第一課時(shí)


課前知識(shí)管理（從教材出發(fā)，向?qū)毑乜v深）


1、同類二次根式：如果幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.注意：同類二次根式與同類項(xiàng)是兩個(gè)相類似的概念，前者是二次根式之間的關(guān)系，后者是單項(xiàng)式之間的關(guān)系.判斷幾個(gè)二次根式是不是同類二次根式的關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)，化為最簡(jiǎn)二次根式后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同；而判斷幾個(gè)單項(xiàng)式是不是同類項(xiàng)，則只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指數(shù)是否也相同.


2、同類二次根式的合并法則：同類二次根式相加減，被開(kāi)方數(shù)不變，把系數(shù)（最簡(jiǎn)二次根式外的因子叫做二次根式的系數(shù)）相加減，用字母表示為：.合并時(shí)要注意兩點(diǎn)：①不是同類二次根式的不能合并.如就不能合并；②系數(shù)為1或－1的二次根式，如的系數(shù)為1，－的系數(shù)為－1，運(yùn)算時(shí)不要漏掉.


3、二次根式的加減法運(yùn)算法則：先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類二次根式進(jìn)行合并.


4、二次根式的混合運(yùn)算是指二次根式的加、減、乘、除及乘方這五種運(yùn)算中含有兩種或兩種以上的運(yùn)算，其運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算順序、整式的混合運(yùn)算順序一樣，也是先乘方、再乘除，最后算加減，如果有括號(hào)的仍然要先算括號(hào)里的（或先去掉括號(hào)）.


名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)（切磋琢磨，方法是制勝的法寶）


典例精析


類型一：同類二次根式


例1、下列二次根式中與是同類二次根式的是（ ）


A． B． C． D．


【解題思路】解此題首先應(yīng)將所給的選擇項(xiàng)中的二次根式化簡(jiǎn)，然后再看化簡(jiǎn)的最簡(jiǎn)二次根式中哪個(gè)被開(kāi)方數(shù)是3．∵，，，∴與是同類二次根式．


【解】選D．


【方法歸納】同類二次根式的判斷方法：先將不是最簡(jiǎn)形式的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．


例2、最簡(jiǎn)根式與是同類根式，求，的值．


【解題思路】本題考查同類二次根式的概念，兩個(gè)最簡(jiǎn)根式互為同類根式，說(shuō)明根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的相同.


【解】∵與為同類根式，∴，，解方程組得，當(dāng)，時(shí)，兩根式都為，符合題意．


【方法歸納】這種類型的題目，求得字母的值后，要注意檢查是否符合題意，這包括是否有意義，是否是最簡(jiǎn)根式等等．


類型二：同類二次根式的合并


例2、計(jì)算：


【解題思路】題中每個(gè)二次根式都是最簡(jiǎn)二次根式，可直接判斷同類二次根式再分別合并.


【解】原式.


【方法歸納】二次根式不管是否為同類二次根式都可以相乘除，但只有同類二次根式才能相加減，即二次根式加減法的前提條件是具備同類二次根式，本題中不是同類二次根式，不能再進(jìn)行加減運(yùn)算.


類型三：二次根式的加減運(yùn)算


例3、計(jì)算：


【解題思路】題中每個(gè)二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式，應(yīng)按“先化簡(jiǎn)——再判斷——最后合并”三步曲進(jìn)行計(jì)算.


【解】原式 .


【方法歸納】二次根式前面的系數(shù)要寫成假分?jǐn)?shù)的形式，不能寫成帶分?jǐn)?shù)。本題中的系數(shù)不能寫成，的系數(shù)不能寫成.


例4、計(jì)算：


【解題思路】二次根式加減運(yùn)算中如果有括號(hào)要先去括號(hào)，再按三步曲進(jìn)行計(jì)算.


【解】原式.


【方法歸納】合并同類二次根式時(shí)，不可忽視系數(shù)為1或的二次根式.本題中的系數(shù)不是0，而是，另外，當(dāng)括號(hào)前是“－”，去掉括號(hào)時(shí)括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要改變符號(hào).


例5、計(jì)算：


【解題思路】二次根式內(nèi)有分式加減運(yùn)算，要先將根號(hào)內(nèi)分式計(jì)算出最后結(jié)果，再按三步曲進(jìn)行解答.


【解】原式


.


【方法歸納】根號(hào)內(nèi)有分式加減運(yùn)算時(shí)，如本題中的，不能錯(cuò)誤地化簡(jiǎn)成，正確的做法是在根號(hào)內(nèi)將分式通分求出結(jié)果，再進(jìn)行二次根式的加減.


類型四：二次根式的混合運(yùn)算


例6、計(jì)算


【解題思路】先用分配律進(jìn)行二次根式乘法運(yùn)算，將括號(hào)去掉，這時(shí)要注意符號(hào)的變化，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.


【解】.


類型四：閱讀理解題


例7、化簡(jiǎn)，甲、乙兩同學(xué)的解法如下：


甲：；乙：.對(duì)于他們的解法,正確的判斷是( ).


（A） 甲、乙的解法都正確 （B） 甲的解法正確，乙的解法不正確


（C） 乙的解法正確，甲的解法不正確 （D） 甲、乙的解法都不正確


【解題思路】化簡(jiǎn)分母通常有兩種方法：一是應(yīng)用分式的基本性質(zhì)，分式的分子、分母同時(shí)乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)囊蚴剑ú粸榱悖惯@個(gè)因式與原分母相乘后得到一個(gè)平方差公式，然后再化簡(jiǎn)；二是把分子進(jìn)行因式分解，使分子和分母能夠約分，把分母中的二次根式約去，然后再化簡(jiǎn).本題中甲使用的第一種方法，乙使用的第二種方法，因此計(jì)算都正確.


【解】A.


易錯(cuò)警示


1、混淆同類項(xiàng)與同類二次根式


例8、與是同類二次根式嗎？為什么？


【錯(cuò)解】因?yàn)楹帜福泻帜?，所以與不是同類二次根式.


【錯(cuò)因分析】同類二次根式判斷標(biāo)準(zhǔn)是化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同，與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān)，造成錯(cuò)解的原因顯然是混淆同類項(xiàng)判定標(biāo)準(zhǔn)“看字母”


【正解】因?yàn)榕c的被開(kāi)方數(shù)都是2，所以它們是同類二次根式.


2、混淆計(jì)算原則


例9、


【錯(cuò)解】.


【錯(cuò)因分析】造成錯(cuò)解的原因是受二次根式乘、除的影響，錯(cuò)誤地認(rèn)為二次根式相加減類似于二次根式的乘除.


【正解】


3、忽視運(yùn)算過(guò)程中分母為0而致錯(cuò).


例10、化簡(jiǎn)


【錯(cuò)解】


【錯(cuò)因分析】當(dāng)時(shí)，分子、分母同時(shí)乘以相當(dāng)于分子、分母同時(shí)乘以0.造成這種錯(cuò)誤的原因是忽視了隱含的.


【正解】





課堂練習(xí)評(píng)測(cè)（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果的時(shí)候到了，快試試身手吧）


知識(shí)點(diǎn)1：同類二次根式


1、如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，那么使有意義的x取值范圍是（ ）


A. B. C. D.


2、若和是同類二次根式，則的值分別為 .


3、最簡(jiǎn)二次根式與能是同類二次根式嗎?若能，求出的值，若不能，說(shuō)明理由．














知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的加減運(yùn)算


4、計(jì)算：_________.


5、小明的作業(yè)本上有以下四題：（1）；（2）；（3）；（4）.其中錯(cuò)誤的是（ ）


A、（1） B、（2） C、（3） D、（4）





6、計(jì)算下面各題：


（1） 、





（2）














（3） （4）











（5）





（6）











7、因?qū)嶋H需要，用鋼材焊制三個(gè)面積為的正方形鐵框，則需準(zhǔn)備的鋼材的總長(zhǎng)度是多少米？








課后作業(yè)練習(xí)


一、選擇題：


1、下列根式，不能與合并的是（ ）


A. B. C. D.


2、的值為( )


A．2010 B．2011 C．2009 D.2008





3、設(shè)則的值為( )


A．47 B．135 C．141 D.153





4、若x=是方程k（x－2）+12=0的解，則k的值為（ ）．


A．2（+2） B．2（－2）


C．－2（2+） D．－2（2－）


5、下列各組代數(shù)式中，兩個(gè)式子相乘的積不含根號(hào)的是（ ）．


A．a(chǎn)+與－a B．+b與－－b


C．2－與－2 D．與


6、下列各組根式中是同類二次根式的是（ ）．


A．與


7、如果（－）的相反數(shù)與（+）互為倒數(shù)，那么（ ）．


A．│a│=│b│ B．a(chǎn)－b=1 C．a(chǎn)－b=－1 D．a(chǎn)、b之中必有一個(gè)為0





二、填空題：


8、要焊接如圖所示的鋼架，大約需要 米鋼材（結(jié)果保留根號(hào)）.











9、化簡(jiǎn)： .


10、已知x==________．


11、計(jì)算2+－的結(jié)果是________．


12、已知，則的值為 .





三、解答題：


13、計(jì)算或化簡(jiǎn)：（1）（－）－（－）；




















（2）（5＋－）÷；




















（3）＋－4＋2(－1)0；























（4）（－＋2＋）÷．

















14、已知直角三角形斜邊長(zhǎng)為（2＋）cm，一直角邊長(zhǎng)為（＋2）cm，求這個(gè)直角三角形的面積．








15、已知x=+1，求（x2+）2－4（x2+）+4的值．























16、同學(xué)們，我們以前學(xué)過(guò)完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰(shuí)的二次根式呢？下面我們觀察：（-1）2=（）2-2×1×+12=2-2+1=3-2，反之，3-2=2-2+1=（-1）2， ∴3-2=（-1）2，∴=-1.


求：（1）； （2）；








（3）你會(huì)算嗎？








（4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說(shuō)明理由．















































21.3二次根式的加減法課后作業(yè)參考答案：


1、解析：由同類二次根式的定義，得，即 ，即使有意義，需，即，故應(yīng)選A.


2、


3、解：它們不能是同類二次根式．假設(shè)它們是同類二次根式，則有解此方程解得把代入原式得兩根式分別為此二次根式無(wú)意義，故它們不能是同類二次根式．


4、提示：原式.


5、D


6、答案：（1）0.3 （2）－2 （3） （4） （5） 13 （6）


7、解：由題意，得：三個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為，故鋼材的總長(zhǎng)度為：.


課后作業(yè)答案：


1.提示：，又. 故應(yīng)選B.


2.提示：原式


故B正確．


3.提示：





故C正確．


4.答案：C


5.答案：A


6.D


7.C 提示：由相反數(shù)的意義可求得－的相反數(shù)為－，再根據(jù)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的積等于1，可求得a、b的關(guān)系．


8.答案：3+7


9.答案：1－


10.答案：－1


11.答案：－


12.答案：5


13.答案：（1）．


（2）【解】原式＝（20＋2－）×＝20×＋2×－×＝20＋2－×＝22－2．


（3）【解】原式＝5＋2(－1)－4×＋2×1＝5＋2－2－2＋2＝5．


（4）【解】原式＝（－＋2＋）·＝·－·＋2·＋·＝－＋2＋＝a2＋a－＋2．


14.答案：在直角三角形中，根據(jù)勾股定理，另一條直角邊長(zhǎng)為：＝3（cm）．


∴ 直角三角形的面積為：S＝×3×（）＝（cm2）





15.解：（x2+）2－4（x2+）+4=（x2+－2）2=（x－）4．


當(dāng)x=+1時(shí)，原式=（+1－）4=（+1－+1）4=24=16．








16.解：（1）==+1 ；（2）==+1


（3）==-1 ；


（4） 理由：兩邊平方得a±2=m+n±2 ，所以.

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

21.3 二次根式的加減

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