x＜3，故選A．





3.【答案】A.


【解析】先把兩函數(shù)的解析式組成方程組，再轉(zhuǎn)化為求一元二次方程解答問題，求出k的取值范圍，找出符合條件的k的值即可．


∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y=x+2的圖象沒有交點，


∴無解，即=x+2無解，整理得x2+2x-k=0，


∴△=4+4k＜0，解得k＜-1，四個選項中只有-2＜-1，所以只有A符合條件．


故選A．


4.【答案】C


【解析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義對各選項進行逐一分析即可．


解：A、∵M、N兩點均在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴S陰影=2；


B、∵M、N兩點均在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴S陰影=2；


C、如圖所示，分別過點MN作MA⊥x軸，NB⊥x軸，則S陰影=S△OAM+S陰影梯形ABNM﹣S△OBN=×2+（2+1）×1﹣×2=；





D、∵M、N兩點均在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴×1×4=2．


∵＜2，


∴C中陰影部分的面積最?。?br/>

故選C．


5.【答案】A


【解析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在第一象限判斷出k的符號，再延長線段BA，交y軸于點E，由于AB∥x軸，所以AE⊥y軸，故四邊形AEOD是矩形，由于點A在雙曲線y=上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE﹣S矩形AEOD即可得出k的值．


解：∵雙曲線y=（k≠0）在第一象限，


∴k＞0，


延長線段BA，交y軸于點E，


∵AB∥x軸，


∴AE⊥y軸，


∴四邊形AEOD是矩形，


∵點A在雙曲線y=上，


∴S矩形AEOD=4，


同理S矩形OCBE=k，


∵S矩形ABCD=S矩形OCBE﹣S矩形AEOD=k﹣4=8，


∴k=12．


故選A．





6.【答案】C


【解析】過點A作AE⊥OB于點E，則可得?ABCD的面積等于矩形ADOE的面積，繼而結(jié)合反比例函數(shù)的k的幾何意義即可得出答案．


解：過點A作AE⊥OB于點E，





因為矩形ADOE的面積等于AD×AE，平行四邊形ABCD的面積等于：AD×AE，


所以?ABCD的面積等于矩形ADOE的面積，


根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義可得：矩形ADOC的面積為6，即可得平行四邊形ABCD的面積為6．


故選C．


7.【答案】C．


【解析】點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，則把x=1代入y=x解得y=1，則A的坐標是（1，1），


∵AB=AC=2，


∴B點的坐標是（3，1），


∴BC的中點坐標為（2，2）


當雙曲線y=經(jīng)過點（1，1）時，k=1；


當雙曲線y=經(jīng)過點（2，2）時，k=4，


因而1≤k≤4．


故選C．


考點：1.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；2.等腰直角三角形．


8.【答案】B


【解析】連結(jié)OA、OB，如圖，AB交y軸于E，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△OAE=1，S△OBE=，則S△OAB=，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解．


連結(jié)OA、OB，如圖，AB交y軸于E，∵AB∥x軸，∴S△OAE=×|2|=1，S△OBE=×|﹣3|=，∴S△OAB=，


∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴?ABCD的面積=2S△OAB=5．





考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義


9.【答案】B.


【解析】如圖，延長BA交y軸于點E，由已知易得AE⊥y，已知點A在雙曲線y=上，點B在雙曲線y=上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得四邊形AEOD的面積為1，四邊形BEOC的面積為3，所以四邊形ABCD的面積為3﹣1=2．故答案選B．





考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義．








拔高








1.一次函數(shù)y=-kx+4與反比例函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，點（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函數(shù)圖象上的三個點，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（ ）


A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3


C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1


2.如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在x軸上，BC∥AO，AB⊥AO，過點C的雙曲線交OB于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面積等于3，則k的值（ ）





A．等于2B．等于C．等于D．無法確定


3.如圖，A、B是雙曲線上的點，分別過A、B兩點作x軸、y軸的垂線段．S1，S2，S3分別表示圖中三個矩形的面積，若S3=1，且S1+S2=4，則k值為 （ ）





A．1B．2C．3D．4


4.如圖，直線y1=x+b與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y2=-（x＜0）交于C，D兩點，點C的橫坐標為-1，過點C作CE⊥y軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F．下列說法：①b=6；②BC=AD；③五邊形CDFOE的面積為35；④當x＜-2時，y1＞y2，其中正確的有（ ）





A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


5.如圖，兩雙曲線y=與y=-分別位于第一、四象限，A是y軸上任意一點，B是y=-上的點，C是y=上的點，線段BC⊥x軸于點 D，且4BD=3CD，則下列說法：①雙曲線y=在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；②若點B的橫坐標為3，則點C的坐標為（3，-）；③k=4；④△ABC的面積為定值7，正確的有（ ）





A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


6.已知反比例函數(shù)的圖象，當x取1，2，3，…，n時，對應在反比例圖象上的點分別為M1，M2，M3…，Mn，則= ．








答案與解析


1.【答案】D．


【解析】一次函數(shù)y=-kx+4與反比例函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即：-kx+4=有解，


∴-kx2+4x-k=0，△=16-4k2＞0，k2＜4，


∴2k2-9＜-1＜0，


∴函數(shù)圖象在二、四象限，


如圖，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，


∵-1＜-，


0＜y2＜y1，


∵當x=時，y3＜0，


∴y3＜y2＜y1，


故選D．


2.【答案】B


【解析】先設(shè)出B點坐標，即可表示出C點坐標，根據(jù)三角形的面積公式和反比例函數(shù)的幾何意義即可解答．


解：方法1：設(shè)B點坐標為（a，b），


∵OD：DB=1：2，


∴D點坐標為（a，b），


根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，


∴a?b=k，


∴ab=9k①，


∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函數(shù)y=的圖象上，


∴設(shè)C點橫坐標為m，


則C點坐標為（m，b）


將（m，b）代入y=得，


m=，


BC=a﹣，


又因為△OBC的高為AB，


所以S△OBC=（a﹣）?b=3，


所以（a﹣）?b=3，


（a﹣）b=6，


ab﹣k=6②，


把①代入②得，


9k﹣k=6，


解得k=．


方法2：延長BC交y軸于E，過D作x軸的垂線，垂足為F．


由△OAB的面積=△OBE的面積，△ODF的面積=△OCE的面積，


可知，△ODF的面積=梯形DFAB=△BOC的面積=，


即k=，


k=．


故選B．





3.【答案】C


【解析】根據(jù)S1+S2=4，S1=S2，得出S1，再根據(jù)S3=1，得出S1+S3得值，即可求出k=3．


解：∵S1+S2=4，


∴S1=S2═2，


∵S3=1，


∴S1+S3=1+2=3，


∴k=3


故選C．


4．【答案】B．


【解析】①由反比例函數(shù)y2=-（x＜0）經(jīng)過C，點C的橫坐標為-1，得


y=-=5，即C（-1，5）．


反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于C、D點，


5=-1+b，解得b=6，故①正確；


②CE⊥y軸于E點，E（0，-5），BE=6-5=1．


反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于C、D點，聯(lián)立


，


x2+6x+5=0


解得x1=-5，x2=-1，當x=-5時，y=-5+6=1，即D（-5，1），即DF=1，


在△ADF和△CBE中，


，


△ADF≌△CBE（AAS），AD=BC，故②正確；


③作CG⊥x軸．


，


S△CDFOE=S梯形DFGC+S矩形CGOE=


==17，故③錯誤；


④由一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的部分，得-5＜x＜-1，


即當-5＜x＜-1時，y1＞y2，故④錯誤；


故選B．


考點：反比例函數(shù)綜合題．


5.【答案】B．


【解析】①∵雙曲線y=在第一象限，


∴k＞0，


∴在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，故①正確；


②∵點B的橫坐標為3，


∴y=-=-1，


∴BD=1，


∵4BD=3CD，


∴CD=，


∴點C的坐標為（3，），故②錯誤；


③∵點C的坐標為（3，），


∴k=3×=4，故③正確；


④設(shè)B點橫坐標為：x，則其縱坐標為：-，故C點縱坐標為：，


則BC=+=，


則△ABC的面積為：，故此選項錯誤．


故選B．


考點：1.反比例函數(shù)的性質(zhì)；2.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；3.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．


6.【答案】


【解析】延長MnPn﹣1交M1P1于N，先根據(jù)反比例函數(shù)上點的坐標特點易求得M1的坐標為（1，1）；Mn的坐標為（n，）；然后根據(jù)三角形的面積公式得=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn，而P1M2=P2M3=…=Pn﹣1Mn=1，則=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1），經(jīng)過平移得到面積的和為M1N，于是面積和等于（1﹣），然后通分即可．


解：延長MnPn﹣1交M1P1于N，如圖，





∵當x=1時，y=1，


∴M1的坐標為（1，1）；


∵當x=n時，y=，


∴Mn的坐標為（n，）；


∴=P1M1×P1M2+M2P2×P2M3+…+Mn﹣1Pn﹣1×Pn﹣1Mn=（M1P1+M2P2+…+Mn﹣1Pn﹣1）


=M1N


=（1﹣）


=．


故答案為．




















七 、教學反思











適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初三
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
反比例函數(shù)圖像的分布


反比例函數(shù)的增減性


反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題


反比例函數(shù)圖像中的面積問題


反比例函數(shù)找規(guī)律


反比例函數(shù)綜合題
教學目標
1、掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).


2、掌握反比例函數(shù)K值的幾何意義.
教學重點
能熟練掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).
教學難點
反比例函數(shù)K值的幾何意義.

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2 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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