[鞏固層·知識整合]





[提升層·題型探究]


【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．


(1)用列舉法表示集合A與B；


(2)求A∩B及?U(A∪B)．


[解] (1)由題知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．


(2)由題知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，


所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．





集合的運算主要包括交集、并集和補集運算．這也是高考對集合部分的主要考查點．有些題目比較簡單，直接根據集合運算的定義可得．有些題目與解不等式或方程相結合，需要先正確求解不等式，再進行集合運算．還有的集合問題比較抽象，解題時需借助Venn圖進行數形分析或利用數軸等，采用數形結合思想方法，可使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、準確地獲解．





eq \([跟進訓練])


1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)＝( )


A．{1,3,4} B．{3,4}


C．{3} D．{4}


D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，


∴?U(A∪B)＝{4}．]


【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．


(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范圍；


(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？


[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，





∴?RA＝{x|x2}．


∵(?RA)∪B＝R，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0，,a＋3≥2.))


∴－1≤a≤0.


(2)由(1)知(?RA)∪B＝R時，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，


∴A?B，這與A∩B＝?矛盾．


即這樣的a不存在．





根據集合間關系求參數范圍時，要深刻理解子集的概念，把形如A?B的問題轉化為AB或A＝B，進而列出不等式組，使問題得以解決.在建立不等式過程中，可借助數軸以形促數，化抽象為具體.要注意作圖準確，分類全面.





eq \([跟進訓練])


2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求實數k的取值范圍.


[解] 由于B?A，在數軸上表示A，B，如圖，





可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,k＜\f(1,2).))


所以k的取值范圍是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤k＜\f(1,2))))).


【例3】 已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均為實數．證明：對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要條件是c≤eq \f(3,4).


[解] 因為a≥eq \f(1,2)，所以函數y＝－a2x2＋ax＋c的圖象的對稱軸方程為x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0＜eq \f(1,2a)≤1，當x＝eq \f(1,2a)時，y＝eq \f(1,4)＋c.


先證必要性：


對于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq \f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq \f(3,4).


再證充分性：


因為c≤eq \f(3,4)，當x＝eq \f(1,2a)時，y的最大值為eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以對于任意x∈{x|0≤x≤1}，


y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.


即充分性成立．





利用充分條件和必要條件求參數的取值范圍，主要是根據集合間的包含關系與充分條件和必要條件的關系，將問題轉化為集合之間的關系，建立關于參數的不等式或不等式組求解.





eq \([跟進訓練])


3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，則實數a的值為________．


－eq \f(1,2)或eq \f(1,3) [p：x2＋x－6＝0，


即x＝2或x＝－3.


q：ax＋1＝0，當a＝0時，方程無解；


當a≠0時，x＝－eq \f(1,a).


由題意知pq，q?p，故a＝0舍去；


當a≠0時，應有－eq \f(1,a)＝2或－eq \f(1,a)＝－3，


解得a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).


綜上可知，a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).]


【例4】 (1)下列語句不是全稱量詞命題的是( )


A．任何一個實數乘以零都等于零


B．自然數都是正整數


C．高一(一)班絕大多數同學是團員


D．每一個實數都有大小


(2)命題p：“?x∈R，x2＞0”，則( )


A．p是假命題；p：?x∈R，x2＜0


B．p是假命題；p：?x∈R，x2≤0


C．p是真命題；p：?x∈R，x2＜0


D．p是真命題；p：?x∈R，x2≤0


(1) C (2) B [(1)A中命題可改寫為：任意一個實數乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數都是正整數，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學是團員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個實數都有大小，故D是全稱量詞命題．故選C.


(2)由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”為假命題，根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故選B.]





“一般命題的否定”與“含有一個量詞的命題的否定”的區(qū)別與聯(lián)系


?1?一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定結論p?x?的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞.


?2?與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定.





eq \([跟進訓練])


4．下列命題不是存在量詞命題的是( )


A．有些實數沒有平方根


B．能被5整除的數也能被2整除


C．在實數范圍內，有些一元二次方程無解


D．有一個m使2－m與|m|－3異號


B [選項A、C、D中都含有存在量詞，故皆為存在量詞命題，選項B中不含存在量詞，不是存在量詞命題．]


5．命題“能被7整除的數是奇數”的否定是________．


存在一個能被7整除的數不是奇數 [原命題即為“所有能被7整除的數都是奇數”，是全稱量詞命題，故該命題的否定是：“存在一個能被7整除的數不是奇數”．]


[培優(yōu)層·素養(yǎng)升華]


【例】 閱讀以下材料：


根據《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》《教育部辦公廳關于做好2019年高校自主招生工作的通知》要求，某大學將全面貫徹落實黨的教育方針，圍繞“綜合評價、多元擇優(yōu)、因材施招、促進公平”的人才選拔理念，開展2019年自主招生工作．


綜合優(yōu)秀且具有突出學科特長及創(chuàng)新潛質的高中畢業(yè)生均可申請．申請學生應在國際或全國權威性高、公信力強的學科競賽中獲得優(yōu)異成績，并提供相關證明材料．


最低申請條件應包含以下之一：


全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，


全國中學生物理競賽(省級賽區(qū))一等獎，


中國化學奧林匹克(初賽)(省級賽區(qū))一等獎，


全國中學生生物學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，


全國青少年信息學奧林匹克聯(lián)賽提高組(省級賽區(qū))一等獎，


全國青少年科技創(chuàng)新大賽全國一等獎，


英特爾國際科學與工程大獎賽四等獎．


則下列命題正確的是________．(填序號)


①若甲同學獲得了全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，那么甲能申請參加該大學2019年的自主招生考試．


②若乙同學已經成功申請到了參加該大學2019年自主招生考試的資格，則乙同學一定獲得了全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎．


③若丙同學沒有獲得全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，則丙一定不能參加該大學2019年的自主招生考試．


① [由于甲同學獲得了全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，那么甲滿足自主招生的最低申請條件，可申請參加該大學2019年的自主招生考試，故①正確；


申請到該大學的2019年自主招生考試資格，還可能是達到其他6個條件，不一定是獲得了全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，故②錯誤；


丙同學沒有獲得全國高中數學聯(lián)賽(省級賽區(qū))一等獎，但可能獲得全國中學生物理競賽(省級賽區(qū))一等獎等6個其他最低申請條件，因此可能參加該大學2019年的自主招生考試，故③錯誤．]





此題通過閱讀材料理解獲取自主招生資格的充分條件，再分析給出的情境中條件是否滿足，主要考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).





eq \([素養(yǎng)提升])


王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的( )


A．必要條件 B．充分條件


C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件


A [“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要非充分條件．]


集合的并、交、補運算
集合關系和運算中的參數問題
充分條件與必要條件
全稱量詞與存在量詞

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