1.2 矩形的性質(zhì)與判定（二）


教學(xué)目標(biāo)：


1．理解并掌握矩形的判定方法．


2．使學(xué)生能應(yīng)用矩形定義、判定等知識(shí)，解決簡(jiǎn)單的證明題和計(jì)算題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力。


重點(diǎn)、難點(diǎn)：


1．重點(diǎn)：矩形的判定．


2．難點(diǎn)：矩形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．


3．難點(diǎn)的突破方法：


矩形是有一個(gè)角是直角的平行四邊形，在判定一個(gè)四邊形是不是矩形時(shí)，首先看這個(gè)四邊形是不是平行四邊形，再看它兩邊的夾角是不是直角，這種用“定義”判定是最重要和最基本的判定方法（這體現(xiàn)了定義作用的雙重性、性質(zhì)和判定）．而其它判定都是以 “定義”為基礎(chǔ)推導(dǎo)出來(lái)的．因此本節(jié)課要從復(fù)習(xí)矩形定義下手，并指出由平行四邊形得到矩形只需要添加一個(gè)獨(dú)立條件，然后讓學(xué)生思考討論，如果小華做出的是一個(gè)平行四邊形，再加一個(gè)什么條件可以說(shuō)明它是一個(gè)矩形呢？從而導(dǎo)出矩形判定方法．


對(duì)于判定方法1，要著重說(shuō)明這個(gè)性質(zhì)包括兩個(gè)條件：（1）是平行四邊形；（2）兩條對(duì)角線(xiàn)相等．對(duì)于判定2，只要求是四邊形即可，因?yàn)橛腥齻€(gè)角是直角，可以推出四邊形是平行四邊形，而由對(duì)角線(xiàn)相等卻推不出四邊形是平行四邊形．為了加深印象，我們安排了例1，在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)卦僭黾右恍┡袛嗟念}目．


要讓學(xué)生知道（1）矩形的判定方法有以下三種：①一個(gè)角是直角的平行四邊形；②對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形；③有三個(gè)角是直角的四邊形．（2）而由矩形和平行四邊形及四邊形的從屬關(guān)系將矩形的判定方法又可分為兩類(lèi)：①?gòu)乃倪呅纬霭l(fā)必須增加三個(gè)特定的獨(dú)立條件；②從平行四邊形出發(fā)只需再增加一個(gè)特定的獨(dú)立條件．（3）特別地：①如果所給四邊形添加的條件不滿(mǎn)足三個(gè)的肯定不是矩形；②所給四邊形添加的條件是三個(gè)獨(dú)立條件，但若與判定方法不同，則需要利用定義和判定方法證明或舉反例，才能下結(jié)論．


在教學(xué)中，除教材中所舉的門(mén)框或矩形零件外，還可以結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際說(shuō)明判定矩形的實(shí)用價(jià)值．





三、例題的意圖分析


本節(jié)課的三個(gè)例題都是補(bǔ)充題，例1的一組判斷題是為了讓學(xué)生加深理解判定矩形的條件，老師們?cè)诮虒W(xué)中還可以適當(dāng)?shù)卦僭黾右恍┡袛嗟念}目；例2是利用矩形知識(shí)進(jìn)行計(jì)算；例3是一道矩形的判定題，三個(gè)題目從不同的角度出發(fā)，來(lái)綜合應(yīng)用矩形定義及判定等知識(shí)的．





四、課堂引入


1．什么叫做平行四邊形？什么叫做矩形？


2．矩形有哪些性質(zhì)？


3．矩形與平行四邊形有什么共同之處？有什么不同之處？


4．事例引入：小華想要做一個(gè)矩形像框送給媽媽做生日禮物，于是找來(lái)兩根長(zhǎng)度相等的短木條和兩根長(zhǎng)度相等的長(zhǎng)木條制作，你有什么辦法可以檢測(cè)他做的是矩形像框嗎？看看誰(shuí)的方法可行？


通過(guò)討論得到矩形的判定方法．


矩形判定方法1：對(duì)角錢(qián)相等的平行四邊形是矩形．


矩形判定方法2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．


（指出：判定一個(gè)四邊形是矩形，知道三個(gè)角是直角，條件就夠了．因?yàn)橛伤倪呅蝺?nèi)角和可知，這時(shí)第四個(gè)角一定是直角．）


五、例習(xí)題分析


例1（補(bǔ)充）下列各句判定矩形的說(shuō)法是否正確？為什么？


（1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （×）


（2）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （√）


（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形； （√）


（4）對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形； （×）


（5）對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直的四邊形是矩形； （×）


（6）對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等的四邊形是矩形； （√）


（7）對(duì)角線(xiàn)相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形； （×）


（8）一組鄰邊垂直，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是矩形；（√）


（9）兩組對(duì)邊分別平行，且對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形． (√)


指出：


（l）所給四邊形添加的條件不滿(mǎn)足三個(gè)的肯定不是矩形；


（2）所給四邊形添加的條件是三個(gè)獨(dú)立條件，但若與判定方法不同，則需要利用定義和判定方法證明或舉反例，才能下結(jié)論．


例2 （補(bǔ)充）已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB是等邊三角形，AB=4 cm，求這個(gè)平行四邊形的面積．


分析：首先根據(jù)△AOB是等邊三角形及平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計(jì)算邊長(zhǎng)，從而得到面積值．


解：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，


∴ AO=AC，BO=BD．


∵ AO=BO，


∴ AC=BD．


∴ ABCD是矩形（對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形）．


在Rt△ABC中，


∵ AB=4cm，AC=2AO=8cm，


∴ BC=（cm）．





例3 （補(bǔ)充） 已知：如圖（1），ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．求證：四邊形EFGH是矩形．


分析：要證四邊形EFGH是矩形，由于此題目可分解出基本圖形，如圖（2），因此，可選用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)證明．


證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，


∴ AD∥BC．


∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．


又 AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，


∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．


∴ ∠AFB=90°．


同理可證 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．


∴ 四邊形EFGH是平行四邊形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）．





六、隨堂練習(xí)


1．（選擇）下列說(shuō)法正確的是（ ）．


（A）有一組對(duì)角是直角的四邊形一定是矩形（B）有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形


（C）對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是矩形 （D）對(duì)角互補(bǔ)的平行四邊形是矩形


2．已知：如圖 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD為中線(xiàn)，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使得 DE＝CD．連結(jié)AE，BE，則四邊形ACBE為矩形．





七、課后練習(xí)


1．工人師傅做鋁合金窗框分下面三個(gè)步驟進(jìn)行：


⑴ 先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料（如圖①），使AB＝CD，EF＝GH；


⑵ 擺放成如圖②的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ；


⑶ 將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角（如圖③），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)（如圖④），說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是 形，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是： ；





2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度數(shù)．











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2 矩形的性質(zhì)與判定

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