第一課時 直接開平方法和因式分解法（1）


教學(xué)目標(biāo)


知識技能目標(biāo)


1.認(rèn)識形如x2＝a(a≥0)類型的方程，并會用直接開平方法或因式分解法求解；


2.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確而簡潔的計(jì)算能力及抽象概括能力；


過程性目標(biāo)


1.使學(xué)生體會運(yùn)用直接開平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；


2.在學(xué)生自主實(shí)踐中感悟一元二次方程解法的多樣性，從而初步認(rèn)識一些特殊一元二次方程的求解思路．


情感態(tài)度目標(biāo)


通過兩邊同時開平方或運(yùn)用因式分解的方法，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，滲透數(shù)學(xué)新知識的學(xué)習(xí)往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉(zhuǎn)化的思想，這是研究數(shù)學(xué)問題常用的方法．


重點(diǎn)和難點(diǎn)


重點(diǎn)：掌握運(yùn)用直接開平方法和因式分解法解某些特殊的一元二次方程；


難點(diǎn)：怎樣的一元二次方程用直接開平方法，以及用因式分解法，理解一元二次方程的解的情況．


教學(xué)過程


一、創(chuàng)設(shè)情境


問題 解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流．


(1)x2＝4； (2)x2-1＝0．


二、探究歸納


概括 (1)x2＝4，一個數(shù)x的平方等于4，這個數(shù)x叫做4的平方根（或二次方根）；根據(jù)平方根的性質(zhì)，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；所以這個數(shù)x為±2，所以x＝±2．


我們知道，求一個數(shù)平方根的運(yùn)算叫做開平方．這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．直接開平方法的實(shí)質(zhì)是求一個數(shù)平方根的運(yùn)算．


(2)x2-1＝0，如果把它化為x2＝1，由直接開平方法，得x＝±1．


對于x2-1＝0，將左邊運(yùn)用平方差公式因式分解后再解這個方程，(x＋1)(x－1)＝0，必有x＋1＝0或x－1＝0，從而得，x1＝-1，x2＝1．


這種通過因式分解來解一元二次方程的方法叫因式分解法．通常用x1、x2來表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)解．


思考 (1)能夠運(yùn)用直接開平方法來求解的一元二次方程有什么特征？


(2)x2＝4能否用因式分解法來解？要用因式分解法解，首先應(yīng)將它化成什么形式？


能夠運(yùn)用直接開平方法來求解的一元二次方程形如x2＝a(a≥0)；用因式分解法來解時，首先應(yīng)將它化成一般形式．


三、實(shí)踐應(yīng)用


例1 試用兩種方法解方程：x2-900＝0．


學(xué)生分組分別用直接開平方法和因式分解法解這個方程．


并指出x＝±30，或x1＝30，x2＝-30都可以作為方程的解．


例2 解方程：(1)x2-2＝0；(2)16x2-25＝0．


分析 對于缺少一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c＝0(a≠0),用直接開平方法來解比較簡便．


解 (1)移項(xiàng)，得 x2＝2，


直接開平方，得 x＝.


所以原方程的解是


(2)移項(xiàng)，得16x2＝25，


方程的兩邊都除以16，得x2，


直接開平方，得，


原方程的解是．


思考 本題若用因式分解法求解，應(yīng)如何解？


例3 解方程(1)3x2＋2x＝0；(2)x2＝3x．


分析 將方程化成一般形式后，可把左邊因式分解再求解，因式分解的常用方法有提公因式法和運(yùn)用公式法.


解 (1)方程左邊分解因式，得x(3 x＋2)＝0，


所以 x＝0，或3 x＋2＝0．


原方程的解是.


(2)原方程化為x2－3x＝0


方程左邊分解因式，得x(x－3)＝0，


所以 x＝0，或x－3＝0


原方程的解是x1＝0，x2＝3.


注意 運(yùn)用因式分解法解一元二次方程的步驟：


(1)方程化為一般形式；


(2)方程左邊因式分解；


(3)至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；


(4)兩個一元一次方程的解就是原方程的解．


例4 解方程3(x－2)－x(x－2)＝0．


分析 這個方程的左邊能否因式分解？有沒有必要去掉括號化成一般形式？


解 原方程可變形為(x－2)(3－x)＝0．


所以x－2＝0或3－x＝0．


原方程的解是x1＝2，x2＝3．


四、交流反思


1.如果一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的平方，另一邊是一個非負(fù)常數(shù)，便可用直接開平方法來解．如ax2＝c（a、c為常數(shù)，a≠0，c≥0）．


2.平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎(chǔ)，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實(shí)際上是實(shí)現(xiàn)方程由二次轉(zhuǎn)化為一次，實(shí)現(xiàn)了由未知向已知的轉(zhuǎn)化．由高次向低次的轉(zhuǎn)化，是高次方程解法的一種根本途徑．


3.一元二次方程可能有兩個不同的實(shí)數(shù)解，也可能有兩個相同的實(shí)數(shù)解，也可能無實(shí)數(shù)解．如方程x2＝－3，就沒有實(shí)數(shù)解；x2＝0，有兩個相等的實(shí)數(shù)解是x1＝x2＝0．


4.運(yùn)用因式分解法解一元二次方程，一般要把方程化成一般形式，再運(yùn)用提公因式法或公式法進(jìn)行分解因式，將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，然后求解；但有時不一定要化成一般形式（如例4）．在解方程的過程中，要注意方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)行靈活適當(dāng)?shù)淖儞Q，擇其簡捷的方法，達(dá)到又快又準(zhǔn)地求出方程解的目的．


五、檢測反饋


1.解下列方程：


(1)x2＝169； (2)45－x2＝0；


(3)12y2－25＝0； (4) x2－2x＝0；


(5)(t－2)(t＋1)＝0； (6)(x＋1)2－5 x＝0．


2.小明在解方程x2＝3x時，將方程兩邊同除以x，得x＝3，這樣做法對嗎？為什么？


3.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>

(1)； (2)；


(3)x(x-1)+3(x-1)＝0； (4)(3x-1)2-x2＝0．


六、布置作業(yè)


習(xí)題22．2的第1題.

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