第二課時


課前知識管理（從教材出發(fā)，向?qū)毑乜v深）


1、一元二次方程的應(yīng)用主要有以下幾種題型：


（1）平均增長率方面的問題：如果原產(chǎn)量的基礎(chǔ)數(shù)為，平均增長率為，那么對于時間的總產(chǎn)值，有公式，類似地還有降低率問題.


（2）幾何圖形方面的問題：這類問題的數(shù)量關(guān)系往往隱藏在圖形中，可以通過布列一元二次方程求解，圖形主要是三角形、四邊形，數(shù)量關(guān)系主要有面積計算、體積計算、勾股定理等.


（3）行程問題中的勻速變速運動問題：勻變速運動問題在現(xiàn)實世界中有許多原型，它是物理運動學(xué)的基礎(chǔ)，利用“路程=平均速度×?xí)r間”可列方程.


（4）營銷問題：解決此類問題首先要弄清楚幾個名稱的意義，如成本價、售價、標(biāo)價、折價、利潤、利潤率等以及它們之間的等量關(guān)系.


2、列一元二次方程的一般步驟是：①分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關(guān)系(包括隱含的)；②設(shè)未知數(shù)，并用所設(shè)的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；③找出相等關(guān)系，并用它列出方程；④解方程求出題中未知數(shù)的值；⑤檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．這里關(guān)鍵性的步驟是②和③，審題是解題的基礎(chǔ)，列方程是解題的關(guān)鍵，在列方程時，要注意列出的方程必須滿足以下三個條件：（1）方程兩邊表示同類量；（2）方程兩邊的同類量的單位一樣；（3）方程兩邊的數(shù)值相等.


注意：列一元二次方程應(yīng)用題是一元一次方程解應(yīng)用題的拓展，解題的方法是相同的，但因一元二次方程有兩解，要檢驗方程的解是否符合題意及實際問題的意義．


名師導(dǎo)學(xué)互動（切磋琢磨，方法是制勝的法寶）


典例精析


類型一：平均增長率問題


例1、某商場今年月份的營業(yè)額為萬元，月份的營業(yè)額比月份增加，月份的營業(yè)額達到萬元，求月份到月份的營業(yè)額的平均月增長率．


【解題思路】月份到月份月增長是經(jīng)過次增長，平均月增長率是每次增長的百分?jǐn)?shù)相同．設(shè)平均月增長率為，則六月份的營業(yè)額是：月份的營業(yè)額，因此，應(yīng)先求月份的營業(yè)額．顯然，月份的營業(yè)額是月份的營業(yè)額.


【解】設(shè)平均月增長率為，依題意，得，，兩邊直接開平方，得，


所以（不合題意，舍去）．


類型二：幾何圖形問題


例2、如圖，正方形ABCD的邊長為12，劃分成12×12個小正方形格.將邊為n（2≤n≤11）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式黑白相間地擺放，第一張n×n的紙片正好蓋住正方形ABCD左上角的為n×n個小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為（n－1）×(n－1)的正方形.如此擺放下去，最后直到紙片被蓋住的面積（重合部分只計一次）為S1，未被蓋住的面積為S2.是否存在使得S1＝S2的n值，若存在，請求出這樣的n值；若不存在，請說明理由.





【解題思路】（1）把S1與S2分別用含n的代數(shù)式表示出來.根據(jù)S1＝S2或S1＝列出方程，答案是否存在，要看所列方程有沒有整數(shù)解.（2）當(dāng)小正方形邊長為12時，只需1塊正方形紙片.當(dāng)小正方形邊長為n（2≤n≤11，且n為整數(shù)）時，需要（13－n）塊小正方形紙片.（3）S1等于由（12－n）個如圖所示的圖形和一個邊長為n的小正方形的面積之和.


【解】當(dāng)S1＝S2時，即S1＝時，（12－n）[n2－(n－1)2]＋n2＝,即－n2＋25n－84＝0.


解這個方程，得n1＝4,n2＝21(21>11,舍去).所以這樣的n值是存在的，其值為4.


類型三：商品銷售問題


例3、某商店購進一批服裝，進貨單價為50元，如果將每件按60元出售，那么只能銷售800件.經(jīng)測算，售價每提高1元，銷售量將減少20件.若要求這批服裝獲利1200元，且進貨成本不超過2400元，問這種服裝售價定為多少元適宜？此時應(yīng)購進這種服裝多少件？


【解題思路】這種服裝若按每件60元出售，則只能銷售800件，利潤最多是800×（60－50）=8000元，要想獲得12000元的利潤，必須提高售價，為了方便，可以設(shè)每件服裝提價元，這時銷售價為（60+）元，每件獲利（60+－50）元，銷售量為（800－20）件，因而根據(jù)銷售利潤12000可以建立等式，需要注意的是，本題還有進貨成本不能超過24000元的限制.


【解】設(shè)這種服裝每件提價元，根據(jù)題意，得：（60+－50）（800－20）=12000，∴.


當(dāng)=10時，售價為60+10=70（元），需要購進服裝800－20=600（件），此時進貨成本是600×50=30000（元）＞24000元，不合題意，應(yīng)舍去.


當(dāng)=20時，售價為60+20=80（元），需要購進服裝800－20=400（件），此時進貨成本是400×50=20000（元）＜24000元，符合題意.


答：這種服裝售價定為80元適宜，此時應(yīng)購進這種服裝400件.


類型四：生活熱點題


例4、某水庫水位已超過了警戒線，上游水位以的流量流入水庫，為防洪打開閘門，每個閘門均以的流量放水，經(jīng)測算，若打開一個放水閘，15可將水位降至警戒線，若打開兩個放水閘，5可將水位降到警戒線，求的值.


【解題思路】該題是以水庫開閘放水作為背景，題型新穎，解決這題的關(guān)鍵是緊緊扣住警戒線的高度是不變的，即水庫中的水兩次開閘所放的水量是相等的，打開一個閘門所放的水量是，打開兩個水閘所放的水量是，因而有=，值可求.


【解】由題意，得：=，化簡得：，解得（舍去）.故值為3.


易錯警示


1、分不清商品經(jīng)濟營銷中的概念


例5、某商品經(jīng)過連續(xù)兩次調(diào)價后的價格比原來翻兩番，求平均每次調(diào)價的百分?jǐn)?shù).


【錯解】 設(shè)平均每次調(diào)價的百分?jǐn)?shù)為，原來的價格為1，則，解得，舍去負(fù)根，得，因此平均每次調(diào)價的百分?jǐn)?shù)約為41%.


【錯因分析】造成錯解的原因是對“翻兩番”這個概念的含義理解不透，“翻一番”后的數(shù)量是原來的數(shù)量乘以2，“翻兩番”后的數(shù)量是原來的數(shù)量乘以4，也就是說，如果原來是，則翻一番后是2，翻兩番后是4，翻番后是.


【正解】設(shè)平均每次調(diào)價的百分?jǐn)?shù)為，原來的價格為1，則，解得（舍去）=100%，因此平均每次調(diào)價的百分?jǐn)?shù)約為100%.


2、在解答實際問題中，對方程的解進行取舍時忽視實際情況造成錯解.


例6、如圖，要在一面靠墻（墻長18米）的地方用30米長的不銹鋼修建一個面積為100平方米的矩形花圃的護欄，問矩形護欄的長和寬分別是多少？





【錯解】設(shè)與墻相鄰的一邊長為米，則另一邊長為（30－2）米，依題意，得（30－2）=100，整理，得，解得.


當(dāng)=10時，30－2=10；當(dāng)=5時，30－2=20.因此，矩形花圃的護欄的長和寬分別是10米和10米，或20米和5米.


【錯因分析】錯解忽視了墻長只有18米，也就是說墻的最大利用長度是18米，沒有考慮到當(dāng)= 5米時，與墻平行的那一邊的長為20米，此時需要利用墻長20米，但這是不可能的.


【正解】前面的過程與錯解中相同，略.


當(dāng)=10時，30－2=10；當(dāng)=5時，30－2=20＞18（應(yīng)舍去）.因此，矩形花圃的護欄的長和寬分別是10米和10米.





課堂練習(xí)評測（檢驗學(xué)習(xí)效果的時候到了，快試試身手吧）


1、以大約與水平成45°角的方向，向斜上方拋出標(biāo)槍，拋出的距離（單位：）與標(biāo)槍出手的速度 (單位：/)之間大致有如下關(guān)系：.如果拋出40米，則標(biāo)槍出手速度為 （精確到0.1/）.





2、一張桌子的桌面長為6米，寬為4米，臺布的面積是桌面的面積的2倍，如果將臺布鋪在桌面上，各邊垂下的長度相同，則這塊臺布的長和寬分別為 .





3、先從括號內(nèi)①②③④備選項中選出合適的一項，填在橫線上，將題目補充完整后再解答.


（1）如果a是關(guān)于的方程的根，并且，求________的值.①；②；③；④.


（2）已知，且，求________的值.①；②；③；④.











4、學(xué)校為了美化校園環(huán)境，在一塊長米，寬米的長方形空地上計劃新建一塊長米，寬米的長方形花圃．（1）若請你在這塊空地上設(shè)計一個長方形花圃，使它的面積比學(xué)校計劃新建的長方形花圃的面積多平方米，請你給出你認(rèn)為合適的三種不同的方案；（2）在學(xué)校計劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積能否增加平方米？如果能，請求出長方形花圃的長和寬；如果不能，請說明理由．











5、一個形如六邊形的點陣.它的中心是一個點（算第一層）、第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點.依次類推.





（1）試寫出第n層所對應(yīng)的點數(shù)；（2）試寫出n層六邊形點陣的總點數(shù)；（3）如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它一共有幾層？




















課后作業(yè)練習(xí)


一、選擇題：


1、在一幅長，寬的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖（如圖所示），如果要使整個掛圖的面積是，設(shè)金色紙邊的寬為，那么滿足的方程是（ ）


Ａ．Ｂ．


Ｃ． Ｄ．





2、某農(nóng)戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．現(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增長率是畝產(chǎn)量的增長率的．則新品種花生畝產(chǎn)量的增長率為 （ ）


A、20％ B、30% C、50% D、120%


3、若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們的和是 ( )


A、±15 B、15 C、-15 D、11


4、以墻為邊，再用長為13米的鐵絲圍另外三邊，圍成面積為20平方米的長方形，已知長大于寬，則長方形的長、寬分別是（ ）


A、5m、4m或9m、2m B、9m、2m C、10m、1.5m D、8m、2.5m或5m、4m


5、下列判斷，錯誤的是（ ）


A、兩個連續(xù)整數(shù)的積是30，則這兩個數(shù)是5和6


B、已知三角形的面積為24 cm2，某邊上的高比該邊短2cm，若設(shè)該邊長為cm，則可列出方程


C、將15 cm 長的鐵絲圍成一個面積為10 cm2的矩形，設(shè)長為cm，則可列出方程


D、某工廠計劃用兩年時間把產(chǎn)品的成本下降19%，則平均每一年比上一年下降10%.


6、李明同學(xué)在驗算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤寫成它的2倍，使答案少了35，則這個數(shù)為（ ）


A、－7 B、－5或7 C、5或－7 D、7


7、要用一條長為24 cm的鐵絲圍成一個斜邊長為10 cm的直角三角形，則兩條直角邊的長分別為（ ）


A、1 cm和3 cm B、6 cm 和8 cm C、4 cm 和10 cm D、7 cm和7 cm


二、填空題：


8、汽車由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才停下，這段距離稱為剎車距離，已知某汽車的剎車距離與車速之間關(guān)系為，當(dāng)剎車距離為時，該車車速為 .








三、解答題：


9、編一道關(guān)于增長率的一元二次方程應(yīng)用題，并解答.編題要求：①題目完整，題意清楚；②題意與方程的解都要符合實際.











10、（2010山東聊城）2009年我市實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為1376億元，計劃全市國民生產(chǎn)總值以后三年都以相同的增長率來實現(xiàn)，并且2011年全市國民生產(chǎn)總值要達到1726億元．


（1）求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率（精確到1%）；


（2）求2010年至2012年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億？（精確到1億元）











11、春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費標(biāo)準(zhǔn)：





某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游？




















22.3參考答案：


1、答案：B


2、解析：由規(guī)則得，解之得.x為正數(shù)，，故應(yīng)選B.


3、3/


4、長為，寬為.


5、解析：由一元二次方程根的定義，得：，，即，因此選填③；對于第（2）題，可將恒等變形并分解因式，得，.故應(yīng)選填②.


6、解：（1）學(xué)校計劃新建的花圃的面積是（平方米），比它多平方米的長方形面積是平方米，因此可設(shè)計以下方案：方案一：長和寬都是米；方案二：長為米，寬為米；方案三：長為米，寬為米．


（2）假設(shè)在計劃新建的長方形周長不變的情況下長方形花圃的面積能增加平方米．由于計劃新建的長方形的周長是（米），設(shè)面積增加后的長方形的長為米，則寬是（米），依題意，得，整理，得，因為，此方程沒有實數(shù)根，


所以，在學(xué)校計劃新建的長方形花圃周長不變的情況下，長方形花圃的面積不能增加平方米．





7、解：（1）第n層上的點數(shù)為6（n－1）（n≥2）.


（2）n層六邊形點陣的總點數(shù)為＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝1＋＝3n(n－1)＋1.


（3）令3n(n－1)＋1＝169，得n＝8.所以，它一共是有8層.


課后作業(yè)答案：


1.答案：B


2.答案：A


3.答案：A


4.答案：D


5.答案：A


6.答案：B


7.答案：B


8.答案：30


9.答案：如：某農(nóng)場的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸，平均每年增產(chǎn)的百分率是多少？


解：設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率是，由題意，得，，.所以只能取，即平均每年增產(chǎn)的百分率是10%.





10.（1）解：設(shè)年平均增長率為，根據(jù)題意，得1376（1+）2＝1726，解得 1≈0.12，2＝-2.12（不合題意，舍去）．


（2）1376×（1+0.12）≈1541.12，1726×（1+0.12）≈1933.12，1541.12+1726+1933.12≈5200（億元）．


答：年平均增長率為12%，2010年至2012年全市三年國民生產(chǎn)總值為5200億元.


11.解：延長DA至M，使BM⊥BE.過B作BG⊥AM，G為垂足.易知四邊形BCDG為正方形，所以BC＝BG.又∠CBE＝∠GBM，∴Rt△BEC≌Rt△BMG..∴BM＝BE，∠ABE＝∠ABM＝45°，∴△ABE≌△ABM，AM＝AE＝10.


設(shè)CE＝x，則AG＝10－x,AD＝12－(10－x)＝2＋x，DE＝12－x.


在Rt△ADE中，AE2＝AD2＋DE2，∴100＝（x＋2）2＋（12－x）2，即x2－10x＋24＝0,解之，得x1＝4，x2＝6.故CE的長為4或6.


12.解：設(shè)該單位這次共有名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，因為，所以員工人數(shù)一定超過25人.可得方程，解得：.當(dāng)時，，故舍去；當(dāng)時，，符合題意.


答：該單位這次共有30名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級上冊電子課本 舊教材

22.3 實踐與探索

版本： 華師大版

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