1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重點）2.能應(yīng)用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.(難點)
問題1 矩形的定義是什么？
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
問題2 矩形有哪些性質(zhì)？
思考 工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？
這節(jié)課我們一起探討矩形的判定吧.
類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.
問題1 除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？
矩形是特殊的平行四邊形.
類似地，那我們研究矩形的性質(zhì)的逆命題是否成立.
問題2 上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”，反過來，小明猜想對角線相等的四邊形是矩形，你覺得對嗎？
我猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.
不對，等腰梯形的對角線也相等.
不對，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對角線不僅相等且平分.
思考 你能證明這一猜想嗎？
已知：如圖,在□ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：□ABCD是矩形.證明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定義）.
矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.
幾何語言描述：在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.
思考 數(shù)學來源于生活，事實上工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？
對角線相等的平行四邊形是矩形.
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是矩形，
又∵∠OAD=50°，
例2 如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的對角線相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.
1.如圖，在?ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定?ABCD是矩形的是 （　?。?br/>A．AC=BD B．AC=BCC．AD=BC D．AB=AD
2.如圖 ABCD中, ∠1= ∠2中.此時四邊形ABCD是矩形嗎？為什么？
解：四邊形ABCD是矩形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ AO=CO,DO=BO.又∵ ∠1= ∠2，∴AO=BO，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.
問題1 上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？
逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.
問題2 至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？
猜測：有三個角是直角的四邊形是矩形.
已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.
證明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.
矩形的判定定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.
思考 一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次，就能得到矩形踏板．為什么？
有三個角是直角的四邊形是矩形.
例3 如圖， □?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形 EFGH為矩形．
證明：在□?ABCD中，AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,
∴四邊形EFGH是矩形．
同理可證∠AED=∠EHG=90°,
例4 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，求證：四邊形ADCE為矩形．
證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM,∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°,∴四邊形ADCE為矩形．
在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學活動課上，一個合作學習小組的4位同學分別擬定了如下的方案，其中正確的是 （　?。〢．測量對角線是否相等 B．測量兩組對邊是否分別相等 C．測量一組對角是否都為直角 D．測量其中三個角是否都為直角
1.下列各句判定矩形的說法是否正確？
（1）對角線相等的四邊形是矩形；
（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；
（3）有一個角是直角的四邊形是矩形；
（5）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（6）四個角都相等的四邊形是矩形；
（7）對角線相等，且有一個角是直角的四邊形是矩形；
（4）有三個角都相等的四邊形是矩形;
（8）一組對角互補的平行四邊形是矩形；
2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C兩點,AB、CB、CD、AD分別是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.不能確定
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．
證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．
4.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．
證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形， ∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD， ∴平行四邊形NDMB為矩形．
5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．
證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD.又∵DE∥AB，∴四邊形AEDB是平行四邊形，∴AE平行且相等BD.
又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠ADC＝90°，∴平行四邊形ADCE是矩形．
6.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，動點P從點A出發(fā)沿AD方向向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿著CB方向向點B以3cm/s的速度運動．點P、Q分別從點A和點C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點隨之停止運動．(1)經(jīng)過多長時間，四邊形PQCD是平行四邊形？
解：設(shè)經(jīng)過xs，四邊形PQCD為平行四邊形， 即PD＝CQ， 所以24－x＝3x， 解得x＝6. 即經(jīng)過6s，四邊形PQCD 是平行四邊形；
(2)經(jīng)過多長時間，四邊形PQBA是矩形？
解：設(shè)經(jīng)過ys，四邊形PQBA為矩形，即AP＝BQ，∴y＝26－3y，解得y＝6.5，即經(jīng)過6.5s，四邊形PQBA是矩形．

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2 矩形的性質(zhì)與判定

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