?課題：5.3誘導(dǎo)公式單元設(shè)計(jì)
一、教學(xué)內(nèi)容及其解析
（一） 教學(xué)內(nèi)容
誘導(dǎo)公式（π±α，±α，－α的正弦、余弦和正切）。
知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

明線: 圓的對(duì)稱性——角與角的關(guān)系——坐標(biāo)間的關(guān)系——三角函數(shù)的關(guān)系。
暗線：研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象性質(zhì)的基本套路：研究概念所界定的對(duì)象中要素間的關(guān)系。
（二）內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容本質(zhì)：誘導(dǎo)公式是圓的對(duì)稱性的代數(shù)表示，是三角函數(shù)的基本性質(zhì)之一，它揭示了具有特殊關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，刻畫(huà)的是終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線對(duì)稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，誘導(dǎo)公式就是把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值。誘導(dǎo)公式的探索過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、以及解決問(wèn)題的能力，是發(fā)展學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的很好的載體，也是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。利用誘導(dǎo)公式解決問(wèn)題，需選擇合適的誘導(dǎo)公式，確定恰當(dāng)?shù)那蠼饴肪€，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的載體，也是算法思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的體現(xiàn)。
2. 蘊(yùn)含的思想方法：公式二的推導(dǎo)過(guò)程先從形的角度入手，然后將形代數(shù)化，滲透數(shù)形結(jié)合的思想；公式三、四的推導(dǎo)類比公式二的過(guò)程，滲透類比的數(shù)學(xué)研究方法；誘導(dǎo)公式可以實(shí)現(xiàn)任意角和銳角之間的轉(zhuǎn)化，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)，滲透算法思想。
3. 知識(shí)的上下位關(guān)系：任意角的三角函數(shù)定義，單位圓的對(duì)稱性，以及誘導(dǎo)公式一是誘導(dǎo)公式的邏輯基礎(chǔ)，誘導(dǎo)公式既是任意角的三角函數(shù)定義的深化理解與運(yùn)用，也是研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，為后續(xù)進(jìn)一步研究?jī)山呛团c差的公式的研究做鋪墊。
4. 育人價(jià)值：從單位圓關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線對(duì)稱性出發(fā)探究誘導(dǎo)公式的過(guò)程中，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想，有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察、數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考。應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，蘊(yùn)含了算法思想，有利于學(xué)生形成代數(shù)問(wèn)題的程序化思維，也有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
5. 教學(xué)重點(diǎn)：利用圓的對(duì)稱性探究誘導(dǎo)公式。
二、目標(biāo)及其解析
（一）單元目標(biāo)
1.借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（－α，π±α，±α的正弦、余弦、正切）。
2.初步應(yīng)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明。
（二）目標(biāo)解析
達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：
（1）學(xué)生能利用單位圓的對(duì)稱性，結(jié)合坐標(biāo)系，寫(xiě)出角α的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、坐標(biāo)軸、直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，能寫(xiě)出對(duì)稱變換得到的角與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)的定義進(jìn)行化簡(jiǎn)得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式。
（2）能根據(jù)三角函數(shù)式的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值或者證明，并在此基礎(chǔ)上抽象出求解的一般程序。
三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析
問(wèn)題1如何想到借助單位圓的幾何性質(zhì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)？
破解方法：學(xué)生知道數(shù)形結(jié)合是研究函數(shù)性質(zhì)的主要方法，而本節(jié)是利用單位圓的幾何性質(zhì)研究三角函數(shù)的性質(zhì)。在教學(xué)過(guò)程中，教師從以下幾點(diǎn)進(jìn)行引導(dǎo)：（1）三角函數(shù)是有“個(gè)性”的函數(shù)，他與前面的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)是不同的，前面的三個(gè)函數(shù)他們的對(duì)應(yīng)關(guān)系具有代數(shù)意義，是代數(shù)運(yùn)算的反映，而三角函數(shù)不是以代數(shù)運(yùn)算為媒介的，是幾何量（角與有向線段的對(duì)應(yīng)）之間的對(duì)應(yīng)。（2）從三角函數(shù)的定義知三角函數(shù)與單位圓密不可分，同時(shí)誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系式的研究，也是從單位圓開(kāi)始的。順著這樣的思路，應(yīng)該繼續(xù)思考單位圓在坐標(biāo)系中有哪些特殊對(duì)稱性，將之代數(shù)化能得到哪些三角公式。幫助學(xué)生建立借助單位圓研究三角函數(shù)性質(zhì)的思維習(xí)慣。
問(wèn)題2公式五與六的推導(dǎo)是另一個(gè)難點(diǎn)．推導(dǎo)公式五的難度在于：第一，終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)角之間的關(guān)系，學(xué)生不容易得到；第二，在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系相對(duì)復(fù)雜。
破解方法：在教學(xué)中，可以結(jié)合學(xué)生熟悉的圖形進(jìn)行分析，比如角α為小于45°的銳角時(shí)的情況，并利用平面幾何的知識(shí)予以證明．更一般的情況可以在學(xué)習(xí)直線的方程之后完善。
教學(xué)難點(diǎn)：
圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間關(guān)系的建立。
四、 教學(xué)支持條件
用信息技術(shù)工具畫(huà)圖呈現(xiàn)如上所述的對(duì)稱性，并動(dòng)態(tài)演示當(dāng)角α的終邊和單位圓的交點(diǎn)P1的位置變化時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)與它的坐標(biāo)之間的關(guān)系不變。
五、課時(shí)分配
本單元共2課時(shí)，具體分配如下：
第1課時(shí) 誘導(dǎo)公式
第2課時(shí) 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

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5.3 誘導(dǎo)公式

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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