1.4 充分條件與必要條件








觀察如圖所示電路圖，條件p：“開關(guān)A閉合”，結(jié)論q：“燈泡B亮”．





問題：(1)當開關(guān)A閉合時，燈泡B一定會亮嗎？說明了什么？


(2)如果“燈泡B”不亮，“開關(guān)A可以閉合”嗎？


提示：(1)一定會亮，說明要使“燈泡B亮”，有“開關(guān)A閉合”這個條件就可以．


(2)如果“燈泡B不亮”，則開關(guān)A肯定不閉合．





1．充分條件與必要條件


思考1：(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？


(2)以下五種表述形式：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？


提示：(1)相同，都是p?q.(2)等價．


2．充要條件


(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．


概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．


(2)若p?q，但qp，則稱p是q的充分不必要條件．


(3)若q?p，但pq，則稱p是q的必要不充分條件．


(4)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．


思考2：(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？


(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？


提示：(1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q.


(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．


②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．





1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)


(1)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．( )


(2)q不是p的必要條件時，“pq”成立．( )


(3)若q是p的必要條件，則q成立，p也成立．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )


A．充分不必要條件 B．必要不充分條件


C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件


A [因為x≥2且y≥2?x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件．]


3．“同位角相等”是“兩直線平行”的( )


A．充分不必要條件


B．必要不充分條件


C．既是充分條件，也是必要條件


D．既不充分也不必要條件


C [“同位角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，同位角相等”都是真命題．]


4．兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的________條件．


必要不充分 [全等的兩個三角形的面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等．]





【例1】 指出下列各題中p是q的什么條件．


(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0.


(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等．


(3)p：a＞b，q：ac＞bc.


[解] (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要條件．


(2)兩個三角形相似兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件．


(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，


故p是q的既不充分也不必要條件．





定義法判斷充分條件、必要條件


?1?確定誰是條件，誰是結(jié)論.


?2?嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件.


?3?嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.





eq \([跟進訓練])


1．指出下列各組命題中，p是q的什么條件．


(1)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．


(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.


[解] (1)因為四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形四邊形的對角線相等，


所以p是q的既不充分也不必要條件．


(2)因為(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0 (x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要條件．


[探究問題]


1．記集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要條件，則集合A，B的關(guān)系是什么？若p是q的必要不充分條件呢？


提示：若p是q的充分不必要條件，則AB；若p是q的必要不充分條件，則BA.


2．記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，則p是q的什么條件？若N?M，M＝N呢？


提示：若M?N，則p是q的充分條件，若N?M，則p是q的必要條件，若M＝N，則p是q的充要條件．


【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．


[思路點撥]


{m|m≥9} [因為p是q的充分不必要條件，所以p?q且qp.


即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m0，,1＋m>10，))解得m≥9.


所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥9}．]





1．本例中“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求m的取值范圍．


[解] 因為p是q的必要不充分條件，所以q?p，且pq.


則{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0

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1.4 充分條件與必要條件

版本： 人教A版 (2019)

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