高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)1.4 空間向量的應(yīng)用當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖

新課標(biāo)要求

①能用向量語(yǔ)言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量。

②能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系。

③能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理。

④能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用。

知識(shí)梳理

1．空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)向量確定，這個(gè)向量叫做直線的方向向量．

2．若直線l垂直于平面α，取直線l的方向向量a，則a⊥α，則a叫做平面α的法向量．

3.(1)線線垂直：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，則l⊥m?a⊥b?a·b＝0.

(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為u，則l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R.

(3)面面垂直：若平面α的法向量為u，平面β的法向量為ν，則α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.

4．設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|).

5．設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).

6．設(shè)二面角α－l－β的平面角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).

名師導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)1 直線的方向向量與平面的法向量

【例1-1】（2020春·焦作期末）若點(diǎn)，在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為

A. B. C. D.

【分析】

本題考查直線的方向向量，向量的共線定理，屬于基礎(chǔ)題．

先由題意求出2，，再由選項(xiàng)判斷與共線的向量即可．

【解答】

解：因?yàn)?，，而2，，

所以是直線l的一個(gè)方向向量．

故選A．

【例1-2】（2020春?廣州期末）（2020春?武侯區(qū)校級(jí)期末）設(shè)是直線l的方向向量，是平面的法向量，則

A. B. C. 或D. 或

【分析】本題考查空間線面位置關(guān)系、法向量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

利用空間線面位置關(guān)系、法向量的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．

【解答】

解：，

，

或，

故選D．

【變式訓(xùn)練1-1】（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則能使的是

A. B.

C. D.

【分析】本題考查了運(yùn)用空間向量判斷線面平行，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)時(shí)，，分別判斷A、B、C、D是否滿足條件即可．

【解答】

解：若，則，

而A中，不滿足條件；

B中，不滿足條件；

C中，不滿足條件；

D中，滿足條件．

故選D．

【變式訓(xùn)練1-2】（2020?東陽(yáng)市模擬）已知，，分別是平面，，的法向量，則，，三個(gè)平面中互相垂直的有

A. 3對(duì)B. 2對(duì)C. 1對(duì)D. 0對(duì)

【分析】

本題考查利用空間向量研究平面垂直問題，屬基礎(chǔ)題．

依題意，分別求出，，即可求得結(jié)果．

【解答】

解：，，，

，所以與不垂直，

，所以與不垂直，

，所以與不垂直，

故選D．

知識(shí)點(diǎn)2 用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系

【例2-1】（2020?浙江模擬）已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．求證：．

【分析】本題考查利用空間向量法判定線性垂直及平行，屬于基礎(chǔ)題．

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，得，EF與AC不共線，故．

【解答】證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0，，，0，，1，．

，

由于，顯然，

故．

又EF與AC不共線，故．

【例2-2】（2020?柯城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面ABCD，且，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．

求證：平面AEC．

【解答】證明如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，

AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，

設(shè)，，則有0，，b，，0，，0，，

0，，b，，

由已知得，，，

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，

則且，可得1，，

，，

又平面AEC，平面AEC．

【例2-3】（2020春?金華期末）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱，，，的中點(diǎn)，求證：平面平面EFBD．

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面平行的判斷，利用向量證明面面平行，難度中檔．

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，可證得：平面EFBD，平面EFBD，進(jìn)而得到平面平面EFBD．

【解答】證明：由題意，正方體的棱長(zhǎng)為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，0，，

2，，4，，2，，4，．

取MN的中點(diǎn)K，EF的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O，

則2，，1，，3，．

2，，2，，1，，1，，

，，

，，

平面EFBD，平面EFBD，

平面平面EFBD．

【變式訓(xùn)練2-1】（2020春?宿遷期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)P在棱上，且，點(diǎn)S在棱上，且，點(diǎn)Q、R分別是棱、AE的中點(diǎn)．

求證：．

【分析】本題考查了利用空間向量平行的判斷，是容易題．建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的共線關(guān)系進(jìn)行證明．

【解答】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，4，，0，，0，，

4，．

，，

Q，R分別是棱，AE的中點(diǎn)，

，2，，2，，．

于是．

．

，．

【變式訓(xùn)練2-2】（2020春?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：

平面ADE；

平面平面F.

【分析】本題考查利用空間向量證明線性、線面平行．

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面ADE的法向量，由，又平面ADE，推證結(jié)果；

進(jìn)一步求出平面的法向量，由兩個(gè)平面的法向量平行推證結(jié)果．

【解答】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，2，，2，，2，，0，，

所以，，．

設(shè)，分別是平面ADE、平面的法向量，

則，，

取，則．

同理可求．

，

，又平面ADE，

平面ADE．

，平面平面F.

知識(shí)點(diǎn)3 用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系

【例3-1】（2020春?揚(yáng)州期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，且，M為PC的中點(diǎn)．

求證：

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量證明直線垂直，屬于中檔題．由可得

【解答】證明：結(jié)合圖形，知，，

則，

所以，

即．

【例3-2】（2020?上城區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，DC的中點(diǎn)，求證：平面F.

【分析】本題考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面F.

【解答】證明：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則0，，，0，，0，，．

，

，，

，，

，．

即，，

又，

平面F.

【例3-3】（2020春?點(diǎn)軍區(qū)校級(jí)月考）如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABCD，，，M為EC的中點(diǎn)，求證：平面平面CDE．

【分析】本題主要考查利用空間向量證明面面垂直．首先利用空間向量證明線面垂直，即可得面面垂直．

【解答】證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

設(shè)，依題意得0，，

1，，2，，1，，0，，．

則，，，

，，

又，，

又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．

【變式訓(xùn)練3-1】（2020?三明模擬）已知空間四邊形ABCD中，，，求證：．

【分析】本題主要考查了利用空間向量證明線線垂直，是基礎(chǔ)題．

將用、表示；用、表示；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出；最后根據(jù)數(shù)量積為0判斷出垂直．

【解答】證明：，，

，，

．

，從而．

【變式訓(xùn)練3-2】（2020?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上．F在何處時(shí)，平面PBC？

【分析】本題考查空間直線與平面垂直的判定以及線線垂直的判定，屬基礎(chǔ)題目．

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向量判斷線線垂直和線面垂直．

【解答】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AD，AB，AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，，0，，

0，．，，

設(shè)y，，則．

平面PBC，，，

即，，

在PC上，可令，

則，

將，代入可得，，

則，

此時(shí)F為PC的中點(diǎn)．

【變式訓(xùn)練3-3】（2020春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）在四面體ABCD中，平面BCD，，，，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點(diǎn)，求證：平面平面ABC．

【分析】本題主要考查了空間向量在立體幾何中證明垂直的應(yīng)用．

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出向量的坐標(biāo)，計(jì)算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理證得結(jié)論．

【解析】證明：建系如圖，

取0，，

則易得0，，，，，，

則有，，，

，，，．

又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．

知識(shí)點(diǎn)4 用空間向量研究空間中的距離問題

【例4-1】（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，平面ABCD，且，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．

求點(diǎn)D到平面PEF的距離；

求直線AC到平面PEF的距離．

【分析】本題目主要考查空間兩點(diǎn)的距離公式，空間直角坐標(biāo)系，屬于一般題．

（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PEF的法向量，再得點(diǎn)D到平面PEF的距離．

（2）通過E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，，平面PEF，所以平面PEF，再得直線AC到平面PEF的距離．

【解答】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，0，，1，，，．

，，0，．

設(shè)平面PEF的法向量為y，，

則即

解得，令，得2，，

因此，點(diǎn)D到平面PEF的距離為．

由知0，，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，

所以，

又平面PEF，

所以平面PEF，

所以AC到平面PEF的距離為．

【變式訓(xùn)練4-1】（2020春?房山區(qū)期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，．

求點(diǎn)D到平面PBC的距離；

求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

【分析】本題考查利用空間距離的求法，屬基礎(chǔ)題．

依題意，建立空間坐標(biāo)系，求出平面PBC的法向量，

根據(jù)D到平面PBC的距離，計(jì)算即可．

根據(jù)中的數(shù)值，利用點(diǎn)A到平面PBC的距離，計(jì)算即可．

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0，，，2，，2，，0，．

0，，2，，0，．

設(shè)平面PBC的法向量為y，，則

令，則，，．

點(diǎn)D到平面PBC的距離．

由知，平面PBC的法向量為，

則點(diǎn)A到平面PBC的距離．

知識(shí)點(diǎn)5 用空間向量研究空間中的夾角問題

【例5-1】（2020春?寶山區(qū)校級(jí)期末）如圖，ABCD為矩形，AB＝2，AD＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，求異面直線PB與AC所成角的余弦值．

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解．

【解】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

則A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，

則eq \(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,4,0)．

設(shè)PB與AC所成的角為θ，

則cs θ＝eq \f(|\(PB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))|,|\(PB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,\r(22＋?－3?2)×\r(22＋42))＝eq \f(4,\r(13)×2\r(5))＝eq \f(2\r(65),65).

【例5-2】（2020春?常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，求AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值．

【分析】解決此類問題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式求解．

【解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E－xyz，其中坐標(biāo)原點(diǎn)E為A1C1的中點(diǎn)，

設(shè)棱長(zhǎng)為1，則

Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，

eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，－1)).

顯然平面ACC1A1的一個(gè)法向量為n＝(0,1,0)，

設(shè)AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角為θ，

則sin θ＝|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·n|,|\(AB1,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq \f(\r(6),4).

∴AB1與面ACC1A1所成的角的正弦值為eq \f(\r(6),4).

【例5-3】（2020?漳州三模）已知，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝eq \r(2).求二面角A－PB－C的余弦值．

【分析】解答本題可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線，利用兩線的方向向量所成的角求解．

【解】解法一：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(eq \r(2)，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，

∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，1,0)．

設(shè)平面PAB的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，

由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AP,\s\up6(→))＝0，,n1·\(AB,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z1＝0，,\r(2)x1＋y1＝0.))

令x1＝1，則n1＝(1，－eq \r(2)，0)．

又eq \(CP,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)，0,0)．

設(shè)平面PBC的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，

由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(CP,\s\up6(→))＝0，,n2·\(CB,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－y2＋z2＝0，,\r(2)x2＝0.))

令z2＝1，則n2＝(0,1,1)．

∴cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(－\r(2),\r(3)×\r(2))＝－eq \f(\r(3),3).

∵所求二面角為銳角，

∴二面角A－PB－C的余弦值為eq \f(\r(3),3).

解法二：如圖所示，取PB的中點(diǎn)D，連接CD.

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.

∴PC＝ eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(2).

∵PC＝BC＝eq \r(2)，∴CD⊥PB.

作AE⊥PB于E，

那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于eq \(DC,\s\up6(→))與eq \(EA,\s\up6(→))的夾角θ.

∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，

∴PC⊥BC.

∴PB＝ eq \r(PC2＋BC2)＝2.

∴PD＝1，PE＝eq \f(PA2,PB)＝eq \f(1,2).

∴DE＝PD－PE＝eq \f(1,2).

又∵AE＝eq \f(AP·AB,PB)＝eq \f(\r(3),2)，CD＝1，AC＝1，

eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，

且eq \(AE,\s\up6(→))⊥eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(ED,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，

∴|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝|eq \(AE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2|eq \(AE,\s\up6(→))|·|eq \(DC,\s\up6(→))|·cs(π－θ)，

即1＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＋1－2×eq \f(\r(3),2)×1×cs θ，解得cs θ＝eq \f(\r(3),3)，

故二面角A－PB－C的余弦值為eq \f(\r(3),3).

【變式訓(xùn)練5-1】（2020春?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．

求異面直線與DM所成角的余弦值

求直線與平面所成角的正弦值

求平面與平面ABCD所成角的正弦值．

【分析】本題主要考查了利用空間向量求線線、線面、面面的夾角，是中檔題．

在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．

由以及即可求得；

先求出平面的法向量，再利用夾角公式求解即可；

先求出平面ABCD的法向量以及平面與平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．

【解答】解：在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?，所以?br/>

則．

由題意得，

則，

異面直線與DM所成角的余弦值為；

由題意知，設(shè)平面的法向量為，

則，解得，

，

直線與平面所成角的正弦值為；

在正四棱柱中，，

平面ABCD的法向量為，

，

平面與平面ABCD所成角的余弦值為，

則，

平面與平面ABCD所成角的正弦值為．

名師導(dǎo)練

A組-[應(yīng)知應(yīng)會(huì)]

1. （2020春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若直線l的方向向量為0，，平面的法向量為0，，則

A. B. C. D. l與斜交

【分析】本題考查利用空間向量判斷線面的位置關(guān)系屬基礎(chǔ)題．

由直線l的方向向量與平面的法向量共線，判斷結(jié)論即可．

【解答】解：，，，．

故選B．

2. （2020?安徽模擬）已知，，，則向量與向量的夾角為

A. B. C. D.

【分析】本題考查利用空間向量的數(shù)量積求向量夾角，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)空間向量夾角公式求解即可．

【解答】解：，

，

，

向量與的夾角為．

故選C．

3. （2020?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知四邊形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，則SC與平面ABCD所成的角的余弦值為

A. B. C. D.

【分析】本題主要考查利用空間向量求直線與平面的所成角，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題。

由題意可得是平面ABCD的一個(gè)法向量，設(shè)與的夾角為，利用夾角公式，向量的加減運(yùn)算以及向量的模長(zhǎng)公式，即可得出，則SC與平面ABCD所成角可得．

【解答】解：由題意可知，是平面ABCD的一個(gè)法向量，

設(shè)與的夾角為，，，又，，

，，

與平面ABCD所成角的余弦值故選C．

4. （2020?貴陽(yáng)模擬）在正方體中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為和AC上的點(diǎn)，，則MN與平面的位置關(guān)系是

A. 垂直B. 相交C. 平行D. 不能確定

【分析】本題考查線面平行的判定，在適當(dāng)條件下，可以用向量法證明，只需證明該直線的一個(gè)方向向量與該平面的一個(gè)法向量垂直即可．要注意的是這兩個(gè)向量必須用同一組基底來表示．屬于一般難度題．

由于平面，所以是平面的法向量，因此只需證明向量與垂直即可，而和又可以作為一組基底表示向量，因此可以證明．

【解答】解：正方體棱長(zhǎng)為a，，

，，

，

又是平面的法向量，

且，

，

平面．

故選C．

5. （2020春?溫州期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱上，且平面，則AP的長(zhǎng)為

A.

B.

C. 1

D. 與AB的長(zhǎng)有關(guān)

【分析】本題考查利用空間向量解決線面平行問題．

建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出面的一個(gè)法向量，由即可求解．

【解答】解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖．

設(shè)，則0，，1，，1，，0，，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，，

故0，，1，，

又設(shè)平面的法向量為y，．

因?yàn)槠矫妫?，，?br/>

取，得平面的一個(gè)法向量為．

因?yàn)槠矫?，所以，有，解得?br/>

所以AP的長(zhǎng)為．

6. （2020?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知，，，，則該二面角的大小為

A. B. C. D.

【分析】本題考查利用空間向量求二面角的大小，考查空間向量的加法、模、夾角及數(shù)量積運(yùn)算屬于基礎(chǔ)題．由題意及空間向量的加法可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合空間向量的模、夾角，可得，，求出，，即可得出二面角的大?。?br/>

【解答】解：由題意知，，

，

，，

解得，，

則，，

所以二面角的大小為，故選C．

7. （2020?和平區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)P是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)可以運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)A和B，設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，平面與平面所成的最小角為，則

A.

B.

C.

D.

【分析】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量求解平面的法向量和夾角問題，屬于中檔題．

適當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面和平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角與模長(zhǎng)公式求解即可．

【解答】解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，，則易得0，，a，，1，，

則，，設(shè)平面的法向量為，

則令，得平面的一個(gè)法向量為，

同理易得平面的一個(gè)法向量為，

由圖易得平面與平面所成的角為銳角，設(shè)其為，則其余弦值為

，

易得當(dāng)平面與平面所成的角取得最小值時(shí)，，此時(shí)有，

故選D．

8. （多選）（2020?東陽(yáng)市模擬）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果，2，，2，，下列結(jié)論正確的有

A. B.

C. 是平面ABCD的一個(gè)法向量D.

【分析】本題考查空間向量垂直平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量垂直的充要條件是向量積為0來進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：，，即，A正確；

，，即，B正確；

由，，可得是平面ABCD的法向量，C正確；

BD在平面ABCD內(nèi)，可得，D錯(cuò)誤．

故答案為ABC．

9. （2020?江蘇模擬）已知，，若，，且平面ABC，則y，等于________．

【答案】

【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及利用空間向量證明線面位置關(guān)系屬基礎(chǔ)題．

由題意，，，且，列方程求解即可．

【解答】

解：，故．

，

且，

得，．

10. （2020?南通模擬）已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱的中點(diǎn)，則向量與所成角的大小是．

【答案】

【分析】本題考查空間向量所成的角，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，利用向量的夾角公式即可得出結(jié)果．

【解答】解：不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則，，

，，

故向量與所成角的大小是．

11. （2020?清江浦區(qū)校級(jí)模擬）在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G為的重心，則PG與底面ABCD所成角的正弦值為．

【答案】

【分析】本題主要考查向量法求線面角，考查三角形重心的坐標(biāo)公式屬于中檔題，求出PG的方向向量及面ABCD的法向量代入公式計(jì)算即可，

【解答】解：如圖，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知，得0，，0，，0，，1，，1，，

則重心，

因而0，，，

設(shè)PG與底面ABCD所成的角為，

則，．

12. （2020春?沭陽(yáng)縣期中）在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱底面ABCD，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在面PAC內(nèi)，且平面PAC，則點(diǎn)N到AB的距離為__________

【答案】

【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，是中檔題，

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)N到AB的距離．

【解答】

解：如下圖，

因?yàn)槔獾酌鍭BCD，底面ABCD為矩形，所以在四棱錐中，

以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸，連立空間直角坐標(biāo)系，已知，，

則0，，0，，1，，1，，0，，PD的中點(diǎn)，

，

點(diǎn)N在面PAC內(nèi)，則其在面ABCD的投影在AC上，設(shè)y，，，

平面PAC，所以，聯(lián)立解得

則點(diǎn)N到AB的距離為．

故答案為．

13.（2020?濱海新區(qū)模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，，則二面角的余弦值為________．

【答案】

【解析】【分析】本題考查應(yīng)用空間向量求空間角問題，考查同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．

令，則因?yàn)?，，由余弦定理得，可得，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)，求平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值即可．

【解答】

解：令，則．

又，由余弦定理知，

所以，即．

建立如圖坐標(biāo)系則0，、0，、、，

設(shè)平面PAB的法向量為y，．0，，，

，取1，

同理平面PCB的法向量為1，，

，，

記二面角的夾角為，如圖可知為鈍角，，

故二面角的余弦值為．

故答案為．

14. （2020春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，求異面直線CE與BD所成的角．

【分析】本題考查異面直線所成角的大小的求法，屬于基礎(chǔ)題．

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線CE與BD所成的角的大?。?br/>

【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，

則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為1，，，1，，0，，

所以，，

所以，

所以，即．

所以CE與BD所成的角為．

15. （2020春?江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)．

求證：；

求證：平面PEC．

【分析】本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行，直線與直線垂直的證明方法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．

以A為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過計(jì)算，證明；

取PC的中點(diǎn)M，連接證明，然后證明平面PEC．

【解答】證明：依題意，平面ABCD，

如圖，以A為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

依題意，可得0，，4，，4，，0，，0，，4，，0，．

，，

，

；

證明：取PC的中點(diǎn)M，連接EM．

2，，，，

，．

平面PEC，平面PEC，

平面PEC；

16. （2020春?臨泉縣校級(jí)月考）正方體中，E，F(xiàn)分別是，CD的中點(diǎn)．

求證：平面平面；

在AE上求一點(diǎn)M，使得平面DAE．

【分析】本題考查利用空間向量判斷線面垂直和線線垂直，屬于較難題．

建立空間坐標(biāo)系，求兩個(gè)平面的法向量，利用平面ADE和平面的法向量的垂直關(guān)系證明兩個(gè)平面垂直．

設(shè)2，，，，可得，因?yàn)榈贸?，點(diǎn)M在線段AE上且滿足平面DAE．

【解答】解：證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則0，0，，2，，1，，0，，0，，

0，，2，，2，．

設(shè)平面AED的法向量為，

則即

令，得1，．

同理可得平面的一個(gè)法向量為2，．

，

平面平面．

由于點(diǎn)M在AE上，

可設(shè)2，，，，可得，于是．

要使平面DAE，

因?yàn)椋恍瑁?br/>

2，，

解得故當(dāng)時(shí)，

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，平面DAE．

17. （2020春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，且，平面ABCD．

求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

在棱PD上是否存在一點(diǎn)E使得？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】本題考查空間直線與平面所成的角以及利用向量判定垂直問題，是一般題．

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與平面所成角余弦值的絕對(duì)值就等于直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

設(shè)，則，則，由得根據(jù)方程的解可以確定的值．

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，1，，2，，

從而，

，．

設(shè)平面PCD的法向量為，則且，

即且．不妨取，則，，

所以平面PCD的一個(gè)法向量為．

設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，

則，

所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．

設(shè)，則，

則，．

由得．

化簡(jiǎn)得，該方程無解，

故在棱PD上不存在一點(diǎn)E使得．

18. （2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)．

求二面角的大?。?br/>

在線段上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面若存在，求出AE的長(zhǎng)若不存在，說明理由．

【分析】本題考查了二面角的求法以及面面垂直的判定，是一般題．

先求出平面和平面ABD的法向量，根據(jù)法向量求出二面角的大?。?br/>

先證明線面垂直，再證明面面垂直．

【解答】解：如圖，作于點(diǎn)O，所以平面，

所以在正三棱柱中，建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)椋?，D是AC的中點(diǎn)，

所以0，，0，，0，，，

所以，0，，，．

設(shè) y，是平面的法向量，

所以，即

令，則，．

所以2，是平面的一個(gè)法向量．

由題意可知是平面ABD的一個(gè)法向量，

所以

由題圖知二面角為銳角，

所以它的大小為．

存在．

設(shè) ，．

因?yàn)?，，

所以，， 0，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，即

令，則，

所以為平面的一個(gè)法向量，

又，即，解得．

所以存在點(diǎn)E，使得平面平面，且．

B組-[素養(yǎng)提升]

1. （2020春?齊齊哈爾期末）如圖，在圓錐SO中，A，B是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，M，N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是

A. B. C. D.

【分析】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用，涉及空間向量的數(shù)量積及及其坐標(biāo)表示，平面的法向量、空間向量的夾角等，屬于中檔題．

根據(jù)題意，設(shè)底面圓的半徑為r，，以所在直線為x軸，以垂直于所在直線為y軸，以O(shè)S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面NOA的法向量為，平面的法向量為，根據(jù)，求得平面的法向量，結(jié)合可得，即可求解．

【解答】解：設(shè)底面圓的半徑為r，，以所在直線為x軸，以垂直于所在直線為y軸，以O(shè)S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

則由，可得0，，0，，0，，，0，，

M，N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則0，，0，，

所以，0，，

設(shè)平面NOA的法向量為，

則代入可得，

化簡(jiǎn)可得，

令，解得，，

所以，

平面OAB的法向量為0，，

由圖可知，二面角的平面角為銳二面角，

所以二面角的平面角滿足，

，

設(shè)平面的法向量為，

，，

則

代入可得，

化簡(jiǎn)可得，

令，解得，，

所以，

平面的法向量為0，，

由圖可知，二面角的平面角為銳二面角，

所以二面角的平面角滿足，

，

由二面角的范圍可知，

結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，

即，

化簡(jiǎn)可得，且，

所以，

所以的最大值是，

故選B．

2. （2020春?如皋市期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)P在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線CP與所成角的正切值的最小值為________．

【分析】本題考查空間向量在解立體幾何問題中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力和推理能力，屬于難題．

根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n，，，求出平面BFE的法向量，然后利用棱錐的體積公式和異面直線角的公式即可得．

【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)n，，，則0，，0，，2，，2，，0，，

所以，，

設(shè)平面BFE的法向量為，

則，令，則，，

所以平面BFE的一個(gè)法向量為，

因?yàn)椋?br/>

所以點(diǎn)P到平面BFE的距離，

因?yàn)?，?br/>

所以，

因?yàn)?br/>

所以，

所以或舍，

設(shè)直線CP與所成的角為，則

所以

，

所以的最大值為，此時(shí)最小，

所以．

即直線CP與所成角的正切值的最小值為．

故答案為．

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