思維導(dǎo)圖





新課標(biāo)要求


1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念。


2.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程。


3.掌握空間向量的線性運(yùn)算。


4. 掌握空間向量的數(shù)量積。





知識(shí)梳理


1.空間向量的概念


與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模，空間向量用字母...表示.


2.幾個(gè)常見的向量


3.向量的線性運(yùn)算


交換律：；


結(jié)合律：；


分配律：.


4.共面向量


平行于同一平面的向量,叫做共面向量.


5.空間向量的數(shù)量積





零向量與任意向量的數(shù)量積為0.





名師導(dǎo)學(xué)


知識(shí)點(diǎn)1 空間向量的有關(guān)概念


【例1-1】（2019秋?咸陽期末）已知是空間的一個(gè)單位向量，則的相反向量的模為


A. 1B. 2C. 3D. 4


【變式訓(xùn)練1-1】（2019秋?龍巖期末）在平行六面體中，與向量相等的向量共有


A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)





知識(shí)點(diǎn)2 空間向量的線性運(yùn)算


【例2-1】（2019秋?泰安期末）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，O為AC的中點(diǎn)．





化簡(jiǎn)：________；


用，，表示，則________．


【例2-2】（2019秋?河西區(qū)期末）在三棱錐中，，，，D為BC的中點(diǎn)，則


A. B.


C. D.


【變式訓(xùn)練2-1】（2020?東湖區(qū)校級(jí)一模）在空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則


A. B. C. D.


【變式訓(xùn)練2-2】（2019秋?隨州期末）如圖，已知長(zhǎng)方體，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．





；


．

















知識(shí)點(diǎn)3 共面向量


【例3-1】（2019秋?珠海期末）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M滿足．


，，三個(gè)向量是否共面


點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)

















【變式訓(xùn)練3-1】（2019秋?日照期末）如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且，．





求證：向量，，共面．























知識(shí)點(diǎn)4 空間向量的數(shù)量積


【例4-1】（2019秋?溧陽市期末）已知長(zhǎng)方體中，，，E為側(cè)面的中心，F(xiàn)為的中點(diǎn)試計(jì)算：





．

















【變式訓(xùn)練4-1】（2019秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：














．














名師導(dǎo)練


A組-[應(yīng)知應(yīng)會(huì)]


1. （2019春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）長(zhǎng)方體中，若，，，則等于


A. B.


C. D.


2. （2019秋?秦皇島期末）若空間四邊形OABC的四個(gè)面均為等邊三角形，則的值為


A. B. C. D. 0


3. （2019秋?定遠(yuǎn)縣期末）給出下列幾個(gè)命題：


向量，，共面，則它們所在的直線共面；


零向量的方向是任意的；


若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使．


其中真命題的個(gè)數(shù)為


A. 0B. 1C. 2D. 3


4. （2019秋?葫蘆島期末）在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是


A. ；B. ；


C. D.


5.（多選）（2020春?點(diǎn)軍區(qū)校級(jí)月考）已知為正方體，下列說法中正確的是


A．


B．


C．向量與向量的夾角是


D．正方體的體積為


6. （2019秋?都勻市校級(jí)期中）空間的任意三個(gè)向量，，，它們一定是________向量填“共面”或“不共面”．


7. （2020?池州模擬）給出以下結(jié)論：


兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；


若空間向量，，滿足，則；


在正方體中，必有；


若空間向量，，滿足，，則．


其中不正確的命題的序號(hào)為________．


8．（2019秋?未央?yún)^(qū)校級(jí)期末）為空間中任意一點(diǎn)，，，三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù) ．


9．（2018秋?天津期末）在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且是棱中點(diǎn)，則的值為 ．


10. （2019秋?三明期中）如圖所示，在正六棱柱中





化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出表示化簡(jiǎn)結(jié)果的向量


化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出表示化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．














11. （2019秋?都勻市校級(jí)期中）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面求證：．




















12．（2019秋?西夏區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，平行六面體中，、分別在和上，且，


（1）求證：、、、四點(diǎn)共面；


（2）若，求的值．


























B組-[素養(yǎng)提升]


1.（多選）（2019秋?三明期中）定義空間兩個(gè)向量的一種運(yùn)算，，則關(guān)于空間向量上述運(yùn)算的以下結(jié)論中恒成立的有


A．


B．


C．


D．若，，，，則


零向量
長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量
單位向量
模為1的向量叫做單位向量
相反向量
與向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記做
共線向量
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量。我們規(guī)定：零向量與任意向量平行.
相等向量
方向相同且模相等的向量叫做相等向量

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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