思維導圖





新課標要求


回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程





知識梳理


一、 圓的定義及圓的標準方程


1．圓的定義


平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓．


其中定點是圓的圓心；定長是圓的半徑．


2．圓的標準方程[來





二、 點與圓的位置關(guān)系


點與圓有三種位置關(guān)系，即點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)．判斷點與圓的位置關(guān)系有兩種方法：


(1)幾何法：將所給的點M與圓心C的距離跟半徑r比較：


若|CM|＝r，則點M在圓上；


若|CM|>r，則點M在圓外；


若|CM|r2；


點M(m，n)在圓C內(nèi)?(m－a)2＋(n－b)20時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)．


2．當D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))．


3．當D2＋E2－4F0)．則其位置關(guān)系如下表：





名師導學


知識點1 求圓的標準方程


【例1－1】 已知圓過兩點A(3，1)，B(－1，3)，且它的圓心在直線3x－y－2＝0上，求此圓的標準方程．














【例1－2】 △ABC的三個頂點分別為A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求其外接圓的標準方程．

















【變式訓練1-1】圓心為(1，1)且過原點的圓的標準方程是( )


A．(x－1)2＋(y－1)2＝1


B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1


C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2


D．(x－1)2＋(y－1)2＝2





知識點2 點與圓的位置關(guān)系的判斷


【例2-1】已知點A(1，2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍．














【變式訓練2-1】已知a，b是方程x2－x－eq \r(2)＝0的兩個不等的實數(shù)根，則點P(a，b)與圓C：x2＋y2＝8的位置關(guān)系是( )


A．點P在圓C內(nèi) B．點P在圓C外


C．點P在圓C上 D．無法確定





知識點3 與圓有關(guān)的最值問題


【例3-1】已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點A(1，0)，B(5，0)，


(1)求此圓的標準方程；


(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點，求P(x，y)到直線x－y＋1＝0的距離的最大值和最小值．























【變式訓練3-1】已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0，1)，設(shè)P是圓C上的動點，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．

















知識點4 圓的一般方程的概念


【例4-1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓，求實數(shù)m的取值范圍，并寫出圓心坐標和半徑．

















【變式訓練4-1】(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標和半徑分別為________；


(2)點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為________．





知識點5 求圓的一般方程


【例5-1】已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圓的方程．


























【變式訓練5-1】已知圓經(jīng)過點(4，2)和(－2，－6)，該圓與坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程．




















知識點6 求動點的軌跡方程


【例6-1】求到點O(0，0)的距離是到點A(3，0)的距離的eq \f(1,2)的點的軌跡方程．














【例6-2】已知點P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程．




















【例6-3】已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點C的軌跡方程．























【變式訓練6-1】如圖，已知線段AB的中點C的坐標是(4，3)，端點A在圓(x＋1)2＋y2＝4上運動，求線段AB的端點B的軌跡．

















名師導練


2.4.1 圓的標準方程


A組-[應(yīng)知應(yīng)會]


1．圓(x－1)2＋(y＋eq \r(3))2＝1的圓心坐標是( )


A．(1，eq \r(3)) B．(－1，eq \r(3))


C．(1，－eq \r(3)) D．(－1，－eq \r(3))


2．圓心是O(－3，4)，半徑長為5的圓的方程為( )


A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5


B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25


C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5


D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25


3．圓心在y軸上且過點(3，1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是( )


A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0


C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0


4．已知A(－1，4)，B(5，－4)，則以AB為直徑的圓的標準方程是________．


5．與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圓心，且過點P(－1，1)的圓的標準方程是________．


6．求過點A(1，2)和B(1，10)且與直線x－2y－1＝0相切的圓的方程．











7．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸相切，求該圓的標準方程．














B組-[素養(yǎng)提升]


8．若實數(shù)x，y滿足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，則x2＋y2的最小值為( )


A．2 B．1 C.eq \r(3) D.eq \r(2)


9．已知一圓的圓心為點A(2，－3)，一條直徑的端點分別在x軸和y軸上，則圓的方程是( )


A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13


C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52


10．圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于點A，B，若|AB|＝eq \r(3)，則該圓的標準方程是________．[K]


11．圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________．


12．已知x，y滿足(x－1)2＋y2＝1，求S＝eq \r(x2＋y2＋2x－2y＋2)的最小值．











源:學&科&網(wǎng)Z&X&X&K]


13．一個等腰三角形ABC底邊上的高等于4，底邊兩端點的坐標分別是B(－3，0)和C(3，0)，求它的外接圓的方程．

















2.4.2 圓的一般方程


A組-[應(yīng)知應(yīng)會]


1．已知ab

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高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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