高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第一冊(cè)第五章三角函數(shù)5.3 誘導(dǎo)公式一等獎(jiǎng)第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

課題：5.3.1 誘導(dǎo)公式（第1課時(shí)）（一）教學(xué)內(nèi)容誘導(dǎo)公式二~四（π±α，－α的正弦、余弦和正切）．（二）教學(xué)目標(biāo)1、從三角函數(shù)的定義出發(fā)，借助單位圓關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，能推導(dǎo)π＋α的正弦、余弦和正切，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．2、通過(guò)類(lèi)比公式二的推導(dǎo)過(guò)程，能自主探究－α，π－α的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四，獲得基本思想，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．3、通過(guò)建立公式一~四之間的聯(lián)系，能利用公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，會(huì)用公式一~四進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．（三）教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：1、重點(diǎn)利用圓的對(duì)稱(chēng)性探究誘導(dǎo)公式二~四．2、難點(diǎn)建立單位圓的對(duì)稱(chēng)性與π＋α的正弦、余弦和正切之間的聯(lián)系．（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題1：（1）回顧任意角三角函數(shù)的定義、公式一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并回顧它們的研究方法．（2）回答下列問(wèn)題：①點(diǎn)

關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

的坐標(biāo)是什么？②寫(xiě)出與點(diǎn)

有如下對(duì)稱(chēng)性的點(diǎn)的坐標(biāo)：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) ，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) ，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) ．師生活動(dòng)：對(duì)于（1）教師引導(dǎo)學(xué)生回顧任意角三角函數(shù)的定義、公式一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并總結(jié)研究方法：借助于單位圓，利用圓的一些幾何性質(zhì)來(lái)研究．對(duì)于（2）學(xué)生完成，有問(wèn)題及時(shí)解決．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)（1）回顧之前學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，為提出新問(wèn)題做好鋪墊，通過(guò)（2）檢查學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系中具有特殊對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系的掌握情況，為得到公式二~四做好準(zhǔn)備．問(wèn)題2：前面我們從三角函數(shù)的定義出發(fā)，研究了終邊相同的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，你認(rèn)為接下來(lái)應(yīng)該研究什么呢？師生活動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)想到研究終邊不相同的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．教師追問(wèn)：任意兩個(gè)終邊不相同的角的三角函數(shù)值之間有什么確定的關(guān)系嗎？學(xué)生能夠想到任意兩個(gè)終邊不相同的角的三角函數(shù)值之間是沒(méi)有確定的關(guān)系的．教師繼續(xù)追問(wèn)：當(dāng)兩個(gè)角的終邊有某些特殊的位置關(guān)系時(shí)，它們的三角函數(shù)值之間會(huì)不會(huì)就具有一定的關(guān)系了？你認(rèn)為可以研究具有什么樣的特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系呢？學(xué)生可能會(huì)想到研究終邊關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．教師繼續(xù)追問(wèn)：可以想到研究三角函數(shù)值之間的關(guān)系要從定義出發(fā)，進(jìn)而引出單位圓，而且圓也具有對(duì)稱(chēng)性，恰好與我們要研究的問(wèn)題契合．進(jìn)而學(xué)生可想到如下方法：如圖1，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2（1）以OP2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？（2）角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：第一步，先從形上找到角之間的關(guān)系：以OP2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．第二步，建立關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，將形的關(guān)系代數(shù)化：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因?yàn)?/span>P2，P1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以x2＝－x1，y2＝－y1．第三步，等量代換數(shù)得到三角函數(shù)值之間的關(guān)系：由三角函數(shù)的定義得sin α＝y1，cos α＝x1，tan α＝（x1≠0）；sin(π＋α)＝y2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝（x2≠0）．

從而得公式二：追問(wèn)1：問(wèn)題中給出的α是任意角，而我們圖中的α為第一象限角，我們得到的結(jié)論適用于任意角嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論得出：無(wú)論α的終邊在什么位置，點(diǎn)P1、P2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的位置關(guān)系不變，因此坐標(biāo)間的關(guān)系也不變，π＋α與α的三角函數(shù)值的關(guān)系就不會(huì)改變．追問(wèn)2：歸納推導(dǎo)公式二的過(guò)程，你能給出主要的研究路徑嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考、交流后得出研究路徑：單位圓的對(duì)稱(chēng)性→角與角的關(guān)系→對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系→三角函數(shù)值之間的關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：在探究過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)定義出發(fā)，使他們認(rèn)識(shí)到可以利用圓的對(duì)稱(chēng)性研究三角函數(shù)的性質(zhì)，感受由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法，提升直觀想象素養(yǎng)．帶領(lǐng)學(xué)生梳理研究路徑，進(jìn)一步明確研究的方向和步驟，為后續(xù)的自主探究打下基礎(chǔ)．問(wèn)題2：類(lèi)比公式二的探究過(guò)程，借助于平面直角坐標(biāo)系，你認(rèn)為還需要研究點(diǎn)P1的哪些特殊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？又能得出怎樣的結(jié)論呢？師生活動(dòng)：學(xué)生可以自然地發(fā)現(xiàn)還需要研究點(diǎn)P1關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)．通過(guò)自主探究、小組討論，教師巡視觀察，適時(shí)引導(dǎo)．大多數(shù)學(xué)生可以獨(dú)立完成公式三、四的推導(dǎo)．

公式三：公式四：設(shè)計(jì)意圖：將角的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)的三角函數(shù)關(guān)系一起讓學(xué)生探究，既突出了誘導(dǎo)公式的整體研究架構(gòu)，又檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)公式二的學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．問(wèn)題3：例1 利用公式求下列三角函數(shù)值：（1）cos 225°；（2）sin

；（3）sin

；（4）tan（－2 040°）．追問(wèn)1：題目中的角與哪個(gè)特殊角接近？應(yīng)該選擇哪個(gè)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成之后展示交流，注意展示其思考過(guò)程，教師幫助規(guī)范求解過(guò)程．（1）cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－

；（2）sin

＝sin

＝

；（3）sin

＝－sin

＝

；（4）tan(－2 040°)＝－tan 2 040° ＝－tan(6×360°－120°)＝tan 120°＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－

．追問(wèn)2：通過(guò)上面四個(gè)題目的解答，你對(duì)公式一~公式四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？你能歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)的步驟嗎？師生活動(dòng)：先由學(xué)生闡述自己的想法，老師帶領(lǐng)學(xué)生一起總結(jié)：

例2 化簡(jiǎn)：．追問(wèn)3：本題與例1的區(qū)別是什么？由例1總結(jié)出的求解步驟還能用嗎？師生活動(dòng)：區(qū)別：例1涉及的是具體的角而例2用的是抽象的角α，求解步驟依然適用．學(xué)生獨(dú)立完成，展示交流，注意展示其思考過(guò)程，教師幫助規(guī)范求解過(guò)程．tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cos α，所以，原式＝＝－cos α．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在自主選擇公式求解問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)公式一~公式四各自的作用，總結(jié)根據(jù)題目的條件選擇公式的方法和步驟，形成程序化的解題步驟，體會(huì)算法思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．問(wèn)題4：回憶本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，回答下面的問(wèn)題：（1）我們是如何發(fā)現(xiàn)和提出本節(jié)課所要研究的問(wèn)題的？（2）探索公式二~公式四，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？用了哪些方法？（3）運(yùn)用公式二~公式四將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù)的基本步驟是怎樣的？（4）你認(rèn)為還有哪種對(duì)稱(chēng)關(guān)系值得研究？師生活動(dòng)：學(xué)生給出答案，發(fā)表看法，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)歸納．設(shè)計(jì)意圖：（1）回顧從“角的終邊相同”時(shí)三角函數(shù)的關(guān)系，到“角的終邊具有特殊對(duì)稱(chēng)性”的三角函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步落實(shí)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，幫助學(xué)生建立借助單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)的思維習(xí)慣．（2）通過(guò)回顧進(jìn)一步明確誘導(dǎo)公式的研究路徑和運(yùn)用步驟．（3）為接下來(lái)探究角的終邊關(guān)于直角坐標(biāo)系中特殊直線對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題留下伏筆．目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1、計(jì)算：（1）cos(－420°)；（2）sin

；（3）tan(－1 140°)．答案：（1）

；（2）

；（3）－

．2、化簡(jiǎn)：

答案：

．設(shè)計(jì)意圖：檢測(cè)學(xué)生恰當(dāng)選擇公式進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值的掌握情況．布置作業(yè)：1．人教A版教材必修第一冊(cè)教科書(shū)P191練習(xí)1(1)(2)(3)，2(4)(5)(6)，3(2)，4；2．人教A版教材必修第一冊(cè)教科書(shū)習(xí)題5.3第1，2，3題

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