課前知識(shí)管理


1．一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．理解一元二次方程的概念時(shí)應(yīng)注意：形如的方程不一定是一元二次方程.當(dāng)時(shí)，是一元二次方程；當(dāng)，且時(shí)，是一元一次方程.注意一元二次方程應(yīng)滿足的條件：（1）是整式方程，即方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；（2）只含有一個(gè)未知數(shù)（即一種未知數(shù)）；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2（即未知數(shù)的指數(shù)最高是2）.


2．要判定一個(gè)整式方程是不是一元二次方程，一般需要將這個(gè)整式方程變形成為的形式.變形時(shí)，允許去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng).在變形之后的形式中，若，則原來的方程便是一元二次方程；否則就不是一元二次方程.如：，所以它是一元二次方程；而，它不是一元二次方程.


3．一元二次方程的一般形式是（是已知數(shù)，）．它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，叫做二次項(xiàng)系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，叫做一次項(xiàng)系數(shù)；叫做常數(shù)項(xiàng).任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為一般形式，在理解一元二次方程的一般形式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①在求一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，首先必須把一元二次方程化成一般形式；②二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的.


4．一元二次方程的根：能夠使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.


名師導(dǎo)學(xué)互動(dòng)


典例精析


1．一元二次方程的識(shí)別


【例1】下列方程中,關(guān)于x的一元二次方程是( )


A.3(x+1)2=2(x+1) B.=0


C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2－1


【解題思路】因B中的分母含有未知數(shù),所以它不是一元二次方程.C中字母a沒有強(qiáng)調(diào)不為0,若a=0,則C中未知數(shù)的最高次數(shù)低于2,因此,不能肯定C中的方程是否是一元二次方程.D中方程化簡(jiǎn)后是一元一次方程.只有A中的方程符合一元二次方程的三個(gè)條件.


【解】選A．


【方法歸納】(1)判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程,應(yīng)以化簡(jiǎn)后的結(jié)果為準(zhǔn).如化簡(jiǎn)前含有未知數(shù)是2次的項(xiàng),但是化簡(jiǎn)后未知數(shù)最高次數(shù)是1,那它就不是一元二次方程；(2)當(dāng)方程中含有字母系數(shù)(又叫參數(shù))時(shí),應(yīng)區(qū)分未知數(shù)和字母.如“關(guān)于x的方程……”,則表明x是未知數(shù),而方程中其它字母均是常數(shù)；(3)“×元×次方程”中的“元”指未知數(shù),“次”指未知數(shù)的最高次數(shù).


2．確定方程中未知字母的值


【例2】方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )


A.m=±2 B.m=2 C.m=－2 D.m≠±2


【解題思路】由于一元二次方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2,所以|m|=2,即m=±2.但當(dāng)m=－2時(shí),原方程變?yōu)椋?x+1=0,它是一元一次方程,不合題意,舍去.當(dāng)m=2時(shí),原方程變?yōu)?x2+6x+1=0,它是一元二次方程．


【解】選B．


【方法歸納】二次項(xiàng)系數(shù)不為0是一元二次方程的前提條件，未知數(shù)指數(shù)含字母常常出現(xiàn)討論不全面而造成漏解或增解．


3.確定一元二次方程


【例3】設(shè)是二次項(xiàng)的系數(shù)，是一次項(xiàng)的系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)，且滿足，求滿足條件的一元二次方程為 .


【解題思路】由，得，解得.


∵是二次項(xiàng)的系數(shù)，是一次項(xiàng)的系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)，∴所求的方程為.


【解】.


【方法歸納】此題關(guān)鍵是理解算術(shù)平方根、完全平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性，即.求解時(shí)主要應(yīng)用性質(zhì)：有且只有使各項(xiàng)為0時(shí)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和才為0.無論題中的非負(fù)數(shù)是哪種形式，都可以應(yīng)用此結(jié)論列方程組求出多個(gè)未知數(shù)的值.


4、一元二次方程的根


【例4】已知2是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則的值為（ ）


A、2 B、 C、3 D、－


【解題思路】利用方程根的定義，可以先將關(guān)于的方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，從而求出的值.因?yàn)?是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得.


【解】選A.


【方法歸納】由本題分析，我們可得以下發(fā)現(xiàn)：①涉及基本概念的問題應(yīng)充分利用基本概念；②代解、求解是解決與方程有關(guān)的問題的兩個(gè)基本方法.


易錯(cuò)警示


【例5】如果關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（ ）


A、2 B、－2 C、2或－2 D、0


【錯(cuò)解】由，得，故選C.


【錯(cuò)因分析】一元二次方程中隱含著一個(gè)相等關(guān)系和一個(gè)不等關(guān)系，相等關(guān)系是未知數(shù)的最高指數(shù)等于2；不等關(guān)系是二次項(xiàng)系數(shù)，錯(cuò)解正是忽視了這個(gè)不等關(guān)系造成的.


【正解】由，得，由得，故只能是，選B.











課堂練習(xí)評(píng)測(cè)


知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程


1．（2010貴州畢節(jié)）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2008年投入3 000萬元，預(yù)計(jì)2010年投入5 000萬元．設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（ ）


A． B．


C． D．


知識(shí)點(diǎn)2：一元二次方程的識(shí)別


2．下列方程一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）


（A）x2+－2=0 （B）ax2+bx+c=0 （C）（n2+1）x2+n=0 （D）mx2+3x=n


3．有下列方程：① 2x2－3=0；② =1；③ ；④ ay2+2y+c=0(其中a為常數(shù))；⑤ (x+1)(x－3)=x2+5；⑥ x－x2=0 .其中是整式方程的有 ，是一元二次方程的有 .(只需填寫序號(hào))


知識(shí)點(diǎn)3：確定一元二次方程


4．（2010年福建德化）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是1，寫出一個(gè)符合條件的方程： ．


5．若方程(a－1)+5x=4 是一元二次方程，則a=


6．關(guān)于x的方程(m2－16)x2+(m+4)x+2m+3=0.當(dāng)m_________時(shí),是一元一次方程；當(dāng)m_________時(shí),是一元二次方程.


知識(shí)點(diǎn)4：一元二次方程的根


7.下列各組取值是方程的根的是（ ）


A、2或3 B、3或4


C、4或5 D、5或6














課后作業(yè)練習(xí)


基本能力


1．方程化為形式后，的值為（ ）


（A）1，－2，－15 （B）1，－2，－15 （C）1，2，－15 （D）－1，2，－15


2．把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化為一元二次方程的一般形式,并寫出二次項(xiàng),二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng),一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).





3. （2010大興安嶺）代數(shù)式3x2－4x－5的值為7，則x2－ EQ \F(4,3) x－5的值為_______________．


4. 方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的和為___________


5.在－3，－2，－1，0，1，2，3這七個(gè)數(shù)中，是方程的根的是 .


拓展能力


6 .（2010年浙江臺(tái)州）某種商品原價(jià)是120元，經(jīng)兩次降價(jià)后的價(jià)格是100元，求平均每次降價(jià)的百分率．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，可列方程為 ．


7.在解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可化為關(guān)于的一元二次方程的一般形式是 .


8. 在下列方程：① 3x2+(1+x)+1=0；② 3x2++1=0；③ 4x2=ax (其中a為常數(shù))；④ 2x2+3x；⑤ =2x；⑥ =2x；⑦ ｜x2+2x｜=4. 其中是一元二次方程的有 .(只需填寫序號(hào))





9.方程5(x2－x+1)=－3x+2的一般形式是__ ________，其二次項(xiàng)系數(shù)是__________，一次項(xiàng)系數(shù)是__________，常數(shù)項(xiàng)是__________.


10. 關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時(shí)該方程是一元一次方程？當(dāng)為何值時(shí)該方程是一元二次方程？





拓展探究


11．請(qǐng)你寫出一個(gè)有一根為1的一元二次方程：__________．


12. 方程是關(guān)于x的一元二次方程，則的值為 .


13. 若方程是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）


A. ==2 B. =2, =1 C. =2, =1 D. ==1





14. （2010年佛山市）教材或資料出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).現(xiàn)在把上面的題目改編成下面的兩個(gè)小題，請(qǐng)回答問題：


（1）下面式子中有哪些是方程化為一元二次方程的一般形式？（只填寫序號(hào)）


①，②，③，④，⑤


（2）方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間具有上面關(guān)系？


課堂作業(yè)練習(xí)答案


1.答案：A.


2.答案：C


3.答案：①、③、④、⑤、⑥；①、③、⑥


4.答案：先寫出一個(gè)關(guān)于1的平方的等式，然后再用未知數(shù)x代替1即可等到符合題意的一元二次方程.答案不惟一，如等.


5.答案：－1


6.答案：4，≠±4


7.答案：C


課后作業(yè)答案：


1.答案：C


2.解析：原方程化為一般形式是:5x2+8x－2=0(若寫成－5x2－8x+2=0,則不符合人們的習(xí)慣),其中二次項(xiàng)是5x2,二次項(xiàng)系數(shù)是5,一次項(xiàng)是8x,一次項(xiàng)系數(shù)是8,常數(shù)項(xiàng)是－2(因?yàn)橐辉畏匠痰囊话阈问绞侨齻€(gè)單項(xiàng)式的和,所以不能漏寫單項(xiàng)式系數(shù)的負(fù)號(hào)).


3.答案：－1


4.答案：－1


5.答案：1，2


6.答案：


7.答案：


8.答案：①、⑤、⑥、⑦.


9.答案： .


10.解：由一元二次方程和一元一次方程的概念可知，當(dāng)時(shí)，該方程是一元二次方程，而當(dāng)且時(shí)，該方程是一元一次方程．


11.解：答案不唯一，如 ， 等.


12.答案：2


13.答案：B


14.解：（1）①②④⑤ ；（2）若說它的二次系數(shù)為a（a≠0），則一次項(xiàng)系數(shù)為－2a、常數(shù)項(xiàng)為－2a.

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

22.1 一元二次方程

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