第22章　一元二次方程22.2　一元二次方程的解法第5課時(shí)　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.難點(diǎn)：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)鞏固一元二次方程求根公式：一般地，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果 b2-4ac≥0，那么方程的兩個(gè)根為導(dǎo)入新課【問(wèn)題1】活動(dòng)1（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）例1　解下列方程，并求出兩根的和與兩根的積：（1）x2+3x-4＝0;      (2)x2-5x+6＝0;       (3)2x2+3x+1＝0.【解】（1）x1＝-4，x2＝1，x1+x2＝-3，x1·x2＝-4；（2）x1＝2，x2＝3，x1+x2＝5，x1·x2＝6；（3）x1＝，x2＝-1，.一元二次方程兩個(gè)根的和與兩個(gè)根的積與系數(shù)有怎樣的關(guān)系，這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.教師總結(jié)并引出課題：22.2　一元二次方程的解法　  第5課時(shí)　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系探究新知探究點(diǎn)一　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【問(wèn)題2】活動(dòng)2（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c＝0（a≠0）.我們?cè)谟门浞椒ㄍ茖?dǎo)一元二次方程求根公式的過(guò)程中，得到即x所以x1＝，x2＝.所以x1+x2＝，x1x2＝.【總結(jié)】如果一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩個(gè)根分別是x1，x2，那么，.特殊形式：若x2+px+q＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2＝-p，x1x2＝q .例2　下列方程的兩根和與兩根積各是多少？(1) x2-3x+1＝0 ；        (2) 3x2-2x＝2；(3) 2x2+3x＝0；      　  (4)3x2＝1.【探索思路】由根與系數(shù)的關(guān)系直接求出即可.【解】(1)，；(2) ,；(3),；(4),.探究點(diǎn)二　利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題【問(wèn)題3】活動(dòng)3（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）1.求代數(shù)式的值例3　已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，不解方程，求下列代數(shù)式的值.(1)(x1-x2)2；　(2).【探索思路】(引發(fā)學(xué)生思考)方程x2+6x+3＝0的根與系數(shù)的關(guān)系是什么？所求代數(shù)式與它們的關(guān)系有什么聯(lián)系？【解】∵ x1，x2是方程x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴ x1+x2＝-6，x1x2＝3.(1)(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2＝(-6)2-4×3＝24.(2)＝＝＝＝10.【題后總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時(shí),一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和、兩根之積的形式,再整體代入.【歸納】常見(jiàn)的與一元二次方程根的和、積有關(guān)系的代數(shù)式變形：①+＝(x1 + x2)2-2x1x2；②(x1-x2)2＝(x1+x2)2-4x1x2；③；④＝；⑤(x1+k)(x2+k)＝x1x2+k(x1+x2)+k2；⑥|x1-x2|＝＝.【問(wèn)題4】活動(dòng)4（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）2.構(gòu)造新方程例4　求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2和3，且二次項(xiàng)系數(shù)為1.【解】(x-2)（x-3）＝0，即x2-5x+6＝0.【問(wèn)題5】活動(dòng)5（學(xué)生交流，教師點(diǎn)評(píng)）3.求方程中待定系數(shù)例5　方程x2+px+q＝0 的兩根之和為6，一根為2，求p，q的值.【解】設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.由題意，得 2+x1＝-p＝6，2x1＝q，所以x1＝4，p＝-6，q＝8.即學(xué)即練已知方程5x2+kx-6＝0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值. 【解】設(shè)方程 5x2+kx-6＝0的兩個(gè)根分別是x1，x2，其中x1＝2 .所以 x1·x2＝2x2 ＝,即x2＝.由于x1+x2＝2+，所以k＝-7.所以方程的另一個(gè)根是，k＝-7.課堂練習(xí)1.方程x2-6x+10＝0的根的情況是(　　)A.兩個(gè)實(shí)根之和為6B.兩個(gè)實(shí)根之積為10C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2.若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為x1＝1，x2＝2，則這個(gè)方程可能是(　　)A.x2+3x-2＝0 B.x2+3x+2＝0C.x2-3x+2＝0 D.x2-2x+3＝03.設(shè)a，b是方程x2+2x-2 019＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)a+b＝　　，ab＝　　，2a2+4a＝　　　　；(2)求代數(shù)式a2+3a+b的值.4.請(qǐng)利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決下列問(wèn)題：(1)若x2+bx+c＝0的兩根為-2和3，求b和c的值；(2)設(shè)方程2x2-3x+1＝0的兩根為x1，x2，不解方程，求+的值.5.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根是2和3，且二次項(xiàng)系數(shù)為5.6.若關(guān)于x的方程x2+(a-1) x+a2＝0的兩個(gè)根互為倒數(shù)，求a的值.7.設(shè)一元二次方程x2-6x+k＝0的兩根分別為x1，x2.(1)若x1＝2，求x2的值；(2)若k＝4，且x1，x2分別是Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)，試求Rt△ABC的面積. 參考答案1.C　2.C　3.【解】(1)-2，-2 019,　4 038；(2)a2+3a+b＝a2+2a+a+b＝2 019-2＝2 017.4.【解】(1)b＝-1，c＝-6.　(2)+＝3.5.【解】根據(jù)題意，得5（x-2）（x-3）＝0，即5x2-25x+30＝0.6.【解】因?yàn)榉匠痰膬筛榈箶?shù)，所以兩根的積為1.由根與系數(shù)的關(guān)系，得a2＝1.解得a＝±1.當(dāng)a＝1時(shí)，原方程化為x2+1＝0，根的判別式Δ<0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以舍去a＝1.所以a＝-1.7.【解】(1)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的兩根，且x1＝2，∴ x1+x2＝-(-6)，即2+x2＝6，∴ x2＝4.(2)∵ x1，x2是一元二次方程x2-6x+k＝0的兩根，k＝4，∴ x1·x2＝k＝4.又∵ x1，x2分別是Rt△ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)，∴ SRt△ABC＝x1·x2＝×4＝2. 課堂小結(jié) (學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：ax2+bx+c＝0(a≠0)的兩根為x1，x2，則x1+x2 ，x1x2＝.特殊地，x2+px+q＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2＝-p，x1x2＝q .布置作業(yè)教材第35頁(yè)練習(xí)1，2，3題，第36頁(yè)習(xí)題22.2第10，11題.板書(shū)設(shè)計(jì)課題　第22章　一元二次方程22.2　一元二次方程的解法第5課時(shí)　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【問(wèn)題1】　　　　　　　　　　　　　　　　例1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系　　　　　　　　　　　　【問(wèn)題2】　　　　　　　　　　　　　　　　例2一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用教學(xué)反思                  教學(xué)反思                      教學(xué)反思                      教學(xué)反思                       

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