高中數(shù)學(xué)5.5 三角恒等變換第3課時(shí)課時(shí)訓(xùn)練

這是一份高中數(shù)學(xué)5.5 三角恒等變換第3課時(shí)課時(shí)訓(xùn)練，共7頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
課時(shí)分層作業(yè)(四十七) 兩角和與差的正切公式


(建議用時(shí)：40分鐘)





一、選擇題


1．已知點(diǎn)P(1，a)在角α的終邊上，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3)，則實(shí)數(shù)a的值是( )


A．2 B．eq \f(1,2)


C．－2 D．－eq \f(1,2)


C [∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan\f(π,4),1－tan αtan\f(π,4))


＝eq \f(tan α＋1,1－tan α)＝－eq \f(1,3)，


∴tan α＝－2，


∵點(diǎn)P(1，a)在角α的終邊上，


∴tan α＝eq \f(a,1)＝a，


∴a＝－2.]


2.eq \f(\r(3)－tan 18°,1＋\r(3)tan 18°)的值等于( )


A．tan 42° B．tan 3°


C．1 D．tan 24°


A [∵tan 60°＝eq \r(3)，


∴原式＝eq \f(tan 60°－tan 18°,1＋tan 60°tan 18°)＝tan(60°－18°)＝tan 42°.]


3．若tan(180°－α)＝－eq \f(4,3)，則tan(α＋405°)等于( )


A.eq \f(1,7) B．7


C．－eq \f(1,7) D．－7


D [∵tan(180°－α)＝－tan α＝－eq \f(4,3)，∴tan α＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(4,3),1－\f(4,3))＝－7.]


4．已知tan(α＋β)＝eq \f(3,5)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(1,4)，那么taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )


A.eq \f(13,18) B.eq \f(13,23)


C.eq \f(7,23) D．eq \f(1,6)


C [taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?α＋β?－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝eq \f(tan?α＋β?－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))),1＋tan?α＋β?tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4))))＝eq \f(\f(3,5)－\f(1,4),1＋\f(3,5)×\f(1,4))＝eq \f(7,23).]


5．若tan 28°tan 32°＝m，則tan 28°＋tan 32°＝( )


A.eq \r(3)m B.eq \r(3)(1－m)


C.eq \r(3)(m－1) D．eq \r(3)(m＋1)


B [由公式變形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)


＝eq \r(3)(1－m)．]


二、填空題


6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(1,2)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))＝－eq \f(1,3)，則taneq \f(α＋β,2)＝ .


eq \f(1,7) [taneq \f(α＋β,2)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2)))))


＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(α,2))))


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).]


7．在△ABC中，若tan A，tan B是方程6x2－5x＋1＝0的兩根，則角C＝ .


eq \f(3π,4) [由題意得tan A＋tan B＝eq \f(5,6)，tan Atan B＝eq \f(1,6)，


∴tan(A＋B)＝eq \f(tan A＋tan B,1－tan Atan B)＝eq \f(\f(5,6),1－\f(1,6))＝1.


又A＋B＋C＝π，


∴tan C＝－tan(A＋B)＝－1，


∴C＝eq \f(3π,4).]


8．化簡：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ．


1 [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋eq \r(3)tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)


＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°


＝1.]


三、解答題


9．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，tan β＝eq \f(1,2)，


(1)求tan α的值；


(2)求eq \f(sin?α＋β?－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs?α＋β?)的值．


[解] (1)∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝2，


∴eq \f(tan\f(π,4)＋tan α,1－tan\f(π,4)tan α)＝2，


∴eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝2，解得tan α＝eq \f(1,3).


(2)原式


＝eq \f(sin αcs β＋cs αsin β－2sin αcs β,2sin αsin β＋cs αcs β－sin αsin β)


＝eq \f(cs αsin β－sin αcs β,cs αcs β＋sin αsin β)＝eq \f(sin?β－α?,cs?β－α?)


＝tan(β－α)＝eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)


＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).


10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5).





求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大?。?br/>

[解] 由條件得cs α＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝eq \f(2\r(5),5).


∵α，β為銳角，


∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(7\r(2),10)，


sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(5),5).


因此tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝7，


tan β＝eq \f(sin β,cs β)＝eq \f(1,2).


(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan α·tan β)


＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3.


(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝eq \f(2tan β,1－tan2β)


＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4,3)，


∴tan(α＋2β)＝eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan α·tan 2β)


＝eq \f(7＋\f(4,3),1－7×\f(4,3))＝－1.


∵α，β為銳角，


∴0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，


∴α＋2β＝eq \f(3π,4).





11．若2cs α－sin α＝0，則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))等于( )


A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3)


C．－3 D．3


B [由題意知tan α＝2，


則taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).]


12．(多選題)已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lgeq \f(1,a)，且α＋β＝eq \f(π,4)，則實(shí)數(shù)a的值為( )


A．1 B．10


C.eq \f(1,10) D．eq \f(1,100)


AC [∵α＋β＝eq \f(π,4)，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，


tan α＋tan β＝1－tan αtan β，


即lg (10a)＋lgeq \f(1,a)＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，


1＝1－lg (10a)lgeq \f(1,a)，


∴l(xiāng)g (10a)lgeq \f(1,a)＝0，


∴l(xiāng)g (10a)＝0或lgeq \f(1,a)＝0，


解得a＝eq \f(1,10)或a＝1.]


13．已知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝3，tan(α－β)＝2，則tan(β－2α)＝ .


eq \f(4,3) [由條件知eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝3，


則tan α＝2.


因?yàn)閠an(α－β)＝2，


所以tan(β－α)＝－2，


故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]


＝eq \f(tan?β－α?－tan α,1＋tan?β－α?tan α)＝eq \f(－2－2,1＋?－2?×2)＝eq \f(4,3).]


14．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3eq \r(3)，tan2B＝tan A·tan C，則角B＝ .


60° [由公式變形得：


tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)


＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)


＝－tan C(1－tan Atan B)


＝－tan C＋tan Atan Btan C，


∴tan A＋tan B＋tan C


＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C


＝tan Atan Btan C＝3eq \r(3).


∵tan2B＝tan Atan C，


∴tan3B＝3eq \r(3)，


∴tan B＝eq \r(3)，B＝60°.]





15．是否存在銳角α，β，使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同時(shí)成立？若存在，求出銳角α，β的值；若不存在，說明理由．


[解] 假設(shè)存在銳角α，β使得(1)α＋2β＝eq \f(2π,3)，(2)taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)同時(shí)成立．


由(1)得eq \f(α,2)＋β＝eq \f(π,3)，


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))＝eq \f(tan\f(α,2)＋tan β,1－tan\f(α,2)tan β)＝eq \r(3).


又taneq \f(α,2)tan β＝2－eq \r(3)，所以taneq \f(α,2)＋tan β＝3－eq \r(3)，因此taneq \f(α,2)，tan β可以看成是方程x2－(3－eq \r(3))x＋2－eq \r(3)＝0的兩個(gè)根，


解得x1＝1，x2＝2－eq \r(3).


若taneq \f(α,2)＝1，則α＝eq \f(π,2)，這與α為銳角矛盾，所以taneq \f(α,2)＝2－eq \r(3)，tan β＝1，所以α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4)，所以滿足條件的α，β存在，且α＝eq \f(π,6)，β＝eq \f(π,4).